Lektsia_12 (842124), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если составляющие поля не будут меняться вдоль оси Z , как этодолжно быть в случае колебания Hmn0, то поле в любой точке резонаторадолжно быть тождественно равно нулю, поскольку граничные условия наторцевых стенках выполнены быть не могут. Таким образом, колебания типаHmn0 физически не существуют.Итак, классификация типов колебаний в прямоугольном объёмномрезонаторе проводится следующим образом:– одна из осей резонатора принимается за ось стоячей волны;– определяется, какой волноводный тип колебаний Emn или Hmnраспространяется в регулярном волноводе, из которого оборудованобъёмный резонатор;– определяется величина р – число стоячих полуволн, укладывающихсямежду торцевыми стенками.В результате приходим к колебаниям типа Emnр или Hmnр.
Следуетотметить, что данная классификация в значительной мере условная,поскольку она полностью определяется начальным выбором оси стоячейволны.12.1.3 Объёмный резонатор на основе круглого волновода.Рассмотрим цилиндрический объём, представляющий собой отрезоккруглого металлического волновода, радиуса а, ограниченного с двух сторонпроводящими торцевыми поверхностями. Такая система получила названиеобъёмного резонатора.Внутри бесконечного круглого волновода могут распространятьсяволны типа Emn и Hmn.
Тогда порождаемые колебания Emnр и Hmnр имеютследующие компоненты электромагнитного поля:Emnp - типы колебаний(Hz=0)Hρ=−Hφ=− ( ) sin cos ′ () cos cosEρ=−1 ( 2)∙ (Eφ= ∙Ez=( ′ () cos sin∙ ) sin sin) cos cosгде – n-ный корень уравнения Бесселя ( (х) = 0), штрих означаетпроизводную по всему аргументу.Hmnp - типы колебаний(Ez=0)Eρ=µEφ=µHρ=µµ ) sin sinµ ′ µ () cos sin∙ ′ µ () cos cos 1Hφ=− ∙Hz=( (µ 2) (∙ (µ µ ) sin cos) cos sin′ (х)где µ – n-ный корень уравнения (= 0).Длина волны в волноводе (системе) с связана с длиной волны всвободном пространстве 0 при помощи дисперсионного уравнения1⁄ = 1⁄ + 1⁄2с2кр20независимо от типа волны.Критические длины волн вычисляются следующим образом:кр = 2⁄кр = 2⁄µН(12.10)Если теперь воспользоваться известным условием резонанса λСрез=2l/p,то из дисперсионного уравнения вытекают формулы, определяющиерезонансные длины для любого типа колебаний в круглом резонаторе:рез ={рез =1√ µ 1√ µ 2√()2 + () для Emnp√(µ 2)+ ( )2 для Нmnp0рез= 1/√( /2)2 + (/2)20рез= 1/√(µ /2)2 + (/2)2(12.11)(12.12)Вопрос о том, имеет ли физический смысл значение p=0 решаетсятаким же образом, как и в случае прямоугольного объёмного резонатора.
Вчастности, колебания Emn0 возможны. Примером может служить частоиспользуемое на практике колебание типа E010, структура поля которогоимеет вид, показанный на рисунке 12.9.Рисунок 12.9 – Структура поля волны Е010Важным свойством этого типа колебания является независимостьдлины волны от осевого размера l, что непосредственно вытекает изструктуры поля. Это же подтверждается и расчётом по формуле (12.11):0100рез= 2 ∙ ⁄01 = кр01Итак, данная система резонирует на длине волны, которая являетсякритической для порождающего волноводного типа волны E01. Физически этоозначает, что стоячие волны в рассматриваемом резонаторе устанавливаютсяне по оси Z, а по радиальной координате p.Так же, как и в прямоугольном резонаторе, колебания типа Hmn0 вкруглом резонаторе существовать не могут.В качестве примеров приведены картины электромагнитного поля вкруглом объёмном резонаторе, работающем на типах колебаний H011(рисунок 12.10) и H111 (рисунок 12.11) соответственно.Рисунок 12.10 – Структура поля волны Н011Рисунок 12.11 – Структура поля волны Н111Данные поля построены на основе сведений о структуре поля вволноводе и относятся к какому-либо фиксированному моменту времени.В общем случае, когда резонатор представляет собой закороченный собоих концов отрезок волновода произвольного поперечного сечения,резонансную длину волны определяют из условия (12.4), откуда формула длярезонансной частоты получается следующейрез =где фVф – фазовая скорость волны в линии передачи, на базе которойвыполнен резонатор.12.1.4 Объемный резонатор на основе коаксиального волноводаДляосновногоколебаниятипаТ1объёмногорезонатора,представляющего собой закороченный с обоих концов отрезок коаксиальнойлинии передачи, структура поля представляет вид, показанный нарисунке 12.12.Рисунок 12.12 – Структура поля волны Т1Резонансная частота для волны основного типа коаксиальногорезонатора определяется выражениемωрез = √ µ В дециметровом диапазоне волн находят применение коаксиальныерезонаторы, нагруженные на конденсатор, эскиз которого представлен нарисунке 12.13.
Резонансные частоты такого резонатора определяют какрешения уравнениярез Zttg()=1рез н,гдеZt – волновое сопротивление коаксиальной линии передачи;c – скорость света;Cн – ёмкость конденсатора, на который нагружена линия.Рисунок 12.13 – Эскиз коаксиального резонатора, нагруженного наконденсатор12.1.5 Другие виды объемных резонаторовЕсли линию передачи свернуть в кольцо, то образуется резонаторбегущей волны (рисунок 12.14).
Резонанс здесь наблюдается при условии,что длина резонатора l равна целому числу длин волн в линии, откударез = 2 ф, n = 1,2,3,...Рисунок 12.14 – Эскиз кольцевого резонатора бегущей волныВнекоторыхэлектронныхприборахСВЧиспользуютсяквазистационарные тороидальные резонаторы, эскиз которого показан нарисунке 12.15.Рисунок 12.15 – Эскиз квазистационарного тороидального резонатораИх расчёт проводят приближённо.
Среднюю часть резонатора,образованнуюдвумяпараллельнымидисками,рассматриваюткакконденсатор с ёмкостью2C=ε0Параллельно ему включена индуктивность L, образованная стенкамирезонатора. Для этой конструкцииL=ℎµ02ln( )Такими образом, считается, что квазистационарный тороидальныйрезонатор эквивалентен колебательному контуру с резонансной частотойωрез = 1/√0 µ02∙ℎ212.1.6 Сферический резонаторСобственные колебания сферической полости радиуса a могут бытьисследованы с помощью потенциальных скалярных функций U и V всферической системе координат.Рисунок 12.16 – Эскиз сферического резонатораEmnp - типы колебаний(Hz=0)Составляющие векторов в этом случае имеют вид: = = − ,,2 1 = =1 2 =, 2 ,+ 2 .2Hmnp - типы колебаний(Ez=0) = − = = µ = =µ 1 2 1,,,2 2 2,+ 2 ,При замене U=r·u, U=r·v потенциалы Дебая U и V удовлетворяютуравнениям ГельмгольцаΔU+k 2 U=0,ΔV+k 2 V=0,где Δ – оператора Лапласа в сферической системе координат.При разделении переменных в этих уравнениях получаем тридифференциальных уравнения: по координате r - сферическое уравнениеБесселя, по координате θ - присоединенное уравнение Лежандра, покоординате φ - обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка.Таким образом частные решения для потенциалов U и V имеют вид: = · ∙ () · () · cos(){ = · ∙ () · () · sin()где () – сферические функции Бесселя 1-го рода n-го порядка,связанные с цилиндрическими функциями соотношением () = √12 +2(), n = 1,2,3,...; () – присоединенные полиномы Лежандра, причём m=0,1,2,3...,но n≤mПри r=a на идеально проводящей стенке полости должны выполнятьсяграничные условия = = 0 при r=a или= 0, = 0 при r=aПоэтому электрических типов волн находятся из уравнения′ () = 0, = 1,2,3, …(12.13)а собственные частоты магнитных типов волн - из уравнения () = 0, = 1,2,3, …(12.14)По определению, р-ый положительный корень уравнения (12.13) даетсобственную частоту колебаний Emnp, а р-ый положительный кореньуравнения (12.14) – частоту колебания Hmnp в сферическом резонаторе.Собственные частоты сферического резонатора, получаемые изуравнений (12.13) и (12.14), не зависят от индекса m а зависят лишь отиндексов n и p.
Поскольку при каждом m существует (2n+1) различныхугловых функций () · cos(mφ)и () · sin(mφ), то каждаясобственная частота имеет кратность (2n+1). Это выражение вызвановысокой степенью симметрии сферы. Выбор оси Z(θ=0) для сферыпроизволен, при ином выборе получаются новые колебания с одной и той жесобственной частотой.Для грубой оценки корней уравнений (12.13) и (12.14) воспользуемсяасимптотическими выражениями. При больших ka имеем′ () = sin[ − ( + 1) ∙ /2] () = cos[ − ( + 1) ∙ /2]поэтому корни уравнения (12.13) приближенно равны =21+ ( − ) , = 1,2,3, …,2а корни уравнения (12.14)+ , = 1,2,3, …2Эти формулы дают тем лучшее приближение, чем меньше n и больше =p.
При небольших p (p=1 или 2) эти формулы дают погрешность, но не оченьбольшую. Так, при n=1 наименьший корень уравнения (12.13)ka=2,75(λ=2,28a), в то время как по приближённой формуле при p=1 ka=π. При n=1наименьший корень уравнения (12.14) ka=4,50 (λ=1,40a) в то время каквторая формула (приближённая) дает ka=3π/4 при p=1.Согласно введённой выше классификации значения ka=2,75 определяетчастоту собственного колебания 011 , а значение ka=4,50 - частоту колебаний011 . Как видно из приближённых выражений, все остальные колебанияимеют более высокие собственные частоты, так что колебание 011 являетсяосновным.
Его частота является трехкратно вырожденной, поскольку обаколебания 111 (функции U которых пропорциональны cosφ или sinφ) имеютту же собственную частоту. Собственному значению ka=4,50 соответствуюттакже ещё два колебания 111 . Вырождение этих значений ka трехкратное,поскольку 2n+1=3 при n=1На рисунке 12.17 представлены силовые линии колебаний 011 и 011в сферической полости. Можно показать, что поля колебаний 111 и 111получаются поворотом полей 011 и 011 на угол π/2 в плоскости X0Z илиY0Z.а)б)Рисунок 12.17 – Силовые линии колебаний 011 (а) и 011 (б)12.2 Открытые резонаторыРассмотренные выше резонаторы неприменимы на КВЧ, т.е. вмиллиметровых и ещё более коротковолновых диапазонах вплоть дооптического.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
