1625915142-75d31c3ceb1a22adeb2e84acf057ca85 (840119), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çà âðåìÿT èç 100 êîíäåíñàòîðîâ âûéäóò èç ñòðîÿ: à) íå ìåíåå 5 êîíäåíñàòîðîâ; á) ìåíåå 13 êîíäåíñàòîðîâ.Ñòóäåíò ïîëó÷àåò íà ýêçàìåíå 5 ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,2, 4 ñâåðîÿòíîñòüþ 0,4, 3 ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,3 è 2 ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,1.Çà âðåìÿ îáó÷åíèÿ îí ñäàåò 100 ýêçàìåíîâ. Íàéòè ïðåäåëû, âêîòîðûõ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,95 ëåæèò ñðåäíèé áàëë.Óðîæàéíîñòü êóñòà êàðòîôåëÿ çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì ðàñïðåäåëåíèåì:6.56.6.6.7.6.8.Óðîæàé â êãÂåðîÿòíîñòü00,110,21,50,220,32,50,2Íà ó÷àñòêå âûñàæåíî 900 êóñòîâ.  êàêèõ ïðåäåëàõ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,95 áóäåò íàõîäèòüñÿ óðîæàé? Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî17êóñòîâ íóæíî ïîñàäèòü, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíåå 0,975óðîæàé áûë íå ìåíåå òîííû?Èãðàëüíàÿ êîñòü ïîäáðàñûâàåòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà îáùàÿ ñóììà î÷êîâ íå ïðåâûñèò 700.
Îöåíèòü âåðîÿòíîñòü òîãî,÷òî äëÿ ýòîãî ïîòðåáóåòñÿ áîëåå 210 áðîñàíèé.Ïóñòü X1 , X2 , . . . íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, EX1 = 0, DX1 < ∞. Èçâåñòíî,÷òî()X1 + . . . + Xn1√P≥ 1 →3nïðè n → ∞. Íàéòè DX1 .Èçâåñòíî, ÷òî âåðîÿòíîñòü ðîæäåíèÿ ìàëü÷èêà ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíà 0,515. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè 10òûñ. íîâîðîæäåííûõ îêàæåòñÿ ìàëü÷èêîâ íå áîëüøå, ÷åì äåâî÷åê?Äëÿ ëèöà, äîæèâøåãî äî äâàäöàòèëåòíåãî âîçðàñòà, âåðîÿòíîñòü ñìåðòè íà 21-ì ãîäó æèçíè ðàâíà 0,006. Çàñòðàõîâàíàãðóïïà 10000 ëèö 20-ëåòíåãî âîçðàñòà, ïðè÷åì êàæäûé çàñòðàõîâàííûé âíåñ 1200 ðóáëåé ñòðàõîâûõ âçíîñîâ çà ãîä.  ñëó÷àåñìåðòè çàñòðàõîâàííîãî ðîäñòâåííèêàì âûïëà÷èâàåòñÿ 100000ðóáëåé.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî:à) ê êîíöó ãîäà ñòðàõîâîå ó÷ðåæäåíèå îêàæåòñÿ â óáûòêå;á) åãî äîõîä ïðåâûñèò 6000000 ðóáëåé?Êàêîé ìèíèìàëüíûé ñòðàõîâîé âçíîñ ñëåäóåò ó÷ðåäèòü, ÷òîáû â òåõ æå óñëîâèÿõ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,95 äîõîä áûë íå ìåíåå4000000 ðóáëåé?Ñóììèðóþòñÿ 100 íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ âåêòîðîâ ñ íóëåâûì âåêòîðîì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ðàâíûìè åäèíèöå äèñïåðñèÿìè êîìïîíåíò è êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè êîìïîíåíò, ðàâíûì -1/2.
Çàïèñàòü â âèäå äâîéíîãî èíòåãðàëà ïðèáëèæåííóþ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî êàæäàÿ èçêîìïîíåíò ñóììû áóäåò ìåíüøå 30.Íà ñâåòîôîðå çàãîðàåòñÿ êðàñíûé, æåëòûé èëè çåëåíûé ñâåò ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè. Íàéòè ïðèáëèæåííî âåðîÿò-6.9*.6.10*.6.11.6.12.6.13.6.14.18íîñòü òîãî, ÷òî ïðè 90 íàáëþäåíèÿõ ñâåòîôîðà ñòóäåíò ìåíåå 20ðàç çàñòàâàë çåëåíûé ñâåò. Çàïèñàòü â âèäå äâîéíîãî èíòåãðàëàïðèáëèæåííóþ âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè 90 íàáëþäåíèÿõ ñâåòîôîðà ñòóäåíò áîëåå 40 ðàç çàñòàâàë êðàñíûé ñâåò è áîëåå 30ðàç æåëòûé.7.
Âûáîðêà. Îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâÂûáîðêà è âàðèàöèîííûé ðÿäÎñíîâíûì îáúåêòîì èññëåäîâàíèÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòè⃗ = (X1 , X2 , ..., Xn ), òî åñòü íàáîð çíàñòèêå ÿâëÿåòñÿX÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , ïîëó÷åííûõ â ðåçóëüòàòå n íåçàâèñèìûõ âîñïðîèçâåäåíèé ýêñïåðèìåíòà. Èíà÷å ãîâîðÿ, âûáîðêàïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíûé âåêòîð, êîîðäèíàòû êîòîðîãî X1 , X2 , ..., Xn íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû, èìåþùèå îáùåå ðàñïðåäåëåíèå ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (t). Áóäåì ãîâîðèòü â ýòîì ñëó÷àå, ÷òî èìååòñÿ⃗ èç ðàñïðåäåëåíèÿ F , è îáîçíà÷àòü ñîêðàùåííî:X⃗X ⊂= F . ×èñëî n íàçûâàåòñÿ.
Êîíêðåòíûéíàáîð ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 , X2 , ..., Xn , ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà, áóäåì íàçûâàòüâûáîðêè è îáîçíà÷àòü ⃗x = (x1 , x2 , ..., xn ).Åñëè ýëåìåíòû âûáîðêè X1 , . . . , Xn óïîðÿäî÷èòü ïî âîçðàñòàíèþ, òî ïîëó÷èòñÿ íîâûé íàáîð ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, íàçûâàåìûé:âûáîðêàýëåìåíòû âûáîðêèñëó÷àé-íàÿ âûáîðêàîáúåìîì âûáîðêèðåàëèçà-öèåéâàðèàöèîííûì ðÿäîìX(1) ≤ X(2) ≤ .
. . ≤ X(n−1) ≤ X(n) .-ì ÷ëåíîì-é ïîðÿäêîâîé ñòàòèñòèêîéÑëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X(k) , k = 1, . . . , n íàçûâàåòñÿ k, èëè k.Â÷àñòíîñòè, X(1) = min{X1 , . . . , Xn }, X(n) = max{X1 , . . . , Xn }.âàðèàöèîííîãî ðÿäà19Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ãèñòîãðàììàÝìïèðè÷åñêîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (t) íàçû∗nâàåòñÿ ÷àñòîòà ýëåìåíòîâ âûáðîðêè, ìåíüøèõ çàäàííîãî t. Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ âûáîðêå⃗ = (X1 , X2 , ..., Xn ), ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà ïî ýòîé âûáîðêå ñXïîìîùüþ ëþáîé èç ñëåäóþùèõ ôîðìóë:{êîëè÷åñòâî Xi : Xi < t}1∑I(Xi < t),=nnnFn∗ (t) =i=1ãäå ôóíêöèÿ{I(Xi < t) =1, åñëè Xi < t;0 èíà÷å; èíäèêàòîð ñîáûòèÿ {Xi < t}.Çàìåòèì, ÷òî ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñî⃗ , ñàìà ÿâëÿåòñÿ ñëóîòâåòñòâóþùàÿ ñëó÷àéíîé âûáîðêå X÷àéíîé, ïîñêîëüêó îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç ýëåìåíòû âûáîðêèX1 , X2 , .
. . , Xn , ÿâëÿþùèåñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.  òî æå⃗ ïîâðåìÿ ëþáàÿ ðåàëèçàöèÿ ⃗x = (x1 , x2 , . . . , xn ) âûáîðêè Xðîæäàåò ñîîòâåòñòâóþùóþ ðåàëèçàöèþ ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ (ïî òîé æå ôîðìóëå), êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ îáû÷íîé(à íå ñëó÷àéíîé) ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ.Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fn∗ (t) ÿâëÿåòñÿ âûáîðî÷íûì àíàëîãîì íåèçâåñòíîé òåîðåòè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (t), åå íàçûâàþò òàêæåäëÿ F (t). Âûáîðî÷íûì àíàëîãîì äëÿ òåîðåòè÷åñêîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ f (t)ÿâëÿåòñÿ, èëè⃗ = (X1 , X2 , ..., Xn ), êîòîðàÿ ñòðîèòñÿ ïî âûáîðêå Xñëåäóþùèì îáðàçîì.Ïóñòü h > 0 ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî. Ðàçîáüåì îáëàñòü çíà÷åíèé èçó÷àåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (íàïðèìåð, âñþ ÷èñëîâóþîñü) íà ïðîìåæóòêè ∆k = [zk−1 , zk ) äëèíû h è ïîñòðîèì ñòóïåí÷àòóþ ôóíêöèþ fn∗ (t), êîòîðàÿ íà êàæäîì ïðîìåæóòêå ∆kãèñòîãðàììàïðåäåëåíèÿîöåíêîéýìïèðè÷åñêàÿ ïëîòíîñòü ðàñ-20ïðèíèìàåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå, âû÷èñëÿåìîå ïî ëþáîé èç ôîðìóë:nνk1 ∑∗fn (t) ==I(Xi ∈ ∆k ), t ∈ ∆k ,(1)nhnhi=1ãäå νk ÷èñëî ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ïîïàâøèõ â ïðîìåæóòîê ∆k .Èíîãäà øàã ãèñòîãðàììû h âûáèðàþò ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ñíà÷àëà ðàññ÷èòûâàþò ÷èñëî èíòåðâàëîâ K ïîôîðìóëå Ñòå-äæåñàK = [log2 n] + 1.(2)Çäåñü n îáúåì âûáîðêè, [a] öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà a.
Ïîòîìäëèíà èíòåðâàëà ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëåh=X(n) − X(1).KÏðè ïîñòðîåíèè ãèñòîãðàììû ïîñëåäíèé ïðîìåæóòîê âûáèðàåòñÿ çàìêíóòûì: ∆K = [zK−1 ; zK ]. Âåëè÷èíó X(n) − X(1) =max{Xi } − min{Xi } íàçûâàþò ðàçìàõîì âûáîðêè.Âûáîðî÷íûå ìîìåíòû⃗ = (X1 , X2 , ..., Xn ) ìîæíî ïîñòðîèòü ýìïèÏî âûáîðêå Xðè÷åñêèå (âûáîðî÷íûå) àíàëîãè ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûìè ÿâëÿþòñÿ âûáîðî÷íîåìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, èëè, X, èS2:áîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ1∑Xi ,nâûáîðî÷íîå ñðåäíååâû-1∑(Xi − X)2 .n(3)nX=nS2 =i=1i=1Ïîäîáíî âûáîðî÷íûì ñðåäíåìó è äèñïåðñèè îïðåäåëÿþòñÿ âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ïîðÿäêà k1∑ k=Xi ,nnXki=121êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ýìïèðè÷åñêèìè àíàëîãàìè ìîìåíòîâ EXik .Îòìåòèì, ÷òîEX k = EXik .Ïðèâåäåííîå ñîîòíîøåíèå îçíà÷àåò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèåîæèäàíèÿ ýìïèðè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè òåîðåòè÷åñêèìè ìîìåíòàìè.
Ýòî ñâîéñòâî íàçûâàåòñÿ. Ýìïèðè÷åñêèå ìîìåíòû ÿâëÿþòñÿäëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ òåîðåòè÷åñêèõ.Îáîáùàÿ ïîíÿòèå âûáîðî÷íîãî ìîìåíòà, ïîñòðîèì âûáîðî÷íîå óñðåäíåíèå ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè g :íåñìåùåííîñòüþùåííûìè îöåíêàìèíåñìå-1∑g(Xi ),nng(X) =i=1ïðè ýòîì òàêæå âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâîEg(X) = Eg(Xi ).Öåíòðàëüíûì âûáîðî÷íûì ìîìåíòîì ïîðÿäêà k íàçûâàåòñÿ1∑(Xi − X)k .=nn(X −X)ki=1Òàêèì îáðàçîì, âòîðîé öåíòðàëüíûé âûáîðî÷íûé ìîìåíò ýòî âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ S 2 .Öåíòðàëüíûå âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ÿâëÿþòñÿ ñìåùåííûìèkîöåíêàìè äëÿ ñâîèõ òåîðåòè÷åñêèõ àíàëîãîâ√ E(Xi − EXi ) .Êîðåíü èç âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè S = S 2 íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì (ñòàíäàðòíûì) îòêëîíåíèåì.Îòìåòèì, ÷òî âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ âû÷èñëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî äèñïåðñèè.S 2 = X 2 − (X)2 .Íåñìåùåííàÿ âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ ýòî ñòàòèñòèêàS0 2 =nS2.n−122Äëÿ íåå âûïîëíåíî ñâîéñòâîES0 2 = DX1 .Îòìåòèì, ÷òî êîðåíü èç íåñìåùåííîé âûáîðî÷íîé äèñïåðñèèS0 íå ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé√ îöåíêîé äëÿ ñòàíäàðòíîãî îòêëî√íåíèÿ σX , òàê êàê E Y ̸= EY .Âûáîðî÷íîé àñèììåòðèåé íàçûâàåòñÿ3f = (X − X) ,AsS3âûáîðî÷íûì ýêñöåññîì4f = (X − X) .ExS4Îíè ÿâëÿþòñÿ âûáîðî÷íûìè àíàëîãàìè àñèììåòðèè è ýêñöåññà, îïðåäåëÿåìûõ ôîðìóëàìèAsX1 =E(X1 − EX1 )3,σ3ExX1 =E(X1 − EX1 )4,σ4√ãäå σ = DX1 òåîðåòè÷åñêîå ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå.Àñèììåòðèÿ è ýêñöåññ áåçðàçìåðíûå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèÿ.Àñèììåòðèÿ õàðàêòåðèçóåò ñêîøåííîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ.Îíà ðàâíà 0 äëÿ ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ êîíå÷íûì 3ì ìîìåíòîì.Ýêñöåññ õàðàêòåðèçóåò âûòÿíóòîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ.
Îí ðàâåí 3 äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Ñòàòèñòèêè è îöåíêèÇàäà÷à îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ âîçíèêàåò â ñèòóàöèè, êîãäàðàñïðåäåëåíèå F íå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ íåèçâåñòíûì, à èçâåñòåí åãî ìàòåìàòè÷åñêèé âèä F = F (t, θ), ñîäåðæàùèé íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð θ (èëè íåñêîëüêî, òîãäà θ ìíîãîìåðíûé23⃗ âû÷èñïàðàìåòð). Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïî âûáîðêå X⃗ äëÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòëèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå θ∗ (X)ðà, ïðè÷åì ñäåëàòü ýòî â òîì èëè èíîì ñìûñëå îïòèìàëüíûìîáðàçîì. Ýòî çàäà÷à.Îöåíêà θ̃ íàçûâàåòñÿîöåíêîé ïàðàìåòðàθ, åñëè äëÿ ëþáîãî θ ∈ Θ âûïîëíåíîòî÷å÷íîãî îöåíèâàíèÿíåñìåùåííîéEθ̃ = θ.(4)Äîãîâîðèìñÿ óêàçûâàòü â îáîçíà÷åíèè ñòàòèñòèêè îáúåì âûáîðêè, åñëè ýòî íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü: θ̃ = θ̃n .Îöåíêà θ̃n íàçûâàåòñÿθ, åñëè äëÿ ëþáîãî θ ∈ Θ ïðè n → ∞ èìååò ìåñòîñõîäèìîñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà:ïàðàìåòðà(ñèëüíî) ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé1θ̃n −→ θ,(5)òî åñòü P{θ̃n → θ} = 1.Ìåòîä ìîìåíòîâ (îäíîìåðíûé ñëó÷àé)Îöåíêîé ìåòîäà ìîìåíòîâ(ÎÌÌ) íàçûâàåòñÿ òàêîå çíà÷å⃗ , ïðè êîòîðîì òåîðåòè÷åñêîå ñðåäíåå âûáîðêèíèå θ∗g = θ∗g (X)⃗g (X) ñîâïàäàåò ñ âûáîðî÷íûì ñðåäíèì:mg (θ∗g ) = g(X),òî åñòü ÎÌÌ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîãî θ∗g .Åñëè ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ mg (θ) íåïðåðûâíà è ñòðîãî ìîíîòîííà, òî äëÿ íåå ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ m−1g , èÎÌÌ èìååò âèä:⃗ = m−1 (g(X)).θ∗g (X)gÎòìåòèì, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ mg (θ) = Eg(X1 ) íåïðåðûâíà⃗ =è ñòðîãî ìîíîòîííà, òî îöåíêà ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ θ∗g (X)m−1g (g(X)) ñèëüíî ñîñòîÿòåëüíà.24Ìåòîä ìîìåíòîâ (ìíîãîìåðíûé ñëó÷àé)⃗ ⊂Ïóñòü X= Fθ , ãäå ïàðàìåòð θ ∈ Θ, ïîäëåæàùèé îöåíèâàíèþ, ìíîãîìåðíûé.
Ðàññìîòðèì äëÿ ïðîñòîòû äâóìåðíûéñëó÷àé, òî åñòü θ = (θ1 , θ2 ). Òîãäà äëÿ îäíîçíà÷íîãî íàõîæäåíèÿ äâóõ íåèçâåñòíûõ θ1 , θ2 îäíîãî óðàâíåíèÿ íåäîñòàòî÷íî.Îöåíêîé ìåòîäà ìîìåíòîâ â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ ðåøåíèå(θ∗1 , θ∗2 ) ñèñòåìû óðàâíåíèé âèäà:{mg1 (θ1 , θ2 ) = g1 (X),mg2 (θ1 , θ2 ) = g2 (X).7.1. Ïî äàííîé ðåàëèçàöèè âûáîðêè ⃗x =(0; 0; 1; 1; 0; 0; 0; 0;0; 1):à) ïîñòðîèòü ãðàôèê ðåàëèçàöèè ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ;á) âû÷èñëèòü ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî è âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè.Ïî ðåàëèçàöèè âûáîðêè 1; 0; 1; 1; 0; 1; 0; 0; 0; 1 âû÷èñëèòü ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî, âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè,âûáîðî÷íîãî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ, íåñìåùåííîéâûáîðî÷íîé äèñïåðñèè, âûáîðî÷íûõ àñèììåòðèè è ýêñöåññà.Èçìåðåí ðîñò (â ñì) ñòóäåíòîâ îäíîé ó÷åáíîé ãðóïïû.Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé äàëè âûáîðêó (171; 186; 164; 190; 158;181; 176; 180; 174; 157; 176; 169; 164; 186).à) Ïîñòðîèòü ðåàëèçàöèþ ãèñòîãðàììû.á) Âû÷èñëèòü ðåàëèçàöèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî, âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè è âûáîðî÷íîãî ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ S .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
