1625915142-75d31c3ceb1a22adeb2e84acf057ca85 (840119), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Íàîäíîì ãðàôèêå ñ ãèñòîãðàììîé ïîñòðîèòü ãðàôèê ïëîòíîñòèíîðìàëüíîãî çàêîíà ñ ïàðàìåòðàìè X , S 2 .⃗ ⊂Ïóñòü X= Φa,σ2 . Âû÷èñëèòü EX, DX. Êàêîå ðàñïðåäåëåíèå èìååò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ?Ïàññàæèð ìàðøðóòíîãî òàêñè èçìåðèë 8 ðàç âðåìÿîæèäàíèÿ òàêñè è ïîëó÷èë ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû (â ìèíóòàõ):8; 4; 5; 4; 2; 15; 1; 6. Ó íåãî åñòü äâå ãèïîòåçû îòíîñèòåëüíî7.27.3.7.4.7.5*.25ãðàôèêà äâèæåíèÿ òàêñè: ëèáî ãðàôèê äâèæåíèÿ ñîáëþäàåòñÿ,è âðåìÿ îæèäàíèÿ èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå íà îòðåçêå[0; θ], ëèáî ãðàôèê äâèæåíèÿ íå ñîáëþäàåòñÿ, è âðåìÿ îæèäàíèÿèìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðîì λ.à) Âû÷èñëèòü ðåàëèçàöèè îöåíîê ïàðàìåòðîâ θ è λ, èñïîëüçîâàâ îöåíêè eθ2 = (n + 1)X(n) /n è eλ2 = n−1.nXá) Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ðåàëèçàöèþ ýìïèðè÷åñêîéôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è òåîðåòè÷åñêèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîãî è ïîêàçàòåëüíîãî çàêîíîâ, â êîòîðûå âìåñòîíåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ ïîäñòàâëåíû ðåàëèçàöèè èõ îöåíîê.â) Ïîñòðîèòü íà îäíîì ãðàôèêå ðåàëèçàöèþ ãèñòîãðàììû èòåîðåòè÷åñêèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíîìåðíîãî è ïîêàçàòåëüíîãî çàêîíîâ, â êîòîðûå âìåñòî íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâïîäñòàâëåíû ðåàëèçàöèè èõ îöåíîê.ã) Íà îñíîâàíèè ïðîâåäåííîãî èññëåäîâàíèÿ ñäåëàòü âûâîäî òîì, êàêàÿ èç ãèïîòåç âûãëÿäèò áîëåå ñîîòâåòñòâóþùåé ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì.⃗ ⊂Äàíà âûáîðêà X= Πλ , λ > 0 íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð.
Ïðîâåðèòü, ÷òî ñòàòèñòèêè7.6*.X1 + Xn1∑I(Xi = k), T3 =T1 = X, T2 =n2ni=1ÿâëÿþòñÿ íåñìåùåííûìè îöåíêàìè ñîîòâåòñòâåííî äëÿkλ, λk! e−λ è λ. ßâëÿþòñÿ ëè ýòè îöåíêè ñîñòîÿòåëüíûìè?Ïî âûáîðêå (X1 , . . . , Xn ) èç áåðíóëëèåâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Bp ñ íåèçâåñòíûì ïàðàìåòðîì p ∈ (0; 1) ïîñòðîèòü îöåíêèïàðàìåòðà p:a) ïî ïåðâîìó ìîìåíòó;á) ïî âòîðîìó ìîìåíòó;â) ïî ïðîèçâîëüíîìó k -ìó ìîìåíòó.Ìîæíî ëè îòäàòü ïðåäïî÷òåíèå êàêîé-ëèáî èç ïîñòðîåííûõîöåíîê? Èññëåäîâàòü èõ ñîñòîÿòåëüíîñòü è íåñìåùåííîñòü.Ïî âûáîðêå (X1 , . . . , Xn ) èç áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Bm,p ïîñòðîèòü îöåíêè ìåòîäîì ìîìåíòîâ:7.7.7.8.26a) ïàðàìåòðà p ïî ïåðâîìó è ïî âòîðîìó ìîìåíòó ïðè èçâåñòíîì m > 0;á) ïàðàìåòðîâ p è m.Èññëåäîâàòü ñîñòîÿòåëüíîñòü ïîñòðîåííûõ îöåíîê.Èñïîëüçóÿ ìåòîä ìîìåíòîâ, ïîñòðîèòü áåñêîíå÷íóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçëè÷íûõ îöåíîê ïàðàìåòðà θ ðàâíîìåðíîãîðàñïðåäåëåíèÿ íà îòðåçêå [0; θ].
Áóäóò ëè ïîëó÷åííûå îöåíêèñîñòîÿòåëüíûìè?Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìîìåíòîâ ïîñòðîèòü îöåíêó ïàðàìåòðà θ > 0, åñëè ðàñïðåäåëåíèå âûáîðêè èìååò ïëîòíîñòü:à) θtθ−1 ïðè t ∈ [0; 1]; á) 2t/θ2 ïðè t ∈ [0; θ].Èññëåäîâàòü ïîëó÷åííûå îöåíêè íà ñîñòîÿòåëüíîñòü.Äàíà âûáîðêà èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ{ 2 −33t θ , t ∈ [0; θ];fθ (t) =0,t ̸∈ [0; θ].7.9.7.10.7.11.Íàéòè îöåíêó ïàðàìåòðà θ > 0 ìåòîäîì ìîìåíòîâ, èññëåäîâàòü åå íà íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü.Ìåòîäîì ìîìåíòîâ íàéòè îöåíêó ïàðàìåòðà α > 0 ïîâûáîðêå èç ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ fα (t) =αe−αt , t > 0.
Áóäåò ëè îöåíêà íåñìåùåííîé è ñîñòîÿòåëüíîé?Ïî âûáîðêå (X1 , . . . , Xn ) ìåòîäîì ìîìåíòîâ íàéòè äâåðàçëè÷íûå îöåíêè ïàðàìåòðà p ∈ (0, 1), åñëè èçâåñòíî, ÷òî:P {X1 = 1} = p/2; P {X1 = 2} = p/2; P {X1 = 3} = 1 − p.Áóäóò ëè ïîëó÷åííûå îöåíêè íåñìåùåííûìè è ñîñòîÿòåëüíûìè?Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà θ > 0 ðàñïðåäåëåíèÿÏàðåòî ñ ïëîòíîñòüþ{ θ, t ≥ 1;tθ+1fθ (t) =0,t<17.12.7.13*.7.14*.ñóùåñòâóåò îöåíêà ïàðàìåòðà ïî ïåðâîìó ìîìåíòó? Ìîæíî ëèïîñòðîèòü ñîñòîÿòåëüíóþ îöåíêó ìåòîäîì ìîìåíòîâ â ñëó÷àå,êîãäà îöåíêè ïî ïåðâîìó ìîìåíòó íå ñóùåñòâóåò?277.15*.
Ïî âûáîðêå (X , . . . , X ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ Ëàïëàñà ñ1nïëîòíîñòüþ fλ (t) = λ2 e−λ|t| , t ∈ R, ïîñòðîèòü îöåíêó ïàðàìåòðàλ > 0 ìåòîäîì ìîìåíòîâ.Ïóñòü äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿñ ïàðàìåòðàìè α è σ2 . Èñïîëüçóÿ ìåòîä ìîìåíòîâ, ïîñòðîèòüîöåíêè:à) íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ α;á) íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè σ2 , åñëè α èçâåñòíî;â) íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè σ2 , åñëè α íåèçâåñòíî.Èññëåäîâàòü ïîëó÷åííûå îöåíêè íà íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü.Èñïîëüçóÿ ìåòîä ìîìåíòîâ, îöåíèòü ïàðàìåòð θ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà îòðåçêå:à) [−θ; θ], θ > 0; á) [θ; θ + 1].Èññëåäîâàòü ïîëó÷åííûå îöåíêè íà íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü.7.16.7.17*.8. Îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ⃗ ⊂Ïóñòü X= F (t, θ), θ ∈ Θ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåîðåòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ëèáî àáñîëþòíî íåïðåðûâíî ñ ïëîòíîñòüþf (t, θ) = fXi (t), ëèáî äèñêðåòíî, ïðè ýòîì äëÿ ðÿäà ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåì èñïîëüçîâàòü òî æå îáîçíà÷åíèå: f (t, θ) = P{Xi = t}.⃗,Xíàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿÔóíêöèåé ïðàâäîïîäîáèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåé âûáîðêå⃗ θ) =Π(θ) = Π(X,n∏f (Xi , θ).i=1Îöåíêîé ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ(ÎÌÏ) íàçû⃗ , ïðè êîòîðîì ôóíêâàåòñÿ òàêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ = θ̂(X)öèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå, òî åñòü⃗ θ̂) = max Π(X,⃗ θ).Π(X,θ∈Θ288.1. Ïî âûáîðêå (X , . .
. , X ) èç áåðíóëëèåâñêîãî ðàñïðåäå1nëåíèÿ Bp ñ íåèçâåñòíûì ïàðàìåòðîì p ∈ (0; 1) ïîñòðîèòü îöåíêóïàðàìåòðà p ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ. (Óêàçàíèå:ïîêàçàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â òî÷êó t äëÿ ýëåìåíòîââûáîðêè ðàâíà f (t, p) = pt (1 − p)1−t , ãäå t ìîæåò ïðèíèìàòüòîëüêî äâà çíà÷åíèÿ 0 è 1). Èññëåäîâàòü ñîñòîÿòåëüíîñòü èíåñìåùåííîñòü ïîëó÷åííîé îöåíêè.Ïî âûáîðêå (X1 , . . . , Xn ) èç áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Bm,p ïîñòðîèòü îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿïàðàìåòðà p ïðè èçâåñòíîì m > 0. Èññëåäîâàòü ñîñòîÿòåëüíîñòüè íåñìåùåííîñòü îöåíêè.Ïî âûáîðêå èç ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Eα ïîñòðîèòü îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïàðàìåòðà α > 0.Èññëåäîâàòü ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíêè.Ïîñòðîèòü îöåíêó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïî âûáîðêå èç ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî ñ ïëîòíîñòüþ{ θ, t ≥ 1;tθ+1fθ (t) =0,t < 1.8.2.8.3.8.4.Äîêàçàòü ñîñòîÿòåëüíîñòü ïîëó÷åííîé îöåíêè.Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ïîñòðîèòü îöåíêó ïàðàìåòðà θ > 0, åñëè ýëåìåíòû âûáîðêè èìåþòïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ:à) θtθ−1 ïðè t ∈ [0; 1]; á) 2t/θ2 ïðè t ∈ [0; θ].Èññëåäîâàòü ïîëó÷åííûå îöåíêè íà ñîñòîÿòåëüíîñòü.Äàíà âûáîðêà èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ{ 2 −33t θ , t ∈ [0; θ];fθ (t) =0,t ̸∈ [0; θ].8.5*.8.6*.Íàéòè îöåíêó ïàðàìåòðà θ > 0 ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, èññëåäîâàòü åå íà íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü.Ïî âûáîðêå (X1 , .
. . , Xn ) ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íàéòè îöåíêó ïàðàìåòðà p ∈ (0, 1), åñëè èçâåñòíî, ÷òîP {X1 = 1} = p/2, P {X1 = 2} = p/2, P {X1 = 3} = 1 − p.8.7*.29Áóäåò ëè ïîëó÷åííàÿ îöåíêà íåñìåùåííîé è ñîñòîÿòåëüíîé?Äàíà âûáîðêà èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïëîòíîñòüþ{ θ−te , t ≥ θ;fθ (t) =0,t < θ.8.8.Íàéòè îöåíêó äëÿ θ:à) ìåòîäîì ìîìåíòîâ;á) ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.Áóäóò ëè ïîëó÷åííûå îöåíêè ñîñòîÿòåëüíûìè? Âû÷èñëèòüñìåùåíèÿ îöåíîê è ïîëó÷èòü èñïðàâëåííûå íåñìåùåííûå îöåíêè.Ïî âûáîðêå (X1 , .
. . , Xn ) èç ðàñïðåäåëåíèÿ Ëàïëàñà ñïëîòíîñòüþ fλ (t) = λ2 e−λ|t| , t ∈ R, ïîñòðîèòü îöåíêó ïàðàìåòðàλ > 0 ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.Ïóñòü äàíà âûáîðêà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñïàðàìåòðàìè α è σ2 . Èñïîëüçóÿ ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, ïîñòðîèòü îöåíêè:à) íåèçâåñòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ α;á) íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè σ2 , åñëè α èçâåñòíî;â) íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè σ2 , åñëè α íåèçâåñòíî.Èññëåäîâàòü ïîëó÷åííûå îöåíêè íà íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü.Èñïîëüçóÿ ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, îöåíèòü ïàðàìåòð θ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà îòðåçêå:à) [−θ; θ], θ > 0;á) [θ; θ + 1].Èññëåäîâàòü ïîëó÷åííûå îöåíêè íà íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü.8.9*.8.10.8.11*.9.
Ñðàâíåíèå îöåíîê: ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèé ïîäõîä⃗ ⊂⃗ êàêàÿ-íèáóäüÏóñòü X= F (t, θ), θ ∈ Θ, è eθ = eθ(X)îöåíêà ïàðàìåòðà θ. Òàê êàê îöåíêà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, òî äàæå ñâîéñòâî íåñìåùåííîñòè íå ãàðàíòèðóåò áëè30çîñòü åå êîíêðåòíîé ðåàëèçàöèè eθ(⃗x) ê îöåíèâàåìîìó ïàðàìåòðó. Åñëè îöåíêà ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé, òî òàêàÿ áëèçîñòüãàðàíòèðóåòñÿ ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ, íî òîëüêî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðêè n. Ïðè ôèêñèðîâàííîì îáúåìåâûáîðêè íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîé ¾ìåðîé áëèçîñòè¿ îöåíêèê îöåíèâàåìîìó ïàðàìåòðó ÿâëÿåòñÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå êâàäðàòàîòêëîíåíèÿ E(eθ − θ)2 .Èç äâóõ îöåíîê eθ1 ñ÷èòàåòñÿ, ÷åì eθ2 , åñëè ïðè âñåõθ ∈ Θ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâîëó÷øåE(eθ1 − θ)2 ≤ E(eθ2 − θ)2 ,à õîòÿ áû äëÿ îäíîãî θ íåðàâåíñòâî ÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì.Çàìåòèì, ÷òî E(eθ − θ)2 íå ìåíüøå äèñïåðñèè îöåíêè, è ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ äëÿ íåñìåùåííûõ îöåíîê:()2()2E(eθ − θ)2 = E(eθ − θ) + D(eθ − θ) = Eeθ − θ + Deθ ≥ Deθ.Åñëè eθ íåñìåùåííàÿ îöåíêà ïàðàìåòðà θ, òî åñòü Eeθ = θ,òî äëÿ íåå:()2E(eθ − θ)2 = Eeθ − θ + Deθ = Deθ.Îòìåòèì, ÷òî ïðè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ïîäõîäå ê ñðàâíåíèþ îöåíîê íåëüçÿ íàéòè íàèëó÷øóþ â êëàññå âñåõ îöåíîê (â÷àñòíîñòè, ñóùåñòâóþò íåñðàâíèìûå îöåíêè).
Äîêàçàòåëüñòâîýòîãî ôàêòà îñíîâàíî íà ðàññìîòðåíèè âûðîæäåííûõ îöåíîê,ðàâíûõ êîíñòàíòå íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèé âûáîðêè.Äëÿ òîãî, ÷òîáû èçáåæàòü íåîáõîäèìîñòè ñðàâíèâàòü ïîëó÷àåìûå îöåíêè ñ âûðîæäåííûìè îöåíêàìè, íóæíî îãðàíè÷èòüêëàññ ðàññìàòðèâàåìûõ îöåíîê. Êàê ïðàâèëî, ñðàâíèâàþò òîëüêî íåñìåùåííûå îöåíêè. Ñðåäè íåñìåùåííûõ îöåíîê íàèëó÷øàÿîöåíêà ïàðàìåòðà äëÿ çàäàííîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâàìîæåò ñóùåñòâîâàòü.
Åå íàçûâàþòîöåíêîé. Ýôôåêòèâíàÿ îöåíêà èìååò íàèìåíüøóþ äèñïåðñèþ èç âñåõ íåñìåùåííûõ îöåíîê.ýôôåêòèâíîé31Äëÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîãî ñåìåéñòâà ïëîòíîñòåé fθ (y) èíôîðìàöèåé Ôèøåðà íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ(I(θ) = E∂ln fθ (X1 )∂θ)2.Îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïëîòíîñòåé fθ (y) áóäåì íàçûâàòü, åñëè èíôîðìàöèÿ Ôèøåðà õîðîøî îïðåäåëåíà â ñëåäóþùåì ñìûñëå:1) åñëè äëÿ äàííîãî y ëîãàðèôì ïëîòíîñòè ln fθ (y) îïðåäåëåíõîòÿ áû äëÿ îäíîãî çíà÷åíèÿ θ, òî îí íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåì ïî ïàðàìåòðó θ â îáëàñòè âñåõ åãî âîçìîæíûõ çíà÷åíèé;2) èíôîðìàöèÿ Ôèøåðà ñóùåñòâóåò, ïîëîæèòåëüíà è íåïðåðûâíà ïî θ.Åñëè îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ïëîòíîñòåé ðåãóëÿðíî, à eθ íåñìåùåííàÿ îöåíêà åãî ïàðàìåòðà, òîðåãóëÿðíûìÒåîðåìà (íåðàâåíñòâî ÐàîÊðàìåðà)Deθ≥1.nI(θ)Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî åñëè äëÿ íåñìåùåííîé îöåíêè ïàðàìåòðà ðåãóëÿðíîãî ñåìåéñòâà äîñòèãàåòñÿ ðàâåíñòâîDeθ=1,nI(θ)òî îöåíêà ýôôåêòèâíà.Ìíîãîìåðíîìó ïàðàìåòðó θ ñîïîñòàâëÿåòñÿ èíôîðìàöèîííàÿ ìàòðèöà Ôèøåðà.9.1.Èìååòñÿ âûáîðêà ÷åòíîãî îáúåìà n èç ðàñïðåäåëåíèÿñ êîíå÷íîé íåíóëåâîé äèñïåðñèåé.
Ïî ýòîé âûáîðêå ïîñòðîåíû2 îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ: ñðåäíåå ïî âñåé âûáîðêåè ñðåäíåå ïî ïåðâîé ïîëîâèíå âûáîðêè. Ñðàâíèòü èõ â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì ñìûñëå.329.2.⃗ âûáîðêà èç ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ìàòåìàòè÷åÏóñòü Xñêèì îæèäàíèåì θ è êîíå÷íîé íåíóëåâîé äèñïåðñèåé σ2θ . Âûÿñíèòü, êàêîâû äîëæíû áûòü êîíñòàíòû C1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
