1625915142-75d31c3ceb1a22adeb2e84acf057ca85 (840119), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Ïîñòðîèòü àñèìïòîòè÷åñêèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ïàðàìåòðà p.Äàíà âûáîðêà èç ãåîìåòðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì p, 0 < p < 1. Ïîñòðîèòü àñèìïòîòè÷åñêèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ïàðàìåòðà p.Ïî âûáîðêå èç ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîìλ > 0 ïîñòðîèòü àñèìïòîòè÷åñêèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿïàðàìåòðà λ.Äàíà âûáîðêà èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþe−|t−a| /2, a ∈ R. Ïîñòðîèòü àñèìïòîòè÷åñêèé äîâåðèòåëüíûéèíòåðâàë äëÿ ïàðàìåòðà a.⃗ ⊂Ïóñòü X= U[0; θ] , ãäå θ > 0.
Ñ ïîìîùüþ ñòàòèñòèê11.2.11.3.11.4.11.5*.11.6*.40X è X 2 ïîñòðîèòü àñèìïòîòè÷åñêèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû+− +(ñîîòâåòñòâåííî (θ−1 , θ1 ) è (θ2 , θ2 )) óðîâíÿ 1 − ε è ïîêàçàòü, ÷òî+ñëó÷àéíûé èíòåðâàë (θ−2 , θ2 ) àñèìïòîòè÷åñêè êîðî÷å ñîîòâåò− +ñòâóþùåãî (θ1 , θ1 ).Èçâåñòíî, ÷òî èçìåðåíèÿ âåëè÷èíû a íåçàâèñèìû, èìåþò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a(òî åñòü îòñóòñòâóåò ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü) è ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì 10 ìì. Ðåçóëüòàòû 4 èçìåðåíèé äàëè ñðåäíååçíà÷åíèå 512 ìì. Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ïàðàìåòðàa óðîâíÿ 0,95; óðîâíÿ 0,998.Èçâåñòíî, ÷òî èçìåðåíèÿ âåëè÷èíû a íåçàâèñèìû, èìåþò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì a(òî åñòü îòñóòñòâóåò ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü) è ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì σ.
Ðåçóëüòàòû 100 èçìåðåíèé ýòàëîííîé äëèíû 1 ì äàëè âûáîðî÷íîå ñðåäíåå 1,01 ì è âûáîðî÷íûé âòîðîéìîìåíò 1,04 ì2 . Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ óðîâíÿ 0,9; óðîâíÿ 0,99.Ïî âûáîðêå îáúåìà 25 èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿïîäñ÷èòàíû âûáîðî÷íîå ñðåäíåå 2,1 è âûáîðî÷íûé âòîðîé ìîìåíò 4,42. Ïîñòðîèòü òî÷íûå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû óðîâíÿ0,95 äëÿ ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.11.7.11.8.11.9.12. Ñòàòèñòè÷åñêèå ãèïîòåçû è êðèòåðèè⃗ = (X1 , X2 , ..., Xn ) âûáîðêà, X⃗ ⊂Ïóñòü X= F, ãäå F ïîëíîñòüþ èëè ÷àñòè÷íî íåèçâåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå îòäåëüíîãîíàáëþäåíèÿ Xi .áóäåì íàçûâàòü âñÿêîå óòâåðæäåíèå î âèäå èëè ñâîéñòâàõ íåèçâåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ F.Ãèïîòåçà íàçûâàåòñÿ, åñëè îíà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå , â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ãèïîòåçà íàçûâàåòñÿ.Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñèòóàöèþ, êîãäà ãèïîòåç âñåãî äâå.Îäíó èç íèõ íàçûâàþò, à äðóãóþ ,Ñòàòèñòè÷åñêîé ãèïîòåçîéïðîñòîéFñëîæíîéîñíîâíîé41àëüòåðíàòèâíîéîáîçíà÷àÿ ñîîòâåòñòâåííî H0 è H1 .Ñòàòèñòè÷åñêèì êðèòåðèåìíàçûâàþò âñÿêîå ïðàâèëî,ïîçâîëÿþùåå íà îñíîâàíèè íàáëþäàåìîãî âûáîðî÷íîãî âåêòîðà⃗ ïðèíÿòü îäíó èç ãèïîòåç: îñíîâíóþ èëè àëüòåðíàòèâíóþ.XÏðè ïðèìåíåíèè ñòàòèñòè÷åñêîãî êðèòåðèÿ ìîãóò âîçíèêíóòü îøèáêè äâóõ ðîäîâ.
Îøèáêà ïåðâîãî ðîäà ñîñòîèò â òîì,÷òî îòâåðãàåòñÿ âåðíàÿ íóëåâàÿ ãèïîòåçà. Îøèáêà âòîðîãî ðîäà îòâåðãàåòñÿ âåðíàÿ ïåðâàÿ ãèïîòåçà. Âîîáùå îøèáêà i-ãî ðîäàñîñòîèò â òîì, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêèé êðèòåðèé îòâåðãàåò âåðíóþ(i − 1)-þ ãèïîòåçó.ïðèíèìàåìàÿãèïîòåçàâåðíàãèïîòåçà H0âåðíàãèïîòåçà H1H0íåò îøèáêèîøèáêà 2-ãî ðîäàH1îøèáêà 1-ãî ðîäàíåò îøèáêèÊðèòåðèé õàðàêòåðèçóåòñÿ âåðîÿòíîñòÿìè îøèáîê:α1 = PH0 (H0 îòâåðãàåòñÿ);α2 = PH1 (H1 îòâåðãàåòñÿ).Çäåñü íèæíèé èíäåêñ ó ñèìâîëà âåðîÿòíîñòè óêàçûâàåò, ïðèâûïîëíåíèè êàêîé ãèïîòåçû ïîäñ÷èòûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü.Êðèòåðèè ñîãëàñèÿÓäîáíî ïðåäñòàâëÿòü ñòàòèñòè÷åñêèé êðèòåðèé êàê ôóíê⃗ îò âûáîðî÷íîãî âåêòîðà, ïðèíèìàþùóþ äâà çíà÷åöèþ δ(X)íèÿ: H0 è H1 .
Íàèáîëåå îáùèé ïîäõîä äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ êðèòåðèåâ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.⃗ íåêîòîðàÿ ñòàòèñòèêà, õàðàêòåðèçóþùàÿÏóñòü T = T (X)îòêëîíåíèå ýìïèðè÷åñêèõ äàííûõ, ïðåäñòàâëåííûõ âûáîðêîé,42îò òåîðåòè÷åñêèõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçå H0 .⃗ èçâåñòíî (òî÷íî èëè õîÅñëè ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè T (X)òÿ áû ïðèáëèæåííî), òî äëÿ ëþáîãî α > 0 ìîæíî íàéòè òàêîåìíîæåñòâî Tα çíà÷åíèé T , äëÿ êîòîðîãî áóäåò âûïîëíåíî íåðàâåíñòâîP(T ∈ Tα /H0 ) ≤ α.Ïóñòü α > 0 íàñòîëüêî ìàëî, ÷òî ñîáûòèå, èìåþùåå âåðîÿòíîñòü, íå ïðåâîñõîäÿùóþ α, ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíûì.
Òîãäà ñòàòèñòè÷åñêèé êðèòåðèé ìîæíî çàäàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:{⃗⃗ = H1 , åñëè T (X) ∈ Tα ;δ(X)⃗ ∈H0 , åñëè T (X)/ Tα .×èñëî α > 0, êîòîðîå ôèãóðèðóåò â ôîðìóëàõ, íàçûâàåòñÿ, èëè, ñòàòèñòèêà⃗T (X) íàçûâàåòñÿ, à ìíîæåñòâî Tα .óðîâíåì êðèòåðèÿóðîâíåì çíà÷èìîñòèñòàòèñòèêîé êðèòåðèÿêðèòè÷åñêèì ìíîæåñòâîìÄîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè⃗ òðåáóþò ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ:Îò ñòàòèñòèêè T = T (X)1) ïðè âûïîëíåíèè ãèïîòåçû H0 ñòàòèñòèêà T èìååò èçâåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, ñõîäèòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ ê íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå J ñ èçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì;2) ïðè âûïîëíåíèè ãèïîòåçû H1 ñòàòèñòèêà T ñõîäèòñÿ ïî÷òèíàâåðíîå ê áåñêîíå÷íîñòè ñ ðîñòîì îáúåìà âûáîðêè.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü êðèòåðèé óðîâíÿ α, çàäàþò êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî â âèäåTα = {T ≥ C},ãäå C êîíñòàíòà, îïðåäåëÿåìàÿ óñëîâèåìP{J ≥ C} = α,43òî åñòü FJ (C) = 1 − α.ßñíî, ÷òî ïðè òàêîì âûáîðå êîíñòàíòû C âåðîÿòíîñòü îøèáêè íóëåâîãî ðîäà α0 ëèáî ðàâíà óðîâíþ êðèòåðèÿ α (â ñëó÷àå,êîãäà ñòàòèñòèêà T ïðè âåðíîé íóëåâîé ãèïîòåçå ðàñïðåäåëåíàâ òî÷íîñòè êàê J ), ëèáî, ïî êðàéíåé ìåðå, ñõîäèòñÿ ê α ñ ðîñòîìîáúåìà âûáîðêè.Ñõîäèìîñòü ñòàòèñòèêè T ïî÷òè íàâåðíîå ê áåñêîíå÷íîñòèïðè âûïîëíåííîé ïåðâîé ãèïîòåçå ãàðàíòèðóåòêðèòåðèÿ, òî åñòü ñõîäèìîñòü âåðîÿòíîñòè îøèáêè ïåðâîãî ðîäà α1 ê íóëþ ñ ðîñòîì îáúåìà âûáîðêè.⃗ ìîæíî íàéòè ïðåäåëüÄëÿ êàæäîé êîíêðåòíîé âûáîðêè X∗∗⃗íîå çíà÷åíèå óðîâíÿ α = α (X), ïðè êîòîðîì ãèïîòåçà H0 åùåìîæåò áûòü ïðèíÿòà.
Òàêîå çíà÷åíèå íàçûâàåòñÿ, èëè ïðîñòî. Äîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè α∗ èìååò ñìûñëâåðîÿòíîñòè ïîëó÷èòü õóäøåå ñîãëàñèå ñ ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçîé, ÷åì ðåàëüíî ïîëó÷åííîå, åñëè ãèïîòåçà H0 âåðíà. Ïîýòîìó÷åì ìåíüøå α∗ , òåì áîëåå ýòî ãîâîðèò ïðîòèâ ãèïîòåçû H0 .Äîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè J :ñîñòîÿòåëü-íîñòüðåàëüíî äîñòèäîñòèãàåìûì óðîâíåìãàåìûì óðîâíåì çíà÷èìîñòèçíà÷èìîñòè⃗ = 1 − FJ (T (X)).⃗α∗ = P{J ≥ T (X)} òåðìèíàõ äîñòèãàåìîãî óðîâíÿ çíà÷èìîñòè êðèòè÷åñêàÿîáëàñòü èìååò âèäTα = {α∗ ≤ α},òî åñòü íóëåâàÿ ãèïîòåçà îòâåðãàåòñÿ íà óðîâíå α â ñëó÷àå, êîãäàα∗ ≤ α.Êàæäûé êðèòåðèé ñîãëàñèÿ èñïîëüçóåò ñâîþ ñòàòèñòèêó,ïðåäíàçíà÷åííóþ äëÿ ðàçëè÷åíèÿ íóëåâîé ãèïîòåçû è àëüòåðíàòèâû è îáëàäàþùóþ íóæíûìè ñâîéñòâàìè: ñõîäèìîñòüþ ê ôèêñèðîâàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïðè âûïîëíåíèè íóëåâîé ãèïîòåçûè ñõîäèìîñòüþ ïî÷òè íàâåðíîå ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè åå íåâûïîëíåíèè.44 êà÷åñòâå âàæíûõ ïðèìåðîâ êðèòåðèåâ ñîãëàñèÿ ðàññìîòðèì êðèòåðèè Êîëìîãîðîâà è õè-êâàäðàò Ïèðñîíà.Êðèòåðèè ñîãëàñèÿ Êîëìîãîðîâà è χ Ïèðñîíà2⃗ ⊂Ðàññìîòðèì âûáîðêó X= F îáúåìà n ñ íåèçâåñòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F è ïðîñòóþ ãèïîòåçó H0 : F = F0 .
Àëüòåðíàòèâíîé äëÿ H0 ÿâëÿåòñÿ ñëîæíàÿ ãèïîòåçà H1 : F ̸= F0 .ïðèìåíÿåòñÿ â ñëó÷àå, êîãäàôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F0 (t) íåïðåðûâíà. Ðàññìàòðèâàåòñÿñëåäóþùåå ðàññòîÿíèå ìåæäó ýìïèðè÷åñêîé è òåîðåòè÷åñêîéôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ:Êðèòåðèé ÊîëìîãîðîâàDn = D(Fn∗ , F0 ) =sup−∞<t<∞|Fn∗ (t)−F0 (t)| =max−∞<t<∞|Fn∗ (t)−F0 (t)|. êà÷åñòâå ñòàòèñòèêè êðèòåðèÿ Êîëìîãîðîâà âûáèðàåòñÿ√ýòî ðàññòîÿíèå, óìíîæåííîå íà n, ãäå n îáúåì âûáîðêè:√√Tn = nDn = n max |Fn∗ (t) − F0 (t)|.−∞<t<∞Tn :À.Í.Êîëìîãîðîâ äîêàçàë ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ñòàòèñòèêè1) åñëè ãèïîòåçà H0 âåðíà, òî Tn ñ ðîñòîì n ñõîäèòñÿ êñëó÷àéíîé âåëè÷èíå J ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, íàçûâàåìîéôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Êîëìîãîðîâà:FJ (t) = 1 − 2∞∑(−1)k+1 e−2k2 t2;k=12) åñëè ãèïîòåçà H0 íåâåðíà, òî Tn ñõîäèòñÿ ïî÷òè íàâåðíîå ê +∞ ïðè n → ∞.
Òàêèì îáðàçîì, äîñòèãàåìûé óðîâåíüçíà÷èìîñòè êðèòåðèÿ Êîëìîãîðîâà ðàâåí:α∗ = 1 − FJ (Tn ) = 2∞∑(−1)k+1 e−2kk=12T 2n=2∞∑k=145(−1)k+1 e−2k2 nD 2n.(6)Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ðàñ÷åòîâ ïî ýòîé ôîðìóëå íóæíî áðàòüíå âñþ áåñêîíå÷íóþ ñóììó, à òîëüêî íåñêîëüêî ñëàãàåìûõ, ïðèýòîì îøèáêà âû÷èñëåíèé íå ïðåâîñõîäèò ïîñëåäíåãî îòáðîøåííîãî ñëàãàåìîãî. Êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà îòâåðãàåò ãèïîòåçó H0íà óðîâíå α, åñëè α∗ ≤ α.Äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî âû÷èñëåíèÿ ñòàòèñòèêèDn =⃗ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþ ôîðìóëó:Dn (X) )(i i − 1 ⃗Dn (X) = max max F (X(i) ) − ; F (X(i) ) −.1≤i≤nnn âàðèàöèîííîãî ðÿäàóïîðÿäî÷èòüÇäåñü X(i) ýòî ýëåìåíòû, òî åñòü äëÿýòèõ âû÷èñëåíèé âûáîðêó ñëåäóåò ïðåäâàðèòåëüíî.Åñëè ãèïîòåòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F0 (x) íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé, òî êðèòåðèé Êîëìîãîðîâà íåïðèìåíèì.
Âýòîì ñëó÷àå ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ χ2.Ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ Ïèðñîíà ñòðîèòñÿ ïîñëå ïðåäâàðèòåëüíîãî ¾ãðóïïèðîâàíèÿ¿ âûáîðî÷íûõ äàííûõ. Äëÿ ýòîãî âñå ìíîæåñòâî S âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Xi ðàçáèâàåòñÿíà êîíå÷íîå ÷èñëî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ÷àñòåé:ïî âîçðàñòàíèþêðèòåðèåì ÏèðñîíàS = S1 ∪ S2 ∪ · · · ∪ Sr ,Si ∩ Sj = ∅, i ̸= j.⃗ , ïîïàâøèõ â ìíîÎáîçíà÷èì νj ÷èñëî ýëåìåíòîâ âûáîðêè Xæåñòâî Sj , à pj âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûXi â ìíîæåñòâî Sj , âû÷èñëåííàÿ ñ ïîìîùüþ ãèïîòåòè÷åñêîéôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F = F0 .
Òîãäà â êà÷åñòâå ñòàòèñòèêèêðèòåðèÿ χ2 ðàññìàòðèâàþò ñëåäóþùóþ ïðåäëîæåííóþ Ïèðñîíîì ìåðó îòêëîíåíèÿ ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îò ïðåäïîëàãàåìîãî òåîðåòè÷åñêîãî:⃗ =χ (X)2r∑(νj − npj )2.npjj=1Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, ïîçâîëÿþùàÿ íàõîäèòüðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè χ2 ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ n, à ñòàëîáûòü, è ñòðîèòü ñòàòèñòè÷åñêèé êðèòåðèé.46Åñëè ãèïîòåçà H0 îäíîçíà÷íî ôèêñèðóåò âåðîÿòíîñòèp1 , p2 , . . . , pr , ãäå pj = P(Xi ∈ Sj ), òî ïðè âûïîëíåíèè ýòîé ãè⃗ ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ðàñïðåäåëåíèþ χ2 :ïîòåçû ñòàòèñòèêà χ2 (X)r−1χ2 =⇒ χ2r−1 , n → ∞.⃗ ñõîäèòÏðè íåâûïîëíåíèè íóëåâîé ãèïîòåçû ñòàòèñòèêà χ2 (X)ñÿ ïî÷òè íàâåðíîå ê +∞.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ êðèòåðèÿ, îñíîâàííîãî íà ñòàòèñòèêåχ2 , èñïîëüçóåì ðàñïðåäåëåíèå χ2r−1 , è ïî íàéäåííîìó çíà÷åíèþ⃗ îòûñêèâàåì äîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè:χ2 (X)⃗α∗ = 1 − Fχ2r−1 (χ2 (X))ïî òàáëèöå ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò èëè ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêèõ ïàêåòîâ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
