1625915142-75d31c3ceb1a22adeb2e84acf057ca85 (840119), страница 7
Текст из файла (страница 7)
 ïàêåòå Microsoft Excel äîñòèãàåìûé óðîâåíüçíà÷èìîñòè âû÷èñëÿåòñÿ ôîðìóëîé=ÕÈ2ÐÀÑÏ(ÿ÷åéêà;r-1)(â êà÷åñòâå ÿ÷åéêè íàäî ïîäñòàâèòü àäðåñ ÿ÷åéêè, â êîòîðîéâû÷èñëåíà ñòàòèñòèêà õè-êâàäðàò, à r − 1 ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû).Òîãäà êðèòåðèé Ïèðñîíà èìååò ñëåäóþùèé âèä:H0 ⇔ α∗ > α.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ ðåêîìåíäóåòñÿðàçáèåíèå ïðîèçâîäèòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñüóñëîâèå npj ≥ 5.
Ïðè íàðóøåíèè ýòîãî óñëîâèÿ íóæíî îáúåäèíèòü ñîñåäíèå ìíîæåñòâà Sj . Âåðîÿòíîñòè pj íàäî âûáèðàòü ïîâîçìîæíîñòè ðàâíûìè.Êðèòåðèé õè-êâàäðàò ÷àñòî èñïîëüçóþò äëÿ ïðîâåðêè ñëîæíûõ ãèïîòåç î ïðèíàäëåæíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ê íåêîòîðîìóïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó (íàïðèìåð, ê íîðìàëüíîìó). Ïðèýòîì âìåñòî èçâåñòíûõ âåðîÿòíîñòåé pj ïîäñòàâëÿþò èõ îöåíêè p∗j , ïîëó÷åííûå ïóòåì îöåíèâàíèÿ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ47ðàñïðåäåëåíèÿ.
Âàæíî ïîíèìàòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ïðåäåëüíîå⃗ óæå íå áóäåò ðàñïðåäåëåíèåìðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè χ2 (X)2χr−1 , à áóäåò áëèçêî ê ðàñïðåäåëåíèþ χ2r−1−s , ãäå s ÷èñëîîöåíèâàåìûõ ïàðàìåòðîâ (s = 2 äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ). Áîëåå òî÷íî, ïðåäåëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàêëþ÷åíà ìåæäó ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ χ2r−1−s è χ2r−1 .Äîñòèãàåìûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè α∗ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó:⃗ ≤ α∗ ≤ 1 − F 2 (χ2 (X)),⃗1−F 2(χ2 (X))χr−1−sχr−1ãäå s ÷èñëî îöåíèâàåìûõ ïàðàìåòðîâ.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü â òî÷íîñòè ðàñïðåäåëåíèå õèêâàäðàò ñ r − 1 − s ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ñëåäóåò îöåíèâàòü íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïîâûáîðêå, íî ýòî ïðèâîäèò, êàê ïðàâèëî, ê ñëîæíûì âû÷èñëèòåëüíûì ïðîöåäóðàì.ãðóïïèðîâàííîé12.1.Êðóïíàÿ ïàðòèÿ òîâàðîâ ìîæåò ñîäåðæàòü äîëþ äåôåêòíûõ èçäåëèé. Ïîñòàâùèê ïîëàãàåò, ÷òî ýòà äîëÿ ñîñòàâëÿåò3%, à ïîêóïàòåëü 10%.
Óñëîâèÿ ïîñòàâêè: åñëè ïðè ïðîâåðêå20 ñëó÷àéíûì îáðàçîì îòîáðàííûõ òîâàðîâ îáíàðóæåíî íå áîëååîäíîãî äåôåêòíîãî, òî ïàðòèÿ ïðèíèìàåòñÿ íà óñëîâèÿõ ïîñòàâùèêà, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íà óñëîâèÿõ ïîêóïàòåëÿ. Òðåáóåòñÿîïðåäåëèòü:1) êàêîâû ñòàòèñòè÷åñêèå ãèïîòåçû, ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ, îáëàñòü åå çíà÷åíèé, êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü;2) êàêîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò ñòàòèñòèêà êðèòåðèÿ, â ÷åì ñîñòîÿò îøèáêè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà è êàêîâû èõ âåðîÿòíîñòè.Èìååòñÿ âûáîðêà îáúåìà 1 èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Φa,1 .
Ïðîâåðÿþòñÿ ïðîñòûå ãèïîòåçû H0 : a = 0, H1 : a = 1.Èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé êðèòåðèé (ïðè çàäàííîé ïîñòîÿííîéc):H0 ⇔ X1 ≤ c.12.2.Âû÷èñëèòü, â çàâèñèìîñòè îò c, âåðîÿòíîñòè îøèáîê ïåðâîãî èâòîðîãî ðîäà.4812.3.Èñïîëüçóÿ êîíñòðóêöèè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà,ïîñòðîèòü êðèòåðèé òî÷íîãî óðîâíÿ ε äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçûH : θ = 1, åñëè:⃗ ⊂à) X= Φθ,1 ;⃗á) X ⊂= Φ1,θ .Ïîñòðîèòü êðèòåðèé, îáëàäàþùèé íóëåâûìè âåðîÿò⃗ ⊂íîñòÿìè îøèáîê, äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåç H0 : X= Φ0,1 ïðî⃗òèâ H1 : X ⊂= Πλ .⃗ ⊂Ïóñòü X= Φa,1 . Äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåç H0 : a =0 ïðîòèâ H1 : a = 1 èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé êðèòåðèé: H0ïðèíèìàåòñÿ, åñëè X(n) < 3, è îòâåðãàåòñÿ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.Íàéòè âåðîÿòíîñòè îøèáîê.Èñïîëüçóÿ êîíñòðóêöèè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà,ïîñòðîèòü êðèòåðèé àñèìïòîòè÷åñêîãî óðîâíÿ ε äëÿ ïðîâåðêè⃗ ⊂⃗ ⊂⃗ ⊂ãèïîòåçû H : θ = 1 , åñëè à) X= Eθ ; á) X= Bθ/2 ; â) X= Πθ .Âû÷èñëèòü çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè Êîëìîãîðîâà ïî ðåàëèçàöèè âûáîðêè (1,1; 0,4; 0,2; 3,2), åñëè îñíîâíàÿ ãèïîòåçà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ýëåìåíòîâ âûáîðêè ðàâíîìåðíîå íà [0, 4].Âû÷èñëèòü äîñòèãíóòûé óðîâíåíü çíà÷èìîñòè êðèòåðèÿ Êîëìîãîðîâà, åñëè îáúåì âûáîðêè ðàâåí 100, àsup−∞<t<∞ |Fn∗ (t) − F0 (t)| = 0, 2.Ïðè 4040 áðîñàíèÿõ ìîíåòû Áþôôîí ïîëó÷èë ν1 =2048 âûïàäåíèé ãåðáà è ν2 = n − ν1 = 1992 âûïàäåíèé ðåøåòêè.
Ñîãëàñóåòñÿ ëè ýòî ñ ãèïîòåçîé î òîì, ÷òî ìîíåòà ïðàâèëüíàÿ, ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,1? Ñ êàêèì ïðåäåëüíûì óðîâíåìçíà÷èìîñòè ìîæåò áûòü ïðèíÿòà ýòà ãèïîòåçà?Ïðè n = 4000 íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé ñîáûòèÿA1, A2, A3, ñîñòàâëÿþùèå ïîëíóþ ãðóïïó, îñóùåñòâèëèñü ñîîòâåòñòâåííî 1905, 1015 è 1080 ðàç. Ïðîâåðèòü, ñîãëàñóþòñÿëè ýòè äàííûå ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,05 ñ ãèïîòåçîé H0 :p1 = 1/2, p2 = p3 = 1/4, ãäå pj = P(Aj ). Íàéòè äîñòèãíóòûéóðîâåíü çíà÷èìîñòè. ýêñïåðèìåíòàõ ñ ñåëåêöèåé ãîðîõà Ìåíäåëü íà-12.4.12.5.12.6*.12.7.12.8.12.9.12.10.12.11.49áëþäàë ÷àñòîòû ðàçëè÷íûõ âèäîâ ñåìÿí, ïîëó÷åííûõ ïðèñêðåùèâàíèè ðàñòåíèé ñ êðóãëûìè æåëòûìè ñåìåíàìè èðàñòåíèé ñ ìîðùèíèñòûìè çåëåíûìè ñåìåíàìè. Ýòè äàííûå èçíà÷åíèÿ òåîðåòè÷åñêèõ âåðîÿòíîñòåé ïî òåîðèè íàñëåäñòâåííîñòè ïðèâåäåíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå:ÑåìåíàÊðóãëûå è æåëòûåÌîðùèíèñòûå è æåëòûåÊðóãëûå è çåëåíûåÌîðùèíèñòûå è çåëåíûåΣ×àñòîòà31510110832n=556Âåðîÿòíîñòü9/163/163/161/161Ñëåäóåò ïðîâåðèòü ãèïîòåçó H0 î ñîãëàñîâàíèè ÷àñòîòíûõ äàííûõ ñ òåîðåòè÷åñêèìè âåðîÿòíîñòÿìè (íà óðîâíå çíà÷èìîñòè0,1) è íàéòè äîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè. òàáëèöå ïðèâåäåíû ÷èñëà mi ó÷àñòêîâ ðàâíîéïëîùàäè 0,25 êì2 þæíîé ÷àñòè Ëîíäîíà, íà êàæäûé èç êîòîðûõ ïðèõîäèëîñü ïî i ïîïàäàíèé ñàìîëåòîâ-ñíàðÿäîâ âîâðåìÿ âòîðîé ìèðîâîé âîéíû.
Ïðîâåðèòü ñîãëàñèå îïûòíûõäàííûõ ñ çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà, ïðèíÿâ çà óðîâåíüçíà÷èìîñòè α = 0, 05:12.12.imi02291211293335475 è áîëåå1ÈòîãîΣmi = 57613. Ñòàòèñòè÷åñêèå êðèòåðèè äëÿ íåñêîëüêèõ âûáîðîêÏðîâåðêà îäíîðîäíîñòè äâóõ âûáîðîê⃗, Y⃗ íåçàâèñèìûå âûáîðêè îáúåìîâ n è m ñîîòâåòÏóñòü Xñòâåííî. Ãèïîòåçà îäíîðîäíîñòè óòâåðæäàåò, ÷òî ýòè âûáîðêèèç îäíîãî è òîãî æå ðàñïðåäåëåíèÿ.50Åñëè ðàñïðåäåëåíèå ïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíûì, òî ïðèìåíèì êðèòåðèé ÊîëìîãîðîâàÑìèðíîâà: âû÷èñëèì ñòàòèñòèêó√mn∗dn,m =sup |F ∗ (t) − F2,m(t)|,n + m t∈R 1,n∗ (t), F ∗ (t) ýìïèðè÷åñêèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîãäå F1,n2,m⃗ èY⃗ ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè âûïîëíåñòðîåííûå ïî âûáîðêàì Xíà ãèïîòåçà îäíîðîäíîñòè, òî ðàñïðåäåëåíèå ñòàòèñòèêè dn,m íåçàâèñèò îò êîíêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòîâ âûáîðêè.
Äëÿáîëüøèõ n, m îíî áëèçêî ê ðàñïðåäåëåíèþ Êîëìîãîðîâà.Åñëè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âûáîðêè èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, òî ìîæíî ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíèòü êðèòåðèé Ôèøåðàäëÿ ïðîâåðêè ðàâåíñòâà äèñïåðñèé è êðèòåðèé Ñòüþäåíòà äëÿïðîâåðêè ðàâåíñòâà ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.Ïðè âûïîëíåíèè ãèïîòåçû ðàâåíñòâà äèñïåðñèé íîðìàëüíûõâûáîðîê ñòàòèñòèêà∑n(Xi − X)2nSx2= ∑i=1m22mSyi=1 (Yi − X)èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ôèøåðà ñ (n−1, m−1) ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Åñëè ðàâíû äèñïåðñèè è ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ íîðìàëüíûõ âûáîðîê, òî ñòàòèñòèêà√mnY −X⃗⃗√ 2tn,m = tn,m (X, Y ) =m + n nSx +mSy2n+m−2èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n + m − 2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Ïðîâåðêà íåçàâèñèìîñòèÅñëè (X1 , Y1 ), . .
. , (Xn , Yn ) âûáîðêà èç äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, òî ãèïîòåçó î íåçàâèñèìîñòè êîìïîíåíò âûáîðêè ìîæíî ïðîâåðèòü ñ ïîìîùüþ âûáîðî÷íîãî êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèèrbn =XY − X Y,Sx Sy5122ãäå Sx2 = X 2 − X , Sy2 = Y 2 − Y .Åñëè âåðíà ãèïîòåçà î íåçàâèñèìîñòè, òî âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè èìååò ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ()Γ n−1n−42frbn (t) = √ ( n−2 ) (1 − t2 ) 2 ,πΓ 2t ∈ (−1, 1), n > 2, à ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà√n−2rbn1 − rbn2èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n − 2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.⃗ Y⃗ íåçàâèñèìûå âûáîðêè îáúåìà 2 èç íåïðåÏóñòü X,ðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ñîñòàâèòü òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó⃗ Y⃗ ).÷àéíîé âåëè÷èíû d2,2 (X,Ïî ñëåäóþùèì ðåàëèçàöèÿì âûáîðîê âû÷èñëèòü ðåàëèçàöèþ ñòàòèñòèêè dn,m ÊîëìîãîðîâàÑìèðíîâà:⃗ = (1,2, 0,4, -0,2, 0,9), Y⃗ = (0,2, -0,5, 1, -0,9, 0,3, 0,5).X⃗ Y⃗ îáúåìîâÏî ðåàëèçàöèÿì íåçàâèñèìûõ âûáîðîê X,∗∗40 è 50 âû÷èñëåíî çíà÷åíèå supt∈R |F1,n (t) − F2,m (t)| = 0, 1. Íàéòè äîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè ãèïîòåçû îá îäíîðîäíîñòè.Ñäåëàòü âûâîä î òîì, ïðèíèìàåòñÿ ëè ýòà ãèïîòåçà íà óðîâíå0,05.⃗ Y⃗ îáúåìîâÏî ðåàëèçàöèÿì íåçàâèñèìûõ âûáîðîê X,20 è 30 èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âû÷èñëåíû çíà÷åíèÿ ñòàòèñòèê Sx2 = 15 è Sy2 = 10.
Íàéòè ðåàëüíî äîñòèãíóòûé óðîâåíüçíà÷èìîñòè ãèïîòåçû î ðàâåíñòâå äèñïåðñèé ïðîòèâ äâóñòîðîííåé àëüòåðíàòèâû, à òàêæå ïðîòèâ êàæäîé èç îäíîñòîðîííèõàëüòåðíàòèâ.Ïóñòü â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïðåäïîëàãàåòñÿðàâåíñòâî äèñïåðñèé, è èçâåñòíû çíà÷åíèÿ X = 2, Y = 12. Íàéòèðåàëüíî äîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè ãèïîòåçû î ðàâåíñòâåìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïðîòèâ äâóñòîðîííåé àëüòåðíàòèâû,à òàêæå ïðîòèâ êàæäîé èç îäíîñòîðîííèõ àëüòåðíàòèâ.13.1.13.2.13.3.13.4.13.5.5213.6. Ïóñòü (X , Y ), .
. . , (X , Y ) âûáîðêà îáúåìà 4 èç äâó1144ìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàéòè, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ âûáîðî÷íîãî êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè ãèïîòåçà î íåçàâèñèìîñòè êîìïîíåíò îòâåðãàåòñÿ íà óðîâíå 0,1 ïðè äâóñòîðîííåéàëüòåðíàòèâå. Âû÷èñëèòü çíà÷åíèå âûáîðî÷íîãî êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè ïî ðåàëèçàöèè äâóìåðíîé âûáîðêè (1, 2), (2, 3),(-1, 0), (0, 0).Ïóñòü (X1 , Y1 ), . . . , (X100 , Y100 ) ðåàëèçàöèÿ âûáîðêèîáúåìà 100 èç äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Çíà÷åíèå âûáîðî÷íîãî êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè rbn ðàâíî 0,25. Íàéòè ðåàëüíî äîñòèãíóòûé óðîâåíü çíà÷èìîñòè ãèïîòåçû î íåçàâèñèìîñòè êîìïîíåíò ïðîòèâ äâóñòîðîííåé àëüòåðíàòèâû, à òàêæåïðîòèâ êàæäîé èç îäíîñòîðîííèõ àëüòåðíàòèâ.13.7*.53Òàáëèöà íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿÇíà÷åíèÿ ôóíêöèè Φ(t) =√12πΦ(t) = Φ(−t) = 1 − Φ(t).t4,754,263,723,092,582,332,051,961,881,751,641,280,840,520,250,00·∫t−∞Φ(−t)0,0000010,000010,00010,0010,0050,010,020,0250,030,040,050,10,20,30,40,5e−u22du è ôóíêöèèΦ(t)0,9999990,999990,99990,9990,9950,990,980,9750,970,960,950,90,80,70,60,5Äëÿ |t| > 4, 75 ìîæíî èñïîëüçîâàòü àïïðîêñèìàöèþΦ(t) ∼2/2e−t√.t 2π54.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
