1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Пусть теперь на барьер падает в~дна еле~~. Тогда очевидн |ДНО ЧТО справа нет Отраженной волны, 21) = О. Зная матрицу связи л» |р нахОдим коэффициент Отражения |."разу Конечно, автоматически в силу (А.32) )с + Т = 1. Формулы 1АЗ6) и |А37) справедливы прн любой ширине барьера. Для удаленных точек поворота |5 >> 1, н мы возвращаемся к результату (7.51), Т -я е 2с. Подробное исследование метода Обхода в комплексной плосэ ости и применение его ко многим задачам содержится в 1511; несколько )юугая формулировка, построенная целиком на использовании матриц связи, предлагается в 1501.
,: "где |7 — — комплексное чнслО„тО Он является собсл|веннмм Ясклтороят ОперктОра м'„Отвеча|ощнм сОбс|явенномр знйчюиво Ф Вся сОВОкупность ,:. ссбственных значений оператора Ц об)жзует его спектр. Каждый собственный вектор принадлежит Одному соб~т~~нному значен~ю, но дан:- ному собственному значению может отвечать несколько виновно неза:,;.; Яиснмых собственных векторов, тогда это собственное значение еы-', Ролсдено. Для линейного Оператора все векторы, принадлежащие об.; |Лему собственному значению, Образуют подпространство (любая их -' линейная комбинация принадлежит этому пространству); 1жзмерность ::.:.надпространства называется крал|нослэыо )степенью) еырожг)слил. Пусть Ф, = )|) — полная ортоиормированная система, т, е. набор ,;::::.:.
векторов, удовлетворяющих условиям 1см. лекцию 1О) 6 1 Я - =(ФО Ф,) = б (; 7), (Б.З) 11роизвольный вектор 'р может быть разложен по этой полной системе. Чт=~, сФН Ф.5) дикции гю квлнтовой мнхлникн где коэффициенты разложения (коэффициенты Фурье) в си» равны в силу (Бз) с; = (Ф; Ч»). (Б 5) Согласно свойству (Б.1), действие линейного оператора на Ч» и ИОстью Определяется егО действием ка базискьге вектОры Ф,; ОЧ» =,~~ с4Ф,. Результат действия Д на базисный вектор снова и б ожет ыть предста», лен суперпознцией базисных векторов 0Ф; = Х 1'1»;Ф». (Б.б) С оотношение (Б.б) можно интерпретировать двояким образом; 1) преобразование пространства „поворачивает" базис, повернутые базисные векторы раскладываются по старым; 2) квжд Ому Оператору Д сопоставляется (в старом базисе) матрица Д с матричными элементами Д»ь Аналогично (Б.5'), из (Б.б) имеем О»э = (Флэ ЙФ,) - =(»! Р ~ Ф Б.Т ( ) В другом базисе данному оператору будет уже отвечать другая ~ат РИЦЗ„ »»роизеедение операторов Х = ДЯ вЂ” оператор, заключаюшкйся в последовательном действии сначала Я, а затем Я1 ему отвечает матричный элемент (»' (ДЯ ~ ю).
Из (Б.1), (Б.б) и (Б.7) получаем б» = Ф~)»т = (»'1М 1») — (»! О Х й. 1 И) = Х ЬФ.~ т. е. произведению операторов соответствует обычное матричное умно жение матриц, отвечающих операторам-сомножителям. П и этом необ Р ходимо строго следить за порядком сомножителей. Операторные соотношения, в отличие от матричных, име1ОТ Ун" нереальный вид, ке требующий конкретизации базиса (соотношения между величинами, не зависящие от выбора системы координат) Оператор К = Д ' назовем обратным по отношению к (», если Щ = 1 (единичный оператор„которому в любом базисе отвечас г сди тичная матрица). Обратные операторы существуют лишь для нес""" уллрных операторов Д, т.
е. для таких, детерминант матркцеа которых для конечномерных пространств) ие обращается в нуль (этот детермн приложение в. линнйныи опн Аторы вант инвариантек относительно перехода к другому базису). Если Д и ~ кесингулярны, то (дф)-1 ~- ф- ~ (Б.9) 'дщ произведения операторо~ (Р)' = О*К (Б.11) по отношению к м, Оператор Д является»лранспонироваиным если Фт)к = О»;, тогда фй)т = Кт~т Наконец„назовем оператор Й элмитово сонг»яженным к Д, если для любых векторов Ф, Ф' © Ф, Ф') = (Ф, ЯФ').
(Б. 14) Такой оператор обозначим В = Д+. Очевидно, что Я+ = (Д+)+ = Д. Применяя равенство (Б.14) к базисным векторам Фн Ф и пользуясь (10.13), найдем (Ф» Р*Ф») = ЮФ ' Ф») (Ф» ЙФ ') (Б 15) (О )й=й»э Используя (Б.10) и (Б,12), видим, по й' = (~')' = Ю')'. фЯ)+ = Р+Д+. Если оператор Д = Д+, т, е. совпадает со своим эрмитово сопряженным, назовем его эцчитоеым (самосопряженным).
Согласно (Б.15), атрнчкые элементы эрмитова оператора удовлетворяют соотношению Если нуль принадлежит спектру оператора Д, т. е. сушествует некуле(яой вектор Ф, для которо~о ДФ = О, то 1» сингулярек. Комплексно-солр»слсенним по отношению к оператору (» назовем .Оператор Д', для которого К) )й = Р-,"- (Б.10) Ищем собственный вектор Ч' в ниле линейной комбинации базисных Векта1заВ Чз=,Я сФ,. (Б.20) или, в матричных элементах, ((!+()); = ~,(()+)!О; = ~ь~(/з!(У~ = д;. (Б.23') ! Отсзода У„с,(Ф „(5Ф,) =,',ь с!Ц „= д ",з сз(Ф,, Ф,) =- су ~~', с,бя, З,(Дз, — !(бзз) с, = О, ! = 1, ..., л.
В силу (Б.9) и (Б.1б) произведение унитарных операторов снова уни- тарна, Если подвергнуть пространство унитарному преобразованию Мы получили систему и линейных однородных алгебраических урав пений относительна коэффициентов с, искомой суперпазипии (Б2()) Система (Б.21) имеет ненулевое решение при условии де1 ~ Ą— езду! ~ = О, (Б.22) что дает алгебраическое уравнение л-й степени (характернсти'!сансе уравнение), карин которсга суть л собственных значений 4!..., с! (" теореме задачи Б-1 ани вещественны). Соответственно мы получаем ' ! .3 ' та нсе скалярньзе произведения не изменятся; (Ф', Ч!') = (ОФ, (,'Ч') = (Ф, О+ ОЧ!) = (Ф, Ч'), (Б.24) т е.
Унитарное преобразование сохраняет углы и длины нектаров. Сделаем теперь произвольное линейное преобразование прост- ранства лпкции по квлнтовой мнхдникн прилоззение в вин пйнык схзннлтоны 485 Д; = ()зз, бственных векторов Ч'!, ..., Чз„. Векторы, отвечщощие разным зпаченикм Чь Уже артагональньк Векторы* ззрннадлежал!не одному и тому в частности, диагональные (! .= !) мат ичные элементы ве в частности, диа ( — у) р ые элементы веществен„,:,'',:", ' ( ырожденному) собственному значению д, могут быть сделань! арРа Ра ~вянет~я Й + зО, гле а ' ' ',': .'-,.
„; нальными с помощью известного процесса ортогонализацнн Краратор Д произволен. Легко вндеттн что для любого вектора Ф,'"':,' '::: е того, все п собственных векторов можно нормировать на единиззу (Ф,О ОФ) О. Таким образом, мы получаем набор н ортонормираваиных векто- (Б.)е) ',:;::,: Ров В и-мерном пространстве, который можно выбрать за базис. В этом 11раизВеденне двух эрмитавых операторов является эрмитав кн .-', '-,.'' (собственном) базисе матрица оператора 0 диагонал! на и состоит из ~ор~м тол! ка в там случае, если эти операторы коммутирунзг Г": -'. ега собственных значений !ул Любой вектор можно разложить по векта4г)'=Л 0" =МО Ой. = Мд ~ ~4, : рам базиса, т.
е. собственные Векторы эрмитава оператора образуют полну!а ортанормированную систему. Однако всегда можно составить две эрмитовых комбин ..:... ',. С известньгми математическими предосторожностями Рассмотренэрмитовых ком инацин з ка мутатор Дй + ЛД и (с множителем !) к!доз!утаи,ар !. (рй . йр) ", .'"„Вые свойства эрмнтовых операторов переносятся на случай бесканеч— = ! ( Д, й) .
'номерных пространств, обоснованием чего мы не будем заниматься. '::... ' Отметим только, что в гильбертовом пространстве комплексных функзеллче Б-к Доказать, ззо еее еовсзеенные значения ермилова онегезоре ле ., " ,', цнн, квалратично интегрируемых в некоторой области, обьзчно приховенны, е еобетееиные еенго1зы, о1знналлежанзие различным еовсзеенным знозенн ' ' ' '':, лизен иметь дело с дифференциальными операторами типа (4. !), о!ззогонлльны. (См. лекнию 6.) свойства эрмитовостн которых подразумевают, как в (4.28), класс функ- Будем решать задачу на собсгвенные зна !ения «рмитова оз, -':,.".,' .
ций, Удовлетворяющих некоторым граничным условиям. В пространст- Д в н-мерном пространстве ве функций рассмотренный выше ((Б 19)-(Б 22)) праце~с приведения ДЧз =- дзр. (Б 19) "-, ':; .":- эрмнтова оператора к див~опальному виду сводится к решению дифференциального (нли эквивалентного интегрального) уравнения Оператор (! называется узнзнзарлылз, если () + Г = 1, т. е. 0 ' = («з+, (Б.23) Пусть между непреобразованными векторами существует сост Ч' = ДФ. Тогда 1Р' = Т г' = ТДФ = ТЯТ 'ТФ = ТОТ 'Ф', т. е. после преобразования роль оператора 0 играет Д=7фТ '.
Пайдем условия, при которых любой эрмитов оператор остас преобразовании Т эрмитовым. Пусть Д вЂ” эрмитов оператор„~ хотим, «тобы Д'+ = Д, т, е. (ТФ ')" = (Т-')+0+т' =- (Т')-'~Т' = тОт-~, или, умножая обе части последнего равенства в (Б.26) слева справа на Т„ ДТ+Т = Т+ТД Значит„оператор Т+Т должен коммутировать с произвольным вым оператором. Такой оператор может быль лишь оператора ження на число, которое можно положить равным единице: Итак, только при унитарных преобразованиях свойства эрми операторов сохраняются. Любой унитарный оператор можно представить в виде О=еж Приложение В ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ как с точносп,го до членов порядка 1"'з имеем (1 + 1г )(1 — 1~ ) = 1 оператор 0 ' (Б.29') совпадает с О+ (в силу эрмитовости 1 ), зна1ит, овне унитарности (Б.23) выполняется. Такой же результат можно учить, если в (Б.28) принять оператор Я равным бесконечно малому ратору г и разложить экспоненту в ряд, оставляя лишь первые ны.
Выразим изменение векторов Ф и операторов Д при бесконечно ом преобразовании (). Имеем: дФ еа (,"Ф вЂ” Ф =- 1Т'Ф. (Б.ЗО) ф=д — у=Я() ' — д бд=(1+ 1Тж)а(1 — т)-д= Ф0 — 0Р)= 'Ф,й. (Б-З1) еделим проекционный оператор Лц, проектирующий произвольвектор на подпространство М: ЛмФ = Фм, Лм+ Лд = 1. (Б.ЗЗ) Разделим векторное пространство на две части: подпространство и его ортогональное дополнение М. Тогда любой вектор однозначно дставляется в виде суперпознции проекция вектора уже целиком лежит в подпространстве М). Отсюда сдует, что собственные значения Лм равны либо 1 (собственный (Б,2э') где 5 — эрмитов оператор, (Функцию от оператора следует и в смысле соответствующего степенного ряда.) Из (Б.28) следу унитарный оператор приводится к диагональному виду, при собственные значения равны е"", где и — вещественные собс' значения оператора Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
