Lektsia_9 (842121), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Векторный характер (9.5) и (9.6) позволяет использоватьлюбую обобщенно цилиндрическую систему координат.Аналогично в цилиндрической системе координат (, , ) связь междупоперечными и продольными составляющими имеет вид : = − =2⊥(+ 1 ⊥1 ) ; = − 2 ( − ),1 1 +;=−+(−)(). ⊥2⊥2 (9.8)9.5 Критическая частота. Критическая длина волныИз соотношения 2 = 2 − ⊥2 = − ⊥2 следует, что постояннаяраспространения является вещественной величиной = , при ⊥ ≤√ = 2√ и мнимой величиной = −, при k>2 √ .
Впервом случае фаза изменяется вдоль оси z по линейному закону, чтоявляется признаком распространения волны с постоянной фазовой скоростьювдоль этой оси. Во втором случае вдоль оси z фаза остается постоянной, аамплитуда убывает по экспоненциальному закону − , что являетсяпризнаком отсутствия переноса энергии вдоль направляющей системы.Частота, определяемая из условия ⊥ = 2кр √ называется критическойи обозначается кр : кр = ⊥ /(2√ ).
Соответствующая этой частотекритическая длина волны равна кр = с⁄кр = 2/⊥ , где с – скорость светав среде с параметрами и . Подставляя в выражение 2 = 2 −⊥2 соотношение для ⊥ = 2/кр , получаем = √ 2 −(2)2кр= √1 − (кр)2 = .(9.9)где = 2 = 2⁄и = с⁄ - волновое число и длинна волны средес параметрами и . Согласно соотношению ⊥ ≤ √ = 2 √ свободное распространение волны по направляющей системе имеет местолишь на частотах, превышающих критическую ( > кр или > кр ).По аналогии с обычным определением назовем длиной волны с внаправляющей системе минимальное расстояние между поперечнымисечениями, соответствующими различным значениям координаты z, вкоторых колебания сдвинуты по фазе на 2.
Так как зависимость всехсоставляющих поля от координаты z описывается выражением − , то с =2/. Подставляя сюда значение , получаемс = /√1 − (кр)2 .(9.10)9.6 Поперечные электромагнитные волны Т ( = = )Критическая длина волныУволнТсогласноопределениюотсутствуютпродольные⃗ . Из полученных выше соотношений междусоставляющие у векторов ⃗ и ⃗⃗⃗⃗⊥ , ⃗⃗⃗⃗⃗⊥ и , следует, что при = = 0 ⃗⃗⃗⃗⊥ ≠ 0, ⃗⃗⃗⃗⃗⊥ ≠ 0 возможнотолько при ⊥2 = 0. Этим значением ⊥ соответствует кр = ∞ и кр = 0 .Следовательно,втехнаправляющихсистемах,гдевозможнораспространение волн Т, эти волны существуют на любой частоте.Постоянная распространения.
Фазовая скоростьНаходим постоянную распространения волн Т: = √ = = Фазовая скорость распространения волны Т в направляющей системеравна vф == , т.е. совпадает со скоростью света в среде.Потенциальный характер поляПолагая ⊥2 = 0, = = 0 из уравнений Гельмгольца получаем⃗ 2⊥ E⃗⊥ =0и∇⃗ 2⊥ ⃗ ⊥ = 0. Это двумерные уравнения Гельмгольца. Поле,∇удовлетворяющее уравнению Гельмгольца является потенциальным. Этоозначает, что решения этих уравнений могут быть выражены через градиент⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , где функция является⃗ ⊥ = −некоторых функций.
Например Eскалярным потенциалом, также удовлетворяющим уравнению Гельмгольца.⃗ ⊥ через градиент некоторойАналогичное представление для вектора ⃗ ⊥ выражаются друг черезфункции можно не выписывать, поскольку ⃗E⊥ и друга. Действительно, полагая в (9.1) и (9.2) = = 0, приходим ксоотношениям, которые можно записать в виде одного векторного равенства⃗ ⊥ = [0 , ⃗E⊥ ],т.е.векторы⃗E⊥ и ⃗⊥уволныТвзаимноперпендикулярны.Волновое сопротивлениеПодставляя в полученное выше выражение = √ = = приходим к равенству⃗ ⊥ = √ [0 , ⃗E⊥ ] =10[0 , ⃗E⊥ ],где 0 = Т = √ – волновое сопротивление волны Т, равное волновомусопротивлению волны, распространяющейся в среде с параметрами и .9.7 Независимость структуры поля волн Т от частоты⃗ 2⊥ ⃗E⊥ = 0 и ⃗∇2⊥ ⃗ ⊥ = 0 не входит частота. Из этого можноВ уравнения ∇сделать вывод, что структура волн Т не зависит от частоты.
В частности,структура электрического и магнитного полей, аналогичная структуре полейволны Т, должна существовать в направляющей системе при = 0, т.е.распределение электрического поля волны Т в поперечном сечении линиисовпадает с распределением статического электрического поля в той жесистеме. Аналогичное соответствие существует и в отношении магнитныхполей. На рисунке 9.3 показана структура электрических и магнитных полейв поперечном сечении двухпроводной и коаксиальной линий, проводникикоторых разноименно заряжены и по которым протекает постоянный токпротивоположного направления. Такую же структуру поля будет иметь волнаТ в этих линиях на любой частоте.Из сказанного следует, что волна Т может распространятся только в технаправляющихпостоянногосистемах,тока.Этомупокоторымвозможнатребованиюпередачаудовлетворяютэнергиинаправляющиесистемы, состоящие не менее чем из двух изолированных друг от другаметаллических проводников (двухпроводная, коаксиальная, полосковая,экранированная двухпроводная линия и др.).Рисунок 9.3 – Силовые линии волны типа ТВ полых металлических трубах, диэлектрических волноводах, линияхповерхностной волны и других аналогичных системах существование волныТ невозможно.
Изложенная выше аналогия со статикой касалась лишьраспределения поля в плоскости поперечного сечения. Закон распределенияполя волны Т вдоль оси z существенно отличается от статического. Вместооднородного распределения вдоль оси Z, характерного для статическогослучая, распределения поля волны Т носит волновой характер. У волны Тполя в поперечной плоскости, совпадая по конфигурации силовых линий состатическими полями, не остаются неизменными во времени, как встатическомслучае,асинусоидальному закону.непрерывноменяютсвоюамплитудупоПринеидеальнойпроводимостиметаллическихпроводников,образующих линию, электромагнитное поле проникает в металл, появляетсяотличнаяотнулякасательнаясоставляющаяэлектрическогополя,параллельная оси z, что делает невозможным существование волны Т, однакопридостаточновысокойпроводимостиметалла,структурараспространяющейся волны Т в идеально проводящей системе, что этимразличием во многих случаях можно пренебречь.9.8 Электрические Emn волны ( ≠ , = )Связь между составляющими поляПолагая в (9.5) и (9.6) Hz = 0, получаем⃗ ⊥ , −⊥2 ⃗H⃗ ⊥ = [0 , ∇⃗ ⊥ ]−⊥2 ⃗E⊥ = ∇(9.11)⃗ ⊥ из первого уравнения во второе,Подставив выражение для ∇⃗ ⊥ = [0 , ⃗E⊥ ], т.е.
векторы Н⊥ и ⊥ у волн такприходим к равенству ⃗Hже, как у волн Т взаимно перпендикулярны.Волновое сопротивлениеВолновое сопротивление волн можно записать в виде == 0 √1 − (кр)2Как видим, в области волн короче критической, т.е. при < кр ,волновое сопротивление волн меньше волнового сопротивления волн Т.При = кр волновое сопротивление равно нулю. При изменении длинныволны от кр до нуля волновое сопротивление увеличивается, стремясь к Z0.Вобластиволндлиннеекритической( > кр )волновоесопротивление является чисто мнимой величиной.
Это значит, чтопоперечные составляющие векторов электрического и магнитного полейсдвинуты по фазе на 900. Очевидно, что при этом вектор Пойнтингапринимает чисто мнимое значение, и перенос активной энергии по линиипередачиотсутствует.Поэтомуотмеченноеранееэкспоненциальноеубывание амплитуды полей в линии при > кр вызывается не потерямиэнергии в направляющей системе, а чисто реактивным характеромэлектромагнитного поля в линии.Фазовая скорость.
ДисперсияПодставляя в формулу vф = ⁄ выражение для (9.9) получаемvф = ⁄ = c, 2⁄√1 − ( )крт.е. у волн в отличие от Т волн, фазовая скорость зависит от частоты ивсегда превышает скорость света С в данной среде. Зависимость vф отчастоты имеет вид; показанный на Рисунок При = кр vф равнабесконечности.
По мере увеличения частоты vф приближается к скоростисвета с = 1⁄√ (рисунок 9.4).Рисунок 9.4 – Дисперсия фазовой скоростиЗависимость фазовой скорости от частоты называется дисперсией, аволны, для которых дисперсия имеет место называются диспергирующимиволнами. Следовательно, волны – диспергирующие, тогда как волны Тнедиспергирующие ( если , не зависят от частоты).9.9 Магнитные волны ( ≠ , = )Связь между составляющими поляПолагая в (9.5) и (9.6) z = 0, получаем⃗ ⊥ = ∇⃗ ⊥ , ⊥2 ⃗E⊥ = [0 , ∇⃗ ⊥ ]−⊥2 ⃗H(9.12)⃗ ⊥ из первого уравнения во второе,Подставив выражение для ∇⃗ ⊥ ]. Умножая обе части этогоприходим к равенству ⃗E⊥ = − [0 , ⃗Hравенства векторно на орт 0 и используя формулу для двойного векторногопроизведения [A[B,C]]=B(A,C)-C(A,B), получаем⃗⃗ ⊥ =H⃗ ⊥] .[0 , E(9.13)Следовательно, как и в случае волн Т и , у волн Н векторыН⊥ и ⊥ взаимно перпендикулярны.Волновое сопротивление.
Фазовая скоростьВолновое сопротивление волн равно == 0 √1 − (кр)2 .Как видим, волновое сопротивление волн больше 0 . В областиволн, длиннее критической, как и – величина чисто мнимая, иперенос энергии по линии передачи отсутствует.Фазовая скорость у волн , как нетрудно проверить описываетсяформулойvф = ⁄ = . 2⁄√1 − ( )крСледовательно, волны , как и – диспергирующие.9.10 Скорость распространения энергии. Групповая скоростьДо сих пор мы рассматривали исключительно монохроматическиеволны.Однако,реальныеэлектромагнитныесигналыявляютсянемонохроматическими, т.е. состоят из конечного, либо бесконечного числамонохроматических колебаний с различными частотами.
В диспергирующихсистемах (диэлектрическая среда с потерями, линии передачи и др.) фазоваяскорость зависит от частоты, т.е. проходя один и тот же путь,монохроматические волны получают различные по величине фазовыесдвиги. В результате изменяется сдвиг по фазе между колебаниями,образующими сигнал, соответственно меняется форма сигнала – сигналискажается.Для характеристики перемещения немонохроматических сигналоввводятпонятиегрупповойскорости,понимаяподэтимскоростьперемещения максимума огибающей группы монохроматических волн,близких между собой по частоте. Пусть в диспергирующей системераспространяется соответствующая некоторому сигналу в общем случаебесконечная сумма монохроматических волн, которую можно записать ввиде интеграла∞(, ) = ∫ () [−()] ,−∞где () – амплитуда каждой из монохроматических волн;() – постоянная распространения каждой из этих волн.Если спектр сигнала достаточно узкий и заключен в интервале частот0 − ∆ ≤ ≤ 0 + ∆, то () ≈ 0 вне этого интервала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
