1625915142-75d31c3ceb1a22adeb2e84acf057ca85 (840119), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ìàòðèöà B îïðåäåëÿåòñÿ ïî äàííîìó ìíîãîìåðíîìó íîðìàëüíîìóðàñïðåäåëåíèþ ñ òî÷íîñòüþ äî îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöû.Ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííûì, åñëè ìàòðèöà B íåâûðîæäåíà, òî åñòü detB ̸= 0,èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, detC ̸= 0.  ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåòìíîãîìåðíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿfY⃗ ( ⃗t ) =()11 ⃗ T −1⃗exp − t C t .2(2π)n/2 (detC)1/24.1.
Íàéòè âåêòîð ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è ìàòðèöó êî-âàðèàöèé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X, Y, X + Y ):-101X\Y00,6 00100 0,220 0,2 0Íàéòè âåêòîð ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è ìàòðèöóêîâàðèàöèé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X, Y, XY ). Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X + Y èXY − X − Y .X\Y0200,1 00,7 0,21Çàïèñàòü ôîðìóëó ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ 4-ìåðíîãîñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî âåêòîðà. Íàéòè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû åãî êîìïîíåíò.Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âñå êîìïîíåíòû ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî n-ìåðíîãî âåêòîðà èìåþò îäèí è òîò æå çíàê.Ïóñòü (X, Y, Z) òðåõìåðíûé ñòàíäàðòíûé íîðìàëüíûéâåêòîð. Ñ ïîìîùüþ òàáëèöû íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íàéòèïðèáëèæåííî P{X > 1, 96, Y < −2, 33, Z < 0}.4.2.4.3.4.4.4.5.104.6. Ïóñòü (X, Y ) äâóìåðíûé ñòàíäàðòíûé íîðìàëüíûéâåêòîð. Ñ ïîìîùüþ òàáëèöû íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íàéòèïðèáëèæåííî P{X > −1, 96, Y < 2, 33}.Ïóñòü (X, Y ) äâóìåðíûé ñòàíäàðòíûé íîðìàëüíûéâåêòîð.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî 0 < X < Y .Ïóñòü (X, Y ) äâóìåðíûé ñòàíäàðòíûé√ íîðìàëüíûéâåêòîð. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî X < Y < X 3.Ïóñòü) ()() ()(−1Y13 −4X1=+,Y221 −2X24.7.4.8.4.9.âåêòîð (X1 , X2 ) èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Çàïèñàòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà (Y1 , Y2 ).Çàïèñàòü â âèäå äâóêðàòíîãî èíòåãðàëà âåðîÿòíîñòüP{Y1 > −2, Y1 + Y2 < 2}.Ïóñòü4.10*.Y1 = X1 + X2 ,Y2 = X1 − 2X2 ,âåêòîð (X1 , X2 ) èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íóëåâûìâåêòîðîì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, åäèíè÷íûìè äèñïåðñèÿìè êîìïîíåíò è êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè êîìïîíåíò, ðàâíûì1/2.
Çàïèñàòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðà (Y1 , Y2 ). Çàïèñàòü â âèäå äâóêðàòíîãî èíòåãðàëà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îáåêîìïîíåíòû âåêòîðà (Y1 , Y2 ) ïîëîæèòåëüíû.5. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå è ïðîèçâîäÿùèå ôóíêöèèÅñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ïðèíèìàåò òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûåçíà÷åíèÿ, òî åå ïðîèçâîäÿùàÿ ôóíêöèÿ∑ öåëûåk , ãäå p = P{X = k}.Ez X = ∞pzkk=0 kÇäåñü z ìîæåò áûòü êîìïëåêñíûì ÷èñëîì, è ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå ýòî êîìïëåêñíîå ÷èñëî, ÷üè äåéñòâèòåëüíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòåé êîìïëåêñíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.11Äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ íåîòðèöàòåëüíîé öåëî÷èñëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ z , òàê êàê ðàçëîæåíèåâ ðÿä Òåéëîðà åäèíñòâåííî.Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè Ez X ïîòðåáîâàëî áû âûáîðà ãëàâíîé âåòâèôóíêöèè z X(ω) íà êàæäîì ýëåìåíòàðíîì èñõîäå ω. Íî â ðàññìîòðåíèè âñåõ êîìïëåêñíûõ z íåò íåîáõîäèìîñòè.
Äîñòàòî÷íîðàññìîòðåòü òî÷êè åäèíè÷íîãî êðóãà z = eit , ãäå t ïðèíèìàåò äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ïîëó÷àåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüåðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , íàçûâàåìîå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé:φX (t) = EeitX . äèñêðåòíîì ñëó÷àåφX (t) =∑eitak P{X = ak }.k àáñîëþòíî íåïðåðûâíîì ñëó÷àå∫ ∞φX (t) =eitu fX (u)du.−∞Èç òåîðèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå èçâåñòíî, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè.Ñîãëàñíî òåîðåìå î íåïðåðûâíîì ñîîòâåòñòâèè, ñõîäèìîñòüïîñëåäîâàòåëüíîñòè õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé φXn (t) â êàæäîé òî÷êå t ∈ R ê íåêîòîðîé ïðåäåëüíîé õàðàêòåðèñòè÷åñêîéôóíêöèè φX (t) ýêâèâàëåíòíà ñõîäèìîñòè ïî ðàñïðåäåëåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Xn ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíåX .
Ñõîäèìîñòü ïî ðàñïðåäåëåíèþ îçíà÷àåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Xn ñõîäèòñÿê ïðåäåëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âî âñåõ òî÷êàõ, çà èñêëþ÷åíèåì òî÷åê ðàçðûâà ýòîé ïðåäåëüíîé ôóíêöèè.12Åñëè φX (t) = eita , òî X èìååò âûðîæäåííîå ðàñïðåäåëåíèåâ òî÷êå a, è ñõîäèìîñòü ïî ðàñïðåäåëåíèþ îçíà÷àåò, ÷òî äëÿëþáîãî ε > 0 èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòüP{|Xn − a| ≥ ε} → 0ïðè n → ∞.Åñëè φX (t) = exp(−t2 /2), òî X èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, è ñõîäèìîñòü ïî ðàñïðåäåëåíèþ îçíà÷àåò,÷òî â ëþáîé òî÷êå u ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ FXn (u) ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè Ëàïëàñà∫ u1exp(−v 2 /2)dv.Φ(u) = √2π −∞⃗ ýòîÕàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X⃗ôóíêöèÿ âåêòîðíîé ïåðåìåííîé t:⃗⃗T XφX⃗ (⃗t) = Eeit= E exp(i(t1 X1 + .
. . + tn Xn )).Äëÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ òàêæå èìååò ìåñòî òåîðåìà î íåïðåðûâíîì ñîîòâåòñòâèè.Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ è ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèèñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ 0, 1 è 2 ñ ðàâíûìèâåðîÿòíîñòÿìè.Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ è ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèèáåðíóëëèåâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ è ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèèáèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ è ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèèïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.Ïóñòü X íåîòðèöàòåëüíàÿ öåëî÷èñëåííàÿ ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà.
Âûðàçèòü EX è DX ÷åðåç ïðîèçâîäíûå ïðîèçâîäÿùåé ôóíêöèè.Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ïîêàçàòåëüíîãîðàñïðåäåëåíèÿ.5.1.5.2.5.3.5.4.5.5.5.6.135.7. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ãàììàðàñïðåäåëåíèÿ.5.8. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ êâàäðàòà ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.5.9. Íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ñóììû êâàäðàòîân íåçàâèñèìûõ ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.5.10. Ïî õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ôóíêöèÿì âîññòàíîâèòü ðàñïðåäåëåíèÿ: cos t, (1 − 4it) , exp(2it − 2t ).5.11*. Íàéòè ïðåäñòàâëåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè−12äâóìåðíîãî íîðìàëüíîãî âåêòîðà ÷åðåç âåêòîð ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ è êîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó.Íàéòè ïëîòíîñòü äâóìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ,ñîîòâåò()ñòâóþùåãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè exp −2t21 + t1 t2 − 2t22 .5.12*.6.
Ïðåäåëüíûå òåîðåìûÎïðåäåëåíèå.Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí{Yn } íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå Y , åñëèP{ω : Yn (ω) → Y (ω)} = P{Yn → Y } = 1.Îáîçíà÷åíèå: Y → Y .Òåîðåìà (óñèëåííûé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, ÓÇÁ×). Ïóñòü1nñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1, X2, . . . íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû,ïðè÷åì E|X1| < ∞. Îáîçíà÷èì a = EX1,∑Sn = ni=1 Xi . Òîãäà ïðè n → ∞Sn 1→ a.nÖåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìàÏóñòüX1 , X2 . .
. íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî EX12 < ∞. Îáîçíà÷èì Sn =14(ÖÏÒ).,,X1 + . . . + Xn a = EX1 σ2 = DX1yäëÿ ëþáîãî{PSn − na√<yσ n}, è ïóñòü σ21= F Sn√−na (y) → Φ0,1 (y) = √σ n2πïðè n → ∞.. Òîãäà> 0∫ye−t2 /2dt−∞Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ñëó÷àéíûõâåêòîðîâ. Ïóñòü X⃗ , X⃗ . . . íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñ12ïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåêòîðû ñ âåêòîðîì ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ ⃗a è íåíóëåâîé êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé C . Îáîçíà÷èì S⃗n = X⃗ 1 + . . .
+ X⃗ n. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ⃗y{P⃗n − n⃗aS√< ⃗yn}⃗ < ⃗y }→ P{Zïðè n → ∞, ãäå Z⃗ íîðìàëüíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð ñ íóëåâûììàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé C .Ïðèìåð 6.1. Ê ÷åìó ñõîäèòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïðèn → ∞ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüYn = cosX1 + . . . + Xn,nåñëè X1 , . . . , Xn íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ðàñïðåäåëåííûå ðàâíîìåðíî íà [0; π]? ñèëó çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåëÐåøåíèå.X1 + . . .
+ Xn 1π→ EX1 = .n2Ôóíêöèÿ cos t íåïðåðûâíà, ïîýòîìóYn = cosX1 + . . . + Xn 1→ cos(π/2) = 0.n15Ïðèìåð 6.2. 1000 ðàç áðîñàåòñÿ èãðàëüíàÿ êîñòü. Íàéòèïðåäåëû, â êîòîðûõ ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,95 áóäåò ëåæàòü ñóììàâûïàâøèõ î÷êîâ.Îáîçíà÷èì ÷åðåç Sn ñóììó âûïàâøèõ î÷êîâ. Snåñòü ñóììà íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îò 1 äî 6 ñ ðàâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè. Íåòðóäíî âû÷èñëèòü: a = EX1 = 3, 5; EX12 = 91/6;σ2 = DX1 √= 35/12. ñèëó ÖÏÒ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà(Sn − 3500) / 1000 · 35/12 èìååò ïî÷òè ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (÷èñëî n âåëèêî!), ïîýòîìóÐåøåíèå.{Sn − 3500P −1, 96 < √< 1, 961000 · 35/12}1≈√2π1,96∫e−t2 /2dt = 0, 95.−1,96Ïîñëåäíåå ìû çàðàíåå íàõîäèì èç òàáëèö.
Òàêèì îáðàçîì,}{√P |Sn − 3500)| < 1, 96 1000 · 35/12 ≈ 0, 95,1, 96√1000 · 35/12 ≈ 106.Èòàê, ñ âåðîÿòíîñòüþ, áëèçêîé ê 0,95, ñóììà âûïàâøèõ î÷êîâëåæèò â ïðåäåëàõ îò 3394 äî 3606.6.1Èãðîê â êàæäîé èãðå (íåçàâèñèìî îò ðåçóëüòàòîâ äðóãèõèãð) âûèãðûâàåò 80 ðóáëåé ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,1, ïðîèãðûâàåò 20ðóáëåé ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,9. Íàéòè, ê êàêîé âåëè÷èíå ñõîäèòñÿñðåäíèé âûèãðûø çà n èãð ïðè n → ∞.Ïóñòü X1 , X2 , . . . ñëó÷àéíûå ÷èñëà, òî åñòü íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèåíà îòðåçêå îò 0 äî 1.
Íàéòè ïðåäåëû ï. í. ñëåäóþùèõ âûðàæåíèé ïðè n → ∞:6.2X1 2 + . . . + Xn 2;a)n1â)n(1611+ ... +1 + X11 + Xn);√á)6.3(X1 2 + . . . + Xn 2;nã) arctg)2(X1 + . . . + Xn ) .n. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1 , X2 , . . . íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû ïî çàêîíó Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ. Ê ÷åìóñõîäèòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïîñëåäîâàòåëüíîñòüX12 + .
. . + Xn2−n(X1 + . . . + Xnn)2?6.4. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X , X , . . . íåçàâèñèìû è ðàâíî12ìåðíî ðàñïðåäåëåíû íà îòðåçêå [0, a]. Äîêàçàòü, ÷òî Yn → a ñâåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ïðè n → ∞ äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Yn = max(X1 , . . . , Xn ) (óêàçàíèå: èñïîëüçîâàòüòîò ôàêò, ÷òî äëÿ ñõîäèìîñòè ìîíîòîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèê êîíñòàíòå a ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà äîñòàòî÷íî ñõîäèìîñòèôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ âî âñåõ òî÷êàõ, îòëè÷íûõ îò òî÷êè a).Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â 100 ïàðòèÿõ îäèíàêîâûõïî ñèëå ïðîòèâíèêîâ îäèí èç íèõ âûèãðàåò áîëåå 70 ðàç? Íè÷üèõíåò.Âåðîÿòíîñòü âûõîäà èç ñòðîÿ çà âðåìÿ T îäíîãî êîíäåíñàòîðà ðàâíà 0,05.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
