1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 79
Текст из файла (страница 79)
» са. Линии, на которых фаза 1 -1и г(г чисто мнима, назовем ттахил о Стокса. Здесь одно из решений (Л.З) экспоненциально растсх другое убывает прн удалении от г = 0 (аналог классически нсдосзупиой области), Пользуясь (Л.4), находим уравнения линий уровня 1ш гз = О -» агя г = 0 3 и линий Стокса ПлчлежечяМ.
О КВЛЗИКЛЛССИЧВСКИХ фОНМУЛАХ СВЯЗИ 475 В области применимости квазиклассичсского приближения общее ,ление уравнения В)редингера дается суперпозицией (Л = А(0, г) + В(г, 0). (А.10) ш = А|(0, г) + В~(г, О), '' иа линии 2 оно будет иметь вид Ф = Аз(О, г) + Вз(г О) ' ~.,.:-' 1(ак видно из (А.4), в нашем случае (е > О) в секторе 1-2 ре~ление (О, г) убивает; а (г„О) растет.
Если при растущем решении коэффициент ::,,' В и О, на линии Стокса 1' убывакзщее слагаемое А(0, г) нельзя удержи- :-, ~.: ' вьчь„оно экспоненциально мало по сравнению с поправками порядка Ь ; к Растущему решению. Однако на линии уровня 2 оба решения опять ,: 'осциллирук»с Значит, в окрестности 2 уже необходимо учитывать член (О, г), но, поскольку невозможно проследить за ннм на всем протяже' '-',: нии сектора 1-2, мы, вообще говоря„не знаем, с каким коэффициентом ':;:. следует брать решение (О, г) на линии 2. В то же время слш.аемое (г, О) доминирует во всем секторе н поэтому просто аналитически продолжа' -;,:, ется с 1 на 2 с той же амплитудой В.
На самом деле коэффициент при ' "'; решении (О, г), действительно, будет другим после перехода с 1 на 2 (явление Стокса). Чтобы продолжить решение с одной из линий уровня, обойдем .' точку поворота в комплексной плоскости (см. Рис. А-2), не выходя нз ..', обласги применимости квазиклассики. Пусть известно решение на лниип уровня 1 (Л 11) Кег ' =0»агяг=-» з' Таким образом, из точки поворота исходит 7 линий: три люшн Уровня (Л.З), три линии Стокса (А.9) и разрез, который можно провести проЮ- вольно (см. Рис, Л-2, где линии уровня изображены сплоизпымн ливнями, линии Спжса — штриховыми, разрез — волнистой линней, верх няя граница разреза совмещена с линией уровня 1).
Прн переходе через линию уровня, на которой оба решения осциллируюк вид функции не изменяется, по мнимая часть фазы меляев знак (переходя через пуль на самой шпзнл УР ) Р . 1 1У вится убывающей и наоборок 1-1а лини"х Стокса вещественная часть фазы исчезае и различие между решениями максимал~ ио. В то же время Разрс:зс и' ~ястся 3 ',3' лишь вид решения, но сохраняется свойство быть Растущим или убываюгпьь Лис А-3 В секторе 1-2 решение (г, 0) растет, т. е.
непрерывно переходит на ли.;.: иию 2: Вг — Вь Если бы растущее решение строго отсутствовало, .:,В1 --- О, то тогда бы в решении (А.11) было лишь слазаемое А ~(О, г) и мы ': ногаи аналитически продолжать его с 1 на 2, т. е. было бы Аз =:-Аь Врп В~ и О это уже не так, поэтому Аг = А~ + аВь (А.12) .'зде введена неизвестная постоянная Стокса а. В секторе 2-3 растет ;,: Уя~е функция (О, г), поэтому мь1 приходим на линию 3 с Решением зР = Аз(0* г) + Вз(г* 0) Аз = Аз, Вз = Вз + РАз (А-13) :;: ~;-'; где 11-- новая константа.
Наконец, совершенно аналогично на линии 4 ф = Аг(О, г) + В~(г, О), В4 = Вз, А4 = Аз + уВз. (А 14) ;, ! "среводя теперь решение (А.14) с нижней границы разреза на верхнюю, получим согласно (А.7), (А.7') ф = — 1АДг, О) — 1В4(О, г). (Л. 15) О пако днаю в силу аналитичности решения функ А ПО1 нкциЯ .15), 1ссггр д лжна сОвттадать С Исуо; лучили на линии 1, послс ОбхОда долж 1 ' уо; шепнем (А.11). Так как решения (О„к) и (х, 0 лин хОдим и х, тлннснпо нсзависи мы, на В4 = 1А1, А4 = 1В1, (АЛ6) илн, используя промежуточные результаты (А.12) — (А.14), В1(1+ а)))+ фА1 = «А1, А1(1+ уф)+ В1(а+ у+ ауф) = 1В, (А«6) Равенство (А.16') должно быть справедливо для лгобой на 1а1кьно" перпозиции (АЛ1), т.
е. при произвольных А1, В1. Отсш а 1 стоянные Стокса ЬПЫХ 1, 1 ТС1Ода Науп1дикя НО а як Р = у =- (АЛ 7) (из четырех уравнений (А.16) толью три являются я1отся нсзависимыьщ, р дс в отрицательном направлении постоянные С равны -1 Янные го1сса будуг Залина А-1. Домазать, что если точка з =. О являет Ал), С р 2' 11(+2)); — ляетсл л-кратиыи вк лен д иевия Шрелнвгера (А 1) вблизи з = О «сеял и + ; и в зтои точное ".: в лизи з — выражается через функции Ьессе .
/ „, ЛЯ Л1„,,1 2' Покажсм, как, зная 1тосгОянныс Стокса, получить формулы связи, приведенные в лекции 7. Пусть, например, ~очка поворота лежит справа от барьера (рис. 72)„11ричеы'и классически недоступной облашн (х > О) есть лишь затухающая функция и требуется найта 5,' решение в классической области (х < 0) Вид картины линий уровня показ4Н на рис. А-3. Удобно выбрать начало отсчтаа фазы Рис. А-3 функции и так, что агй и — 0 Ори х < О. Йэгда положьггсльной полуоси х > О отвечает а1Б и = л, и = ) и ~ е ~, ) и ) = — и, так как и > О при х < О и и < 0 при х > О. Имеем при х > О к к "— 3 ~~" 4и«е = — 13 йх «~и = — 1Ф ф>0 (А«В)к О Г1лн1кожание А 0 КВЛЗИКЛЛ ОСИЧЕСКИХ ФОРЫУЛЛХ Сс НЗИ ехр .1- 1 3г Вх "и =- схр (- ф о с к (х О) ехр 1 ~с«х и = ехр 1 к о Шее Решение.
Итак, задано на линии 1' (х > О) загухагошее решение (х, О). Это ОМ1ачает, что во всем сегаоре 1-2 ес1ь только убывагошая функция (к, О) При переходе через лнниго ) ровня 2 Решенно становит~~ возрастагогцим и доходгп до линии 3 с амплитудой„равной !. Здесь же (в секторе 2-3) набегает убьтвгношее решение (О, з), т. е. по формуле (АЛ2) в окрест- ноши линии 3 имеем рсп1еиие (Т„О) + (О + 1)(0, а) = (х, О) + 1(0, к) илн на леи«есгвенной осн (х < О) решегше ф = (х, О) + 1(О, х). Окончательно гняеем соответствие илн, пользуясь обозначениями (А.«8) н сделанным вь1бором фаз, -114 ют + 1л12 — )14 —,1Г («) -1л)-114Е-Ф 2и '4 соз(à — л 1 4) ь ) и ) "" е Мм получили правило связи, совпадатощее с (732). Рассмотрим теперь более сложный случай двух точек поворота.
Ес,:: ли они достаточно близки„линейная аппроксттмация и(к) нарушается и мы не можем рассматривать эти точки по отдельности. Метод обхода ::, в комплексной плоскости годится и здесь, но обходить надо обе точки сразу, все время находясь в области применимости квазиклассическогс приближения, Пусть, например, потенциал имеет 5 1 2' 1' "ид барьера как на Рис 3 5 13 этом случае схема линий уровня имеет вид пока." занпь1й на рис А-4 (каждая точка ново- 4 Рена дает свое ответвление).
будем Дейстааааттч КаК И В СЛУЧас ОДНОЙ тО~КИ лоы1рога И1,1с.ь1 общее решеггие прн 5 4 х- 6 (линия 1) рис А-4 Региеиие. Легко ооказшь (см. (А.26')), что в нашем слу ~ае роль козффицнентов А я В игрвгот -1В4 и -144„т. е. Дальнейпгее продолжение ясно без подробных пояснений: г (А4 1 а234)(к а) гВ4(а к) = ге (А4 + сг2В4)(к~ Ь) гВ4е (Ь к) "'': С лругой стороны., из (А26) и (А.ЗО) следует, ито (Л.ЗЗ') т' е (А4 + " 2В4)(Ь 'с) (е В4 + 132е (А4 + 122В1))(х Ь).
Ввггво, зто услонис (А.ЗО) зквивалентво нег М= 1, а а и 6 должны Выть связаны соот- вол1еииеьг а = — р' нли, с улстом (АЛО), етв ЛЕКЦИИ ПО КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ ,'"У " ПоиложеииеА О КВАЗИКЛАССИЧЕСКИХФОРМУЛАХСВЯЗИ 4ГВ ф = А1(Ь, х) + В1(х, Ь) (Л 2 " '.': .' )(аконец, сравнение (Л.27) и (Л.2)) дает ( 22) (об"на'еи реи"нии — как в (ЛЗ)) В - рс 7-2 р. ".
(Ь -::: -А1 = е(А + а2В4) — В1 = ее(л2А +(азат 24) 41 ( ) е После простых преобразований н йдем из (Л.26) и (Л.28) четыре Ф = А2(Ь л)+ В2(х, Ь), В2 — — Вь А2 = А, + С,ВН (Л; '::,.",: авнення для постоянных Стокса а1, аз, Р1, р2. = — Е 2Е а + а (СТ,В + Е 2о) = 0; Где НОстоянная Стокса 121, конечнО не совпадает с найденной в1,1щ (+ сгзрг = е *, сг1 + сг2(с 1~ 1 (Л. (7).
При переходе с 2 на 3 мы не пересекаем линий Стокса, тах, Р +ИСТР— ' ") и б «Л.29) рещение по-прежнему дается формулой (Л.23). Но здесь нам буд удобнее отсчитывать фазу От точки а. Позтому запищем ~ = (А1 + а1В1)(Ь, з) + В1(г, Ь) = )(з уравнений (Л.29) лищь трн яаляиотся независимыми, общее реще=- (А1 + а1В1) ел(а, 2) + В1е"'(л, а), (Л24) НИЕ МОжнО Заинеать в ВИДЕ 1"1 гг2 = а Р1 Р2 Р* сФ )+1 . (ЛЗ()) Где фазовый нн'ГеГрал О ь ( — —, Для нахождения козффициента прохождения через барьер вос- (Л.25) : пользуемся, как в лекции 7, общими свойствами м~трицы п~р~х~д~. 11«а2 1 ь е Залаяв А-2.
Показать, по если х» Ь (см. рве А-4), решение содержит волны, :, -.: раслросгранянвцнеся влраво и ~~с~о, с аьзллитулвми соответственно А1 и В1, а гри является вещественным положителыпвм числом. Случай д» ( отвеча й,, „„„. „, Об ..."., «с амллнтУды Равны А и В, то слазь Решений даетса матРицев м дить поодиночке (между ними уже применимо квазиклассическое приближение).
Ра~~матрива~мый под~од 1.одится для произвольной вели- (ЛЗ ) чины д. И- ~.)! 4) И В секторе 3-4 затухагощим ЯВЯЯетсЯ рещение (я, а), так что на ли-': '.:„„.ем в силу инввриантиосги относительно отражения времени з =- Р', г = т, в из нии 4 сохранения тока Ое1 М-.
1, т. е т)з = А4(а, х) + В4(х„а) = (Л.26) (р ч~ М =( „, „1Л12 — (4! =1. (Л.З2) = (А1 + ОГВ1) е'(а, 2) + (В1е~ + рге'«А1 + а1В1))(г, а), (4 Р) яао ЛЕКЦИИ ПО КВАН ЮНОЙ МЕХАНИКЕ а = |е'"'я1) + е 2л,;5 = |е ля~) + е 2л, 1А.35) ' |де р некоторая фаы, оста|впаялся неопределенной (монне потребо~нтя „ случае д» | ре|ленне переяоднло в найденное ранее лля нэолнрованной о сор .
восо й„. сде все постоянные Стокса равны С поэтому |е 1|) — о~) - О). )2 = Ю1 ~ ч ~ | .1.. 2а |:::::::; 1)рипожение Б. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ л! ~ г1 ~р р |+.-" + ' 1АЗб) Закон, сопоставлякллий одному вектору пространства некоторый -'; другой вектор, есть Оператор, действующий в этом пространстве. Нас .;:,; '. буду| интересовать обычно линейные операторы в пространстве состояний квантовой системы, т. е. операторы Д, действие которых на векторы Ф подчиняется услОвию Йс)Ф) + с|Ф2) = с)0Ф) + с2ОФ2, (Б.1) ~2 л ~р )2 1ре )" |+ е2~ (А.ЗТ) : где с|, с2 — прОизвОльные комплексные числа. Если вектор Ф уд~вл~т~оряе~ соотношению ОФ =- |7Ф, Х!|) < ~= 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
