1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 78
Текст из файла (страница 78)
н самих электронов, распре.-' деленных с гшотностью л(1.). Поэтому Щ.) удовлетворяет уравнению ПуассОна (55.42) Ч2(2 = — ~32237 = рте (_#_~д(Я) + р,(г)) где плотность заряда электронов Р,(г) = — ел(!.) и с !иткс гся, что е > О. При ' Ф д, у ь!В' сферич ' у! 0 1м ри10, «и Ъ'2(7(г) = .-,; . г2 - - 67(г) = — 4лезл(г) = ся !Зг ! сЬ-/ ' (55.42') 377 4е2(2!е) 3яяз Приведем это уравнение к безразмерным переменным. Заметна!, что при г — О основную роль играет поле ядра, т.
е. Г(!.) — — г."е Ъ Введен 2:. поэтому нову!о неизвестну!о функцию Х, положив Х х О Уе' (е 55,43) тогда (55.42*) примет внд а ( Л Х Х2 72Х 4-2( )-""- (Х!2 ,Г,1;=,,52= 3„яз Г; Если теперь ввести безразмерную координату х, 2773 !. = ав2; "3 — — — Т-~ х = О,885аВЛ нзх за бав2 пзх, (55.44) (( )2!3 то получим универсальное уравнение Томаса — Феуяни ~~х х ,7 2,Гх Для решения (55.45) нужно кроме (55.43) задать еще одно граничное )"слОВие. Если сущсстВует „поверхность атОма 1' = га, то на гшй л(га) = О н, следовательно, у(пз) = О, т. е. У(га) = гк. при г — пз поле должно переходить в кулоновское поле заряда У вЂ” У (2г' — число %1ектронов) д2/ (2 — 51) е2 !7Х ! 2 — А! — — — х — ) = — — — (55.46) 2 ее ~6)х „Х (это легко доказать, требуя, чтобы интеграл по объему сферы радиуса 7!! От плотности п(1) давал А).
Однако для нейтрального атома (Л = 67) на поверхности У = О, т. е. всюду гг — — О. (Все электроны, связанные в атоме, имеют, конечно, е < О, т. е. е < гк.) Поскольку из (55.45) и (55,46) следуеэа *!го при конечных значениях х =- ха в этой точке все производные 2(х) обращаются в нуль, то мь! получаем единственное подходящее решение (55.45) х ьа О, Поэтому нетривиальное ре1ление, описыва!ощее В модели Томаса— Ферми нейтральный агом, возможно лишь при обращении радиуса !в В бесконечность: плотность асимптотическн убывает при удалении о1 ядра. В то жс время радиус положительных ионов (У > Р/) оказывается конечным. При у < Ф наклон г!Х/ах на ~ранице положителен, в то время как р~ше~ие ~~утР~Н~~Й задачи (г < гв) за~~до~о даст ОтРицагельный наклон (плотность убь!Вае1; обращаясь В нуль на границе).
хго 1.'Н1а1ае1) чтО От)зицательные ионь! В этой мОдели нестабнльнь1. Для всех нейтральных атомов уравнение (55.45) и граничное услоВие (55.46) универсальны. Значит, распределения электронов в них 1юдобны и получаются одно из другого масппабным преобразованием. Р)3(55 44) „. „, б „,„„„„,, „, я о „-173 янус атома" (размер объема, вкл!Очающего большую часть заряда) проПОРЦионалеи 2 373 (уменьщастся с ростом зарада яДРа). В то же ВрсМя Внутренние электроны агома находятся В основном на расстоянии по- ;:".
Ньс ввсдень1 плазменная частота (55.39) и скорость на границе Ферми г . -- ре«л« Ре1лсние уравнения (55.50), переходящее вблизи т = О в кулонов':., Скнй потенциал СФ. зар~да ео, имеет вил (л(г ) — е-а~ «в -«змс (55.51) Уе рядка аа'7, а самы ф~ктиВный заряд срсдн$0к1 скорОст иопизации С ВНСШНИС вЂ” - На РВССТОЯНИИ Оа, аюмного остатка близок к едини ь электронов нейтральною атома Нз Е гве Ет«3 иов ХОтя по ЛОрядку Всличины метод Томаса - Ферми дас1' разумн результаты для усредненного поведения элсктропной плогности и и„.
же" б ~ у учщ учсто об н х р Я' сгск фф то, об. «1аСТЬ ЕГО примевимОСти ограиИЧена. Здесь нс находит своего Страже ния оболочсчная структура атома, Вмссю которой использу щ ся моде«1ь „капли с плавно мснЯгощейсЯ по Обьему п«готностыо зарЯда. 1роэтому Описание индивидуальных элскт130нных сОстОяний здссь нсВОзмояощ, '-' 1' Лучще всею работает эта модель для инертных атомов с полностькз заполнсннымн О6Олочками; длЯ периферических состОяний валсптных электронов Она нег«рнгодна. А~а~о~и~ная полуклассическая моде«1ь „жидкой капли" описывает макроскопические свойства сложщ*«х ядер;: как и В случае а~ома, Она до~~и~ быть дополнена учетом Оболоче леон структуры.
Г(рименим модель Томаса Ферми к системе электронов а боль« щом объеме Р (при наличии компенсиру3ощего фона положитслы1ого заряда). С( равновссии такая система ЛВлястся пространственно Однородной, ( )3«2 лекции Г1О кВАИТОВОЙ мехАнике так как для ~щх, ~ 1кь Х1сгко оцсн и энсрг31к«1голной Бнсссм Внсщний тОчсчный заряд са и поместим СЯО В начале ХООрли1жт- 13 зав~симос~и ог злака еа вблизи него создается избыюк или недостаток электронов.
Новое (пространственно неоднородное) расг1ределе; «'. ние электронов будет именно таким, чтобы результирующее электри, ", ческое поле удовлетворяло уравнены«о согласования (55.42') 4е (2м) 3 2 3'2 5 49 3«2 д2 1 4те (1«(г) 11) = ' 1 ((сг ер(г)) ЗВЬ ь.читая ВОзмущенис От Внсщнс«'О за(зада малым, наидем из 1-'-. (55.48) выражение 2 2 2„3/2 2 (Я) лтгз 22Р 3«2,2 3 2 . (3 12 )пар л,"ъ'2«а м ЛЕ це л ч за методОАмгэсоглАсовАнного 11олн т с. статический заряд в электронном 1'азс экранируется.
Радиус экра- пирования (дебаевский радиус) равен Очевидно, гп — характерное расстояние, на которос а среднем смсща~отся за13яды среды, чубы ураановссит1, Внещний заряд, и тогда среда в целом остается в равновесии (поляризационная длина). Как видно из (5552)„на эту длину распространяется возмущение в электронном газе за время порядка периода плазменньгх колебаний. Литература1 (1; 5, гл. 2; 7„гл. 5 — 7; 11, гл.'2; 23; 24; 32В, 9 69, 7О; 36, гл. 1; 39; 43).
т) с положительной (это отвечает случаю на рис. 7З). В (7.29) было катано, что такое разложение и(г) захватывает и область примени- л квазикласснческого приближения (парамсгр 1/(/г/1) «1). В этой кресзт)ости решения (А.З) принимают внд (О, г) — г ))Яехр(гсгз'з); (г„б) — г ))4ехр(-/сгз)з). (А.4) с = (2/3) /с. В лекции 7 была поставлена задача о сшивке квазиклассичсских решений одномерного уравнений Шредингера, найденных ио )жзиые стороны точки поворота. Решение задачи в случае изолированной точ ки поворота дается формулами (732), (7.33) и может быть получено с немощною г)родолжения ~о~ного решения, нзЙдсниого вб~~з~ то )ки поворота (задача 7-1).
Здесь мы наметим более общий подход, допус. кающий распространение на задачи с несколькими особыми 1очками, Идея состоит в аналитическом продолжении найденного в одной области решения через комплексную плоскость, минуя опасное метло, глс нельзя использовать квазиклассическое приближение.
Рассмотрим уравнение Шредингера ~"' + и(г) ~ = О, где г — комплексная переменная, а функция и(г) аналитически продол жает с вещественной оси и(х) = Аг(х) = =-" (Š— (/(хМ з' Пусть точка поворота расположена в начале координат г -- О, и(0) = О, вдали от нес потенпиал (/ таков, по справедливо квазиклассическое приближение, так что два линейно независимых решения имс)от аид (7.5), (7.22): (О ) — )ы ) /, / (1+ О(д)) (г, О) = и ' 4 ехр — / 3 lл г/г (1 + (7(Л)), о где введены для удобства специальные обозначения решшгий. Если точка поворота является изолированнои, то в ее окрас'~' ., стности функцию в(г) обычно можно разложить в степсниои рял, начиня)о з ся с линеииого члена: (/(г) = сг.
Будем считать вещесгвспну'о ю коне Точка г = О является мочкой велгвления, и для выделения одно- зязчной ~с~~и н)жио провести ог этой точки линию разреза. Однако ": истинное решение уравнения Шредингера (А.1) не имеет особенности ари г = О, т. е. является однозначной анзлитическои функцией; особов';:;)вость появилась лиль в квазиклассичсском представлении решения„ ,::. яесправедливом в самой точке г = О. Отсюда легко получить правило ::;:;::перехода через разрез: поскольку аналитическая функция не должна :,":щхлсрпевать скачков, этот переход означает просто изменение аргумента г на 2л. Пусть линией разреза (рис.
А-1) служит луч„ нижней границе которого отвечает знзче- ,7 вие агл г = д, а верхней — зхя г = д — 2л (по- ~Ь- 'яожительным считается направление обхода воть" Фь' круг г —.- О против часовой стрелки). Соответсгвующие выражения для волновой функции ф пометим индексами „-~". Пусп, нз ниж~еЙ гра' вице решением является первая из функций Рис А-/ (А.4)' г =- ) г ) еы (О, г)+ = ~ г ! п4 ехр(-/б/4) ехр(1с ~ г (з)з е)з)з) и) (А б) тбогласио вышесказанному, находим отсюда решение на верхней гравице ) еи — ъО (О г) = 1г 1 )~вохр ~-1 — + — ехр (1с ~ г (з)з е1з)з) '14 — зх))— 4 —;1г )-п4ехР, д~ (; )г ~зп )зп)гз) дру гои стороны, второе решение (А.4) на нижнеи границе иыее) вид '(г,0) ~ ~-))4ехр; о е„„(;, ~ ~з)зегз)з)га);(О г) (Аб) ' ..Та ; "ким образом, при переходе через разрез в положительном напраз'.Ле ', ', енин меняется форма записи решения: ;-:,"ь юм (г„О) -» — 1(0, г) и аналогично (О, г) — — ~ (г, О).
(Лот) ПРи пеРеходе в отРицательном напРавлении в фоРмУлах (Л 7) сл заменить — 1 -» 1 ) "'едуег Из (А.З) легко видеть, что комплексная плоское-ь г делится Иа несколько секторов с разли ~ным поведением решений. Л нпнн, ла которои фаза ) .,и г1г вещественна, характерны тем, что на них пих волновые функции осциллирукп, так что оба Решения имеют одинако инакояый поря док величины (аналог области классически допустимого ого движения) Эти линии назовем ливиями уровня, или сопряженными линиями Сток .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
