1625915142-75d31c3ceb1a22adeb2e84acf057ca85 (840119)
Текст из файла
Ñåìèíàðû ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå(ÔÔ, 6-é ñåìåñòð)1. Ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâÎïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíûì âåêòîðîì X⃗ = (X , . . . , X ) íà1nçûâàåòñÿ òàêîå îòîáðàæåíèå èç ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω â n-ìåðíîå àðèôìåòè÷åñêîå ïðîñòàíñòâî Rn , ÷òî äëÿ⃗êàæäîãî ⃗t = (t1 , .
. . , tn ) ∈ Rn ìíîæåñòâî {ω ∈ Ω : X(ω)< ⃗t}ÿâëÿåòñÿ ñîáûòèåì, òî åñòü îïðåäåëåíà åãî âåðîÿòíîñòü.⃗ íàçûâàñëó÷àéíîãî âåêòîðà Xåòñÿ ýòà âåðîÿòíîñòü êàê ôóíêöèÿ âåêòîðíîé ïåðåìåííîé ⃗t:ìåðíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿÌíîãî-⃗⃗ < ⃗t }.FX⃗ ( ⃗t ) = P{ ω ∈ Ω : X(ω)< ⃗t } = P{ X⃗ < ⃗t ïîíèìàåòñÿ ïîêîîðäèíàòíî, òî åñòü îçíàÍåðàâåíñòâî X÷àåò ñèñòåìó íåðàâåíñòâ X1 < t1 , . . . , Xn < tn .Ïðè n = 1 ïîëó÷àåì îáû÷íûå îïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.⃗ , ïðèíèìàþíàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûé âåêòîð Xùèé êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ÷èñëî çíà÷åíèé ⃗t1 , ⃗t2 , . . .. Åãî ðàñïðåäåëåíèå çàäàåòñÿ òàáëèöåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà,⃗ = ⃗tj }.  äâóìåðíîì ñëó÷àå (ïðèò.å.
íàáîðîì âåðîÿòíîñòåé P{Xn = 2) òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà⃗ = (X, Y ) óäîáíî çàïèñûâàòü â âèäåXb1b2 . . .X\Ya1p11 p12 . . .a2p21 p22 . . ....... ... ...Çäåñü pij = P{X = ai , Y = bj }.Ñâîéñòâà òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ äâóìåðíîãî äèñêðåòíîãîâåêòîðà:1) âñå ai ðàçëè÷íû;2) âñå bj ðàçëè÷íû;3) âñå pij íåîòðèöàòåëüíû;Äèñêðåòíûì14) ñóììà âñåõ pij ðàâíà 1.Òàáëèöà îäíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Xïîëó÷àþòñÿ èç∑òàáëèöû äâóìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ôîðìóëåP{X = ai } = j pij .⃗ èìååòÃîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíûé âåêòîð Xìíîãîìåðíîå àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå, åñëè ñóùåñòâóåò ìíîãîìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé fX⃗ ( ⃗t ) òàêàÿ, ÷òîäëÿ B ⊆ Rn âûïîëíåíî ðàâåíñòâî∫⃗ ∈ B} = f ⃗ ( ⃗t )d⃗tP{XXB(çäåñü è äàëåå èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå d⃗t = dt1 .
. . dtn ).⃗ èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðå ÷àñòíîñòè, åñëè Xäåëåíèå, òî äëÿ ëþáîãî ⃗t ∈ Rn âûïîëíåíî∫fX⃗ (⃗u)d⃗u.FX⃗ ( ⃗t ) =⃗u≤⃗t∫RnÑâîéñòâà ìíîãîìåðíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ: fX⃗ ( ⃗t ) ≥ 0;fX⃗ ( ⃗t )d⃗t = 1.Îäíîìåðíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà âû÷èñëÿþòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ìíîãîìåðíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî âñåì çíà÷åíèÿì âñåõ îñòàëüíûõ êîìïîíåíò.1.1.Íàéòè âåðîÿòíîñòü p è îäíîìåðíûå òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y . Íàéòè P{X = 0, Y > 1},F(X,Y ) (2, 2):X\Y12300,1 p0100 0,0220,03 0021.2.Íàéòè âåðîÿòíîñòè p è q , åñëè èçâåñòíî, ÷òîP{X = −1} = 0, 3.
Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû Y è âåðîÿòíîñòü P{X > 1, Y < 1}:X\Y0 0,52-10,1 p 0,050,3 0,4q3Íàéòè îäíîìåðíûå òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí X è Y . Íàéòè óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå X ïðè óñëîâèèY = −1; ïðè óñëîâèè Y = 2. Íàéòè óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå Yïðè óñëîâèè X = −2; ïðè óñëîâèè X = 1.X\Y-102-20 0,5 0,110,1 0030,3 00Íàéòè îäíîìåðíûå òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí X è Y . Íàéòè óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå X ïðè óñëîâèèY = 1; ïðè óñëîâèè Y > 1. Íàéòè óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå Y ïðèóñëîâèè X = 0.-21235X\Y00,1 0,1 0,1 0,1 0,10,1 0,1 0,1 0,1 0,11Íàéòè êîíñòàíòó A òàêóþ, ÷òîáû ôóíêöèÿf (t1 , t2 ) = At1 t2 exp(−t21 − t22 ) ïðè t1 , t2 ≥ 0, è ðàâíàÿ íóëþ äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ çíà÷åíèé âåêòîðà (t1 , t2 ), ÿâëÿëàñüäâóìåðíîé ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ.
Íàéòè äâóìåðíóþôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàéòè F (0, 0), F (0, −1), F (3, −2).Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (t1 , t2 ) äâóìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X1 , X2 ) ðàâíà 12 t1 t2 â òðåóãîëüíèêå {0 ≤ t1 ≤ 1,0 ≤ t2 ≤ 4t1 }, è íóëþ âíå ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Íàéòè äâóìåðíóþôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàéòè îäíîìåðíûå ôóíêöèè è ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàéòè P{X2 > 2}, P{X1 + X2 < 1}.Òî÷êó áðîñàþò íàóäà÷ó â êðóã ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Ïóñòü (X, Y ) äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè.Íàéòè ïëîòíîñòü äâóìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ôóíêöèè è ïëîòíîñòè îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé. Íàéòè P{X < 0, Y < X}.1.3.1.4.1.5.1.6.1.7.31.8*. Òî÷êó áðîñàþò íàóäà÷ó â øàð ðàäèóñà R ñ öåíòðîì âíà÷àëå êîîðäèíàò. Ïóñòü (X, Y, Z) äåêàðòîâû êîîðäèíàòûòî÷êè. Íàéòè ïëîòíîñòü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ôóíêöèèè ïëîòíîñòè îäíîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.Ïóñòü (X1 , X2 , X3 ) êîîðäèíàòû òî÷êè, áðîøåííîéíàóäà÷ó â òåòðàýäð {t1 ≥ 0, t2 ≥ 0, t3 ≥ 0, t1 + t2 + t3 ≤ 2}.Íàéòè ïëîòíîñòü äâóìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (X1 , X2 ).1.9*.2.
Ïðåîáðàçîâàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ⃗ . ÒîãäàÏóñòü g ôóíêöèÿ n ïåðåìåííûõ, è Y = g(X)ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì ñëó÷àéíîãî⃗ èëè ôóíêöèåé îò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X⃗.âåêòîðà X⃗Åñëè X èìååò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî ñíà÷àëà íàõîäÿòâñåâîçìîæíûå ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y , àïîòîì âåðîÿòíîñòè, ñ êîòîðûìè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåòýòè çíà÷åíèÿ. àáñîëþòíî íåïðåðûâíîì ñëó÷àå èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåòôîðìóëà∫fX⃗ (⃗u)d⃗u.Fg(X)⃗ (t) =g(⃗u)<tÊîìïîíåíòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè,åñëè äëÿ ëþáûõ ïîäìíîæåñòâ ÷èñëîâîé ïðÿìîé B1 , . . .
, Bn âûïîëíåíî ðàâåíñòâîP{X1 ∈ B1 , . . . , Xn ∈ Bn } = P{X1 ∈ B1 } · . . . · P{Xn ∈ Bn }.Ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà ñ íåçàâèñèìûìè êîìïîíåíòàìè îïðåäåëÿåòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿìè êîìïîíåíò.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 íåçàâèñèìû è èìåþòàáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ. Âûðàçèòü ïëîòíîñòüðàñïðåäåëåíèÿ èõ ÷àñòíîãî ÷åðåç èõ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.Ïóñòü Z = X1 /X2 .
ÒîãäàÏðèìåð.FZ (u) = P{X1 /X2 < u}4∫∞=0∫=∫P{X1 < uv, X2 ∈ dv} +∫∞FX1 (uv)fX2 (v)dv +−∞0−∞00P{X1 > uv, X2 ∈ dv}(1 − FX1 (uv))fX2 (v)dv.Äèôôåðåíöèðóÿ ïî u, ïîëó÷àåì∫fZ (u) =∞∫vfX1 (uv)fX2 (v)dv −0∫∞=2.1.−∞0−∞vfX1 (uv)fX2 (v)dv|v|fX1 (uv)fX2 (v)dv.Íàéòè òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ(X + Y, X − Y ), (max(X, Y ), min(X, Y )). Íàéòè îäíîìåðíûå òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X + Y , X − Y ,max(X, Y ), min(X, Y ), XY , Y /X .-102X\Y-20 0,5 0,110,1 0030,3 00Íàéòè òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ(X + Y, X − Y ), (max(X, Y ), min(X, Y )).
Íàéòè îäíîìåðíûå òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X + Y , X − Y ,max(X, Y ), min(X, Y ), XY , Y /X .X\Y-2123500,1 0,1 0,1 0,1 0,110,1 0,1 0,1 0,1 0,1Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , X3 íåçàâèñèìû, ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ 0 è 1 ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè. Íàéòè òàáëèöûðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 + X2 + X3 , X1 + X2 − X3 ,2X1 − X2 − X3 , max{X1 , X2 , X3 }, min{X1 , X2 , X3 }.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 íåçàâèñèìû, ïðèíèìàþòçíà÷åíèÿ -1, 0 è 1 ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè. Íàéòè òàáëèöûðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 + X2 , X1 − X2 , 2X1 − X2 ,max{X1 , X2 }, X1 X22 .2.2.2.3.2.4.52.5.
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîåðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f . Íàéòè ïëîòíîñòè√ðàñïðåäåëåíèÿñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X + 1, 2 − 3X , X 3 , |X|,√4 + X 2.Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîåðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f . Íàéòè ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí eX , 1/X , X 2 , ln |X|.Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì α.Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèåíà îòðåçêå [0, 1].Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 íåçàâèñèìû è èìåþò àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ.
Âûðàçèòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èõ ïðîèçâåäåíèÿ ÷åðåç èõ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 íåçàâèñèìû è èìåþò àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ. Âûðàçèòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ èõ ðàçíîñòè ÷åðåç èõ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 íåçàâèñèìû è èìåþò àáñîëþòíî íåïðåðûâíûå ðàñïðåäåëåíèÿ. Âûðàçèòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X13 X23 ÷åðåç èõ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 íåçàâèñèìû è èìåþòðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå [0, 2].
Íàéòè ïëîòíîñòüðàïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (X1 − X2 )−1 .Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 íåçàâèñèìû è èìåþò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì 1. Íàéòè ïëîòíîñòü ðàïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X1 /X2 .Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , . . . , Xn íåçàâèñèìû è èìåþòîäíî è òî æå àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíî-2.6.2.7.2.8.2.9.2.10.2.11.2.12.2.13*.2.14*.2.15.6ñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ f . Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí max(X1 , . . . , Xn ) è min(X1 , . .
. , Xn ).3. Ìîìåíòû, êîâàðèàöèÿ, êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèèÅñëè äèñêðåòíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ⃗t1 ,⃗t2 , . . ., òî åãî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ýòî âåêòîð∑⃗ = ⃗tj }.⃗ =⃗tj P{XEXjÅñëè ðÿä∑⃗ = ⃗tj }|⃗tj |P{Xjðàñõîäèòñÿ, òî ãîâîðÿò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íå ñóùåñòâóåò. Çäåñü ÷åðåç | · | îáîçíà÷åíà åâêëèäîâà íîðìà âåêòîðà.Åñëè ⃗g : Rn → Rm âåêòîð-ôóíêöèÿ, m ≥ 1, òî∑⃗ =⃗ = ⃗tj }.E⃗g (X)⃗g (⃗tj )P{Xj àáñîëþòíî íåïðåðûâíîì ñëó÷àå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåîïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé∫⃗ =⃗tf ⃗ ( ⃗t )d⃗t.EXXRnÌàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íå ñóùåñòâóåò, åñëè∫| ⃗t |fX⃗ ( ⃗t )d⃗tRnðàñõîäèòñÿ.Ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà∫⃗ =E⃗g (X)⃗g ( ⃗t )fX⃗ ( ⃗t )d⃗t.Rn7Åñëè êîìïîíåíòû âåêòîðà ⃗g çàïèñàòü â âèäå ìàòðèöû, ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû äàþò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé ìàòðèöû.⃗ íàçûâàÌàòðèöåé êîâàðèàöèé ñëó÷àéíîãî âåêòîð-ñòîëáöà Xåòñÿ ìàòðèöà⃗ = E(X⃗ − EX)(⃗ X⃗ − EX)⃗ T.C(X)⃗ ñèììåòðè÷íà è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà.Ìàòðèöà C(X)Åå äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû äèñïåðñèè êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà, à âíåäèàãîíàëüíûå êîâàðèàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõïàð êîìïîíåíò.Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì (ñòàíäàðòíûì) îòêëîíåíèåì êîìïîíåíòû íàçûâàåòñÿ êîðåíü èç åå äèñïåðñèè.
Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè äâóõ êîìïîíåíò ýòî èõ êîâàðèàöèÿ, äåëåííàÿ íà ïðîèçâåäåíèå ñòàíäàðòíûõ îòêëîíåíèé.Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y . Íàéòè êîâàðèàöèþ è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y .X\Y-102-20 0,5 0,110,1 000,3 003Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y . Íàéòè êîâàðèàöèþ è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y . Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X + Y è 2X − 3Y − 2.X\Y-212300,2 00 0,210,1 0,2 0,2 0,1Íàóäà÷ó âûáèðàþò öèôðó îò 0 äî 9.
Íàéòè êîýôôèöèåíòêîððåëÿöèè èíäèêàòîðîâ ñîáûòèé ¾öèôðà äåëèòñÿ áåç îñòàòêàíà 3¿ è ¾öèôðà äåëèòñÿ áåç îñòàòêà íà 5¿.Èç 20 ñòóäåíòîâ 5 íàïèñàëè íà ¾îòëè÷íî¿ ïåðâóþ êîíòðîëüíóþ, 4 âòîðóþ êîíòðîëüíóþ, è 3 îáå êîíòðîëüíûå.3.1.3.2.3.3.3.4.8Äëÿ âûáðàííîãî íàóäà÷ó ñòóäåíòà íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè èíäèêàòîðîâ ñîáûòèé ¾ïåðâàÿ êîíòðîëüíàÿ íàïèñàíà íàîòëè÷íóþ îöåíêó¿ è ¾âòîðàÿ êîíòðîëüíàÿ íàïèñàíà íà îòëè÷íóþ îöåíêó¿.Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f (t1 , t2 ) äâóìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X1 , X2 ) ðàâíà 21 t1 t2 â òðåóãîëüíèêå {0 ≤ t1 ≤ 1,0 ≤ t2 ≤ 4t1 }, è íóëþ âíå ýòîãî òðåóãîëüíèêà.
Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè êîìïîíåíò ñëó÷àéíîãî âåêòîðà.Íàéòè èõ êîâàðèàöèþ è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè.Òî÷êó áðîñàþò íàóäà÷ó â êðóã ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Ïóñòü (X, Y ) äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè.Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè êîîðäèíàò òî÷êè.Íàéòè èõ êîâàðèàöèþ è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè.Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y èìåþò äèñïåðñèè σ2X , σ2Yè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ρ. Íàéòè òàêóþ êîíñòàíòó c, ÷òîáûX è Y − cX áûëè íåêîððåëèðîâàííûìè.Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí2X è X , åñëè X èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.3.5.3.6.3.7.3.8*.4. Ìàòðèöà êîâàðèàöèé.
Ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîåðàñïðåäåëåíèå⃗ èìååò ìíîãîìåðíîå ñòàíäàðòíîåÏóñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð Xíîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, òî åñòü åãî ìíîãîìåðíàÿ ïëîòíîñòüðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ðàâíà)(11⃗ T ⃗⃗fX⃗ (t) =exp − t t ,2(2π)n/2ãäå ⃗t = (t1 , . . . , tn )T , è ⃗t T ⃗t = t21 + . . . + t2n .⃗ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåêòîð-ñòîëáåö X⃗Ïóñòü âåêòîð-ñòîëáåö Yëèíåéíûì îáðàçîì:⃗ = ⃗a + B X,⃗Yãäå ⃗a íåñëó÷àéíûé âåêòîð-ñòîëáåö, B íåíóëåâàÿ êâàäðàòíàÿ⃗ èìååò ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîåìàòðèöà. Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî Yðàñïðåäåëåíèå.9⃗ èìååò âåêòîð ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèÍîðìàëüíûé âåêòîð Y⃗ = ⃗a è êîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó C = C(Y⃗ ) = BB T .äàíèÿ EY⃗Ðàñïðåäåëåíèå íîðìàëüíîãî âåêòîðà Y ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
