1625915142-75d31c3ceb1a22adeb2e84acf057ca85 (840119), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. , Cn , ÷òîáû îöåíêèâèäà eθ = C1 X1 + C2 X2 + · · · + Cn Xn áûëè íåñìåùåííûìè. Ïîêàçàòü, ÷òî îöåíêà θ∗1 = X ÿâëÿåòñÿ íàèëó÷øåé â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì â ýòîì êëàññå îöåíîê.Äëÿ âûáîðîê èç ñëåäóþùèõ ðàñïðåäåëåíèé íàéòè îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ bθ, ïðîâåðèòü åå íåñìåùåííîñòü è âû÷èñëèòü E(bθ − θ)2 :1) ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè ñ ïàðàìåòðîì p;2) áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè 2, p;3) ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì 1/θ, θ > 1()k−1(íàïîìíèì, ÷òî Pθ {X = k} = 1θ 1 − 1θ, k ≥ 1, EX1 = θ,DX1 = θ(θ − 1));4) ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì 1/θ, θ > 0;5) íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a, 1;6) íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè 0, σ2 .⃗ ⊂Äàíà âûáîðêà X= U[0,θ] ; θ > 0 íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð.
Ñðàâíèòü, êàêàÿ èç îöåíîê äëÿ ïàðàìåòðà θ ëó÷øå âñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñìûñëå: θ∗1 = 2X , eθ = n+1n X(n) .Äëÿ ðàñïðåäåëåíèé èç çàäà÷è 9.3 ïðîâåðèòü óñëîâèåðåãóëÿðíîñòè, âû÷èñëèòü èíôîðìàöèþ Ôèøåðà è èññëåäîâàòüýôôåêòèâíîñòü ïîëó÷åííûõ â çàäà÷å 9.3 îöåíîê ìàêñèìàëüíîãîïðàâäîïîäîáèÿ.Äàíà âûáîðêà èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ{ θ−te , t ≥ θ;fθ (t) =0,t < θ.9.3.9.4.9.5.9.6*.Íàéòè îöåíêè äëÿ θ ìåòîäîì ìîìåíòîâ è ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Ñðàâèòü íàéäåííûå îöåíêè â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì.Ïî âûáîðêå (X1 , .
. . , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ Ëàïëàñà ñïëîòíîñòüþ fλ (t) = λ2 e−λ|t| , t ∈ R, ïîñòðîèòü îöåíêè ïàðàìåòðàλ > 0 íà îñíîâàíèè âòîðîãî ìîìåíòà è ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî9.7*.33ïðàâäîïîäîáèÿ. Ñðàâíèòü ýòè îöåíêè â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîìñìûñëå.10. Îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâ â çàäà÷àõ ëèíåéíîé ðåãðåññèèÍàáëþäàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà y , çíà÷åíèÿ êîòîðîé çà→−âèñÿò îò ñëó÷àéíîãî âåêòîðàx =(x1 , ..., xk ). Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîð-ñòîëáåö íåèçâåñòíûõ−→ïàðàìåòðîâ ðåãðåññèè θ = (θ1 , .
. . , θk )T . Áóäåì èçó÷àòü ëèíåéíóþ ðåãðåññèþôàêòîðîâ ðåãðåññèèYi =k∑xij θj + εi , i = 1, . . . , n.j=1Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ε1 , . . . , εn íåêîððåëèðîâàíû è ðàñïðåäåëåíû ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è êîíå÷íîé íåíóëåâîé äèñïåðñèåé σ2 . ìàòðè÷íîì âèäå⃗ = X⃗θ + ⃗ε.YÑôîðìóëèðóåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Ïóñòü ìàòðèöà X èìååò ðàíãk . Òîãäà îöåíêà bθ = (bθ1 , . .
. , bθk )T , ïîëó÷åííàÿ ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, êîòîðàÿ ìèíèìèçèðóåò ôóíêöèþÒåîðåìà ÃàóññàÌàðêîâà−→ −→−−→→L(⃗θ) = ( Y − X θ )T ( Y − X θ ),ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé è èìååò âèä−→bθ = (X T X)−1 X T Y .Êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà îöåíêè bθ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåC(bθ) = σ2 (X T X)−1 .34Åñëè n > k , òî íåñìåùåííàÿ îöåíêà ïàðàìåòðà σ2 ðàâíàc2 =σn−→11 ∑2b|| Y − X θ|| =(Yi − Ybi )2 .n−kn−ki=1Çäåñü || · ||2 ñêàëÿðíûé êâàäðàò âåêòîðà, Yb(Yb1 , . . .
, Ybn )T = X bθ.Âåëè÷èíà∑nc2(Yi − Ybi )2(n − k)σ=∑i=1n22nSYi=1 (Yi − Y )= äîëÿ âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè, íå îáúÿñíåííîé ðåãðåññèîííîéìîäåëüþ.Êîýôôèöèåíò äåòåðìèíàöèèR2 = 1 −c2(n − k)σnSY2 ýòî äîëÿ îáúÿñíåííîé âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè.Ïóñòü Yi = xi + θ + εi , i = 1, . . . , n. Çäåñü xi , θ ∈ R.Íàéòè îöåíêó äëÿ θ ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Íàéòèîöåíêó äèñïåðñèè ðåãðåññèîííûõ îøèáîê σ2 .Ïóñòü Yi = θxi + εi , i = 1, . . . , n. Çäåñü xi , θ ∈ R. Âûÿñíèòü, äëÿ êàêèõ çíà÷åíèé xi âûïîëíåíû ïðåäïîëîæåíèÿ òåîðåìû ÃàóññàÌàðêîâà. Íàéòè îöåíêó äëÿ θ ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõêâàäðàòîâ.
Íàéòè îöåíêó äèñïåðñèè ðåãðåññèîííûõ îøèáîê σ2 .Êîíöåíòðàöèÿ ëåêàðñòâà Y > 0 â êðîâè ïàöèåíòà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà ìàññå òåëà x > 0. Íàéòè îöåíêó êîýôôèöèåíòà ïðîïîðöèîíàëüíîñòè äëÿ ñëåäóþùèõ ìîäåëåé:1) Yi = θ/xi + εi ;2) ln Yi = ln(θ/xi ) + εi ;i = 1, . . . , n. Íàéòè îöåíêó ïàðàìåòðà θ â êàæäîé ìîäåëè.Íàéòè äèñïåðñèþ îöåíêè â ïåðâîé ìîäåëè è äèñïåðñèþ ëîãàðèôìà îöåíêè âî âòîðîé ìîäåëè.10.1.10.2.10.3.3510.4. Äëÿ ðåãðåññèîííîé ìîäåëè Y= a+bxi +εi , i = 1, . .
. , n,íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ a, b ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Íàéòè êîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó îöåíîê. Íàéòè îöåíêó äèñïåðñèè ðåãðåññèîííûõ îøèáîê σ2 .Ïî ðåàëèçàöèè äâóìåðíîé âûáîðêè x1 = 1, Y1 = 0,x2 = 2, Y2 = 2, 5, x3 = 3, Y3 = 0, 5, íàéòè ðåàëèçàöèè îöåíîêïàðàìåòðîâ ìîäåëè èç çàäà÷è 11.4. Âû÷èñëèòü ðåàëèçàöèþ êîýôôèöèåíòà äåòåðìèíàöèè.Äëÿ ðåãðåññèîííîé ìîäåëè Yi = a1 cos xi +b1 sin xi +εi ,i = 1, . . . , n, íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðîâ a1 , b1 ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.
Ðàññìîòðåòü ñëó÷àé xi = πi/2, n = 4. Íàéòèêîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó îöåíîê.i10.5.10.6*.11. Èíòåðâàëüíîå îöåíèâàíèåÏóñòü èìååòñÿ âûáîðêà îáúåìà n èç ðàñïðåäåëåíèÿ, èçâåñò⃗ ⊂íîãî ñ òî÷íîñòüþ äî ïàðàìåòðà: X= F (t, θ), θ ∈ Θ.1 − ε äëÿ íåèçâåñòíîãîïàðàìåòðà θ íàçûâàþò ñëó÷àéíûé èíòåðâàë (θ− ; θ+ ) ⊂ Θ, ïîñòðîåííûé ïî âûáîðêå, êîòîðûé íàêðûâàåò íåèçâåñòíîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ñ âåðîÿòíîñòüþ, ðàâíîé 1 − ε, èëè ïî êðàéíåéìåðå ñòðåìÿùåéñÿ ê 1 − ε ñ ðîñòîì îáúåìà âûáîðêè, òî åñòüòåëüíûì èíòåðâàëîì ñ óðîâíåì äîâåðèÿÄîâåðè-P{θ ∈ (θ− ; θ+ )} → 1 − εïðè n → ∞. ñëó÷àå, êîãäà âìåñòî ñõîäèìîñòè âûïîëíÿåòñÿ òî÷íîå ðàâåíñòâî, äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë íàçûâàåòñÿ.θ− , θ+ ýòî îöåíêè ïàðàìåòðà θ, íàçûâàåìûå.
×èñëî 1 − ε ∈ (0; 1) óðîâåíü äîâåðèÿ, èëè äîâåðèòåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü, âûáèðàåòñÿ çàðàíåå è îòðàæàåò ¾ñòåïåíü ãîòîâíîñòè ìèðèòüñÿ ñ âîçìîæíîñòüþ îøèáêè¿. ×åì ìåíåå ìû ãîòîâû ìèðèòüñÿ ñ âîçìîæíîéîøèáêîé, òåì ìåíüøåå (áîëåå áëèçêîå ê íóëþ) çíà÷åíèå ε äîëæíû óñòàíàâëèâàòü.âåðõíåé äîâåðèòåëüíûìè ãðàíèöàìè36òî÷íûìíèæíåé èÀñèìïòîòè÷åñêèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëûÅñëè ðàñïðåäåëåíèå íå ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì, òî÷íûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, êàê ïðàâèëî, íå óäàåòñÿ ïîñòðîèòü. Ïîýòîìó ñòðîÿò àñèìïòîòè÷åñêèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, ïðèìåíÿÿöåíòðàëüíóþ ïðåäåëüíóþ òåîðåìó, êîòîðàÿ óòâåðæäàåò, ÷òî äëÿâñåõ t1 , t2 ∈ R (t1 < t2 ) âûïîëíåíî:{}ng(X) − nEg(X1 )√lim P t1 ≤< t2 = Φ(t2 ) − Φ(t1 ),n→∞nDg(X1 )òî åñòü öåíòðèðîâàííûå è íîðìèðîâàííûå ñóììû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ng(X) = g(X1 ) + .
. . + g(Xn ) ñõîäÿòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ êñëó÷àéíîé âåëè÷èíå, èìåþùåé ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî 0 < Dg(X1 ) < ∞.Åñëè âûáðàòü t2 = −t1 = A, g(x) = x è ïðèíÿòü äîâåðèòåëüíûé óðîâåíü ðàâíûì 1 − ε, òî}{nX − nEX1< A = Φ(A)−Φ(−A) = 2Φ(A)−1 = 1−ε,lim P −A ≤ √n→∞nDX1îòêóäà ïîëó÷àåì:Φ(A) = 1 − ε/2.Ïî çàäàííîìó ε ìîæíî íàéòè A ñ ïîìîùüþ òàáëèö íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èëè ïðîãðàììíûõ ïðèëîæåíèé.
Îòìåòèìñëåäóþùåå ñâîéñòâî ñõîäèìîñòè ïî ðàñïðåäåëåíèþ: åñëè Yn ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê Y , à Zn ñõîäèòñÿ ê 1 ñ âåðîÿòíîñòüþåäèíèöà, òî èõ ïðîèçâåäåíèåYn Zn ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê√Y . Îáîçíà÷èì σ = DX1 è âûáåðåì√σnX − nEX1n(X − EX1 )√Yn ==, Zn = .σSσ n√Âñïîìíèì, ÷òî S = X 2 − (X)2 → σ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1, è,ñëåäîâàòåëüíî, Zn → 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ 1.
Èòàê,√√n(X − EX1 ) σn(X − EX1 )· =Yn Zn =σSS37ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå, òî åñòü{}√n(X − EX1 )lim P −A ≤< A = Φ(A)−Φ(−A) = 2Φ(A)−1 = 1−ε.n→∞S×òîáû äëÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà θ íàéòè äâóñòîðîííèéäîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë àñèìïòîòè÷åñêîãî óðîâíÿ 1 − ε, íóæíî äëÿ èññëåäóåìîãî îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà ðàñïðåäåëåíèé íàéòè çàâèñèìîñòü EX1 = a(θ) è ðåøèòü îòíîñèòåëüíîïàðàìåòðà θ äâîéíîå íåðàâåíñòâî:√n(X − a(θ))−A ≤< A.SÄëÿ ýòîãî íóæíî, ÷òîáû ôóíêöèÿ a(θ) áûëà íåïðåðûâíîé èñòðîãî ìîíîòîííîé. Ïîëó÷èâøèåñÿ ãðàíèöû äâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç θ− è θ+ .Ðàñïðåäåëåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ íîðìàëüíûìÏðè ïîñòðîåíèè äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ äëÿ ïàðàìåòðîâíîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü äâà ñïåöèàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèÿ, ñâÿçàííûõ ñ íîðìàëüíûì: ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò è ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà.
Íàçâàíèå ¾ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà¿ ñâÿçàíî ñ èìåíåì àíãëèéñêîãî ñòàòèñòèêà Ê.Ãîññåòà, êîòîðûé ïîäïèñûâàë ñâîè ðàáîòû ïñåâäîíèìîì¾Ñòüþäåíò¿.Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Zn èìååòn, åñëèðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò ññòåïåíÿìè ñâîáîäûZn = X1 2 + . . . + Xn 2 ;ãäå X1 , . . . , Xn íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñî ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì.Îòìåòèì, ÷òî ¾÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû¿ ýòî ïðîñòî òðàäèöèîííîå íàçâàíèå äëÿ ïàðàìåòðà n ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò.38Ïàðàìåòð n ïîëîæèòåëüíîå öåëîå ÷èñëî.
 ÷àñòíîñòè, ïðèn = 1 ïîëó÷àåì êâàäðàò îäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñî ñòàíäàðòíûì íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì: Z1 = X 2 , ãäå X ⊂= N0, 1 .Áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå: Zn ⊂= χ2n .Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò.Ïóñòü Zn ⊂= χ2n . Òîãäà:1) EZn = n;2) Zn /n → 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïðè n → ∞.Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Yn èìååòn, åñëèðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ññòåïåíÿìè ñâîáîäûYn = √XZn /n,ãäå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Zn íåçàâèñèìû, ïðè÷åì X èìååòñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, à Zn èìååò ðàñïðåäåëåíèå õè-êâàäðàò ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Çäåñü, êàê è ó ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò, n ýòî ïðîñòî ïîëîæèòåëüíûé öåëûéïàðàìåòð.Áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå îáîçíà÷åíèå: Yn ⊂= Tn .Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà.Ïóñòü Yn ⊂= Tn . Òîãäà:1) äëÿ ëþáîãî t âûïîëíåíî P{Yn < −t} = P{Yn > t}, òî åñòüðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñèììåòðè÷íî;2) Yn → X ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïðè n → ∞, ãäå X èìååòñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Òî÷íûå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëûÍàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîé ñèòóàöèåé, êîãäà âîçìîæíî ïîñòðîåíèå òî÷íûõ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ, ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé⃗ ⊂íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: X= Φa,σ2 , êîãäà õîòÿ áû îäèí èçåãî ïàðàìåòðîâ íåèçâåñòåí.
 ýòîì ñëó÷àå èçâåñòíî ñîâìåñòíîåðàñïðåäåëåíèå íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûõ îöåíîê X è S 2 ïàðàìåòðîâ a è σ2 , ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî è ñòðîÿòñÿ ñîîòâåòñòâó39þùèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ñîäåðæàòñÿ â ñëåäóþùåé òåîðåìå.⃗ ⊂Ïóñòü X= Φa,σ2 . Òîãäà âåðíû ñëåäóþùèå 4 ôàêòà.√n(X − a)1)⊂= Φ0,1 .σ∑n2i=1 (Xi − a)⊂= χ2n .2)σ2Òåîðåìà Ôèøåðà.nS 2⊂= χ2n−1 .σ2()√n−1 X −a4)⊂= Tn−1 .S3)11.1.äåëåíèÿ⃗ èìåþò ïëîòíîñòü ðàñïðåÏóñòü ýëåìåíòû âûáîðêè Xf (t) =1,π(1 + (t − θ)2 )t ∈ R.Çäåñü θ íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð, θ ∈ R. Ïîñòðîèòü òî÷íûéäîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ïàðàìåòðà θ ïî îäíîìó íàáëþäåíèþ (n = 1).⃗ ⊂X= Bp , 0 < p < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
