1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Рассмотрим бесконечно малое (инфииитезимальное) ун преобразование О. Это значит, что оно бесконечно мало отлича единичного, т. е. может бьп ь представлено в виде б =1+ 1Т, где бесконечно м~~~й оператор Р эрмитов (он называется теис преобразования ()). Действительно, обратный по отношению оператор есть (э-' =1 — Ф, (Б.32) н (Б.ЗЗ) очевидно, что проекционный оператор может быть Лм = Х~~ >((~, (Б.З4) ~'Е М и же М совпадает со всем пространством, то Лм = 1 (это не что 1е, как условие (Б.4) полноты базиса ~1)).
Основное свойство проекционного оператора закшочается в том, любая его степень равна ему самому: (Лм)' = Лм (БЗ5) задана Б-з. Доказать, что проекционные операторы линейны н устаноинть, при каких уклоаилх произяедение тзь,удаи „сумма зтзм + А о, ЛМ вЂ” АМ двух проекционных оператороа Л,у, Ау~ сами являются проекз операторами и на какие мззозкестяа оии проектззруют. Рассмотрим уравнение Шредингера для свободного движения частиць1 с энергией Е = йтх~l(2е).
Разделение переменных в сферических координатах дает для парциальньзх ВОлн с Орбитальным мОментом (см. леьцинз 8) уравнения ,Цаа линейно независимых решения радиального уравнения (В,2) Отличазогся НОВедением В начале кООрдинат. Для сВОбОднОЙ частицы мы долзкньз отобрать регулярное решение тк(О) -= О. Однако В задаче рассеяния на центральном поте~ц~~~~ уравнение Шредингера име~~ Вид (В,2) лишь в асимптотической области. Здесь нужна определенная линейная комбинация р~гу~~рно~~ и сингулярного решений уравнения (В2), которая будет плавно шиита с регулярным решением истинного уравнения П)редннгера В поляски взаимодействия.
Введя безразмернуго переменную р = й, перепишем (В.2) В виде В асимптотике (р — с) оба решения представляготся линейными комбинациями расходящейся (ек') и сходящейся волн. Нормируем регулярное решение так, чтобы асимптотически оно имело Вид ЭТО определ~~~ выбор константы Сь фаза ф~ будет найдена низко. — + — ю =- — я. Б) 1= --+ -- ~п 1=12,...
~Ф И С, ~' явэ ;,= 3--'сОВ,— — ~, Сс Р в Всимптотике (р - ' ) 11 -> 3 — совр = — я(п1Р— 1 С, К:1.( '1 СО Сс 2 (В.13') Для исследования рец.еиий уравнения (В.2) удобен метод факт риаалии. Легко проверить, что (В.2) можно записать в двух факц1о„ ванных формах — + — — --- - — — к=- — ж, (13 где 11 -- регулярное репгение (В.2'), (В.5), (В.5') с асимптотиками (В 3) (В.4). Вспо11ьзуя (В.5'), получим и) 1 = — — -- + — 11 = — ~~. (В 7) и подействуем на обе части (ВЗЛ) оператором ~ — + -- --': с е вь как и 11 является регулярныы ре1леиием Поско1ьку ре1Т1ярне~ зе1леиие единственно, яч и„б пропорциональны; козффицнепт пропер аиональности определяется из (В.З) и (В.9): („1+ 1') ( г = — ~ — — — ~ и) = — (21+ 3) ~ — ~Л (В11) 1+1 — — ~ —— Ф Р е из сравнеииЯ (В.13') с (В.4) С1 =- (1~3)С0 х '1, Легко получить Обц1у1О формулу — — — — р" = — 1 — . (В.15) 1 1 1 1 1 2~1' л 21 + 1 22 — 1 5 3 (21 + 1) Н 121 + 1) 1 2 ::К' Таким образом, регулярное рец1ение (В.2) имеем аснмптотикн В противоположность регулярному ре1цени1О, главный член ряда, предсхавлявмцего прв малых Р нерегулярное ре1пение я„ие Определяет к' одноз~1аи1о функци~о Еь гак как добавление к л1 сла1аемо1О~ ви'~а %'ь где Й вЂ” произвольная константа не изменит 1лавнОГО члена прн р ~' О, -»ря — ы» 2) »е а» - соз р -14.
з! вк '~~»»" (г ) у »г)»»(»э) » ~ »»»7 е»»"»Р»(г») = — -- ໠—, 4(»») 2»+1 р Здесь фаза при р — е выбрана так, что отвечает определенно нию а. Условиями (В.З) и (В.17) функция д» фиксируется ж знач но. » кснруется уж Легко видеть, что в силу уравнения (В.2') вронскиан 1Р = — й» вЂ” — »» »к» ф с»» не зависит от р, поэтому его можно вычислить в асимптотнке: У" — .2»~) 1. ' 2( ~'~~ — 1 Вычисляя»Р при р — О, найдем амплитуду»З» (В.З): И' = 1 = (»+ 1) С»р»П»р» — С»р» '» '( — 1)р» '17» = (2»+ 1)с отсюда 1 О»= — —. С» (2»+») ь ~Я» К»+и +-. и»= — д» Функции,б и я выражаются через функции Бесселя: .6(Р~= ~~ †.~ Ы, а(Р) = ~-О',~ — ~ ~ + ЫР) илн через сферические функции Бесселя и Неймана Л»обая линейная комбинация 7» и»а» удовлетворяет уравнению (В.2).
» =7»+М», Ь»"=-Л вЂ” 'а (В,24) в асимптотике отвечают сходящейся и расходящейся сфер»»ческ»'"» волнам й .ела — м»21 р ~ о~ (В 2~) бризу»от полный набор Регулярн»ях Реп»енин Уран" ""' ля свободной настины с энергией Е, Поэтому л»обое регулярное реше- но ~ожет быть по ним р~зложено. Так, плоская волна Для нахождения коэффициентов С» разложения (В.27) выберем оса — е»ая е»ь — е»л сО56 (ось а квантования, »омента в сфе рических функциях У» совмещена с направлением й).
Тогда лева» часть (В.27) не зависит от Р, т. е. в разложение войдут липп ~И+» '»с = )1 — Р» (соя 0), и оно будет иметь внд (соя»7 и»») 4л е»"» = 2 о»Р»(г)) — —., ЛЫ (В.27' »=о Р ли, иэ ортогональности полиномов Лежандра, Соотноц»ение (В.27") должно выполняться тождественно по р, поэтом » можно найти, вычислив левую часть для какого-то р. Интегрируя и истам, находим ~ г»»7 еа»Р»(»)) = — ' ~ „»») ер»Р»(»)) + -'- (е л — ( — 1)»е-'э) (В.23 — 1 Р -» ф Второй член правой части (В.28) равен — »» а)п1р — 1 — ~ „а первьл 2..
( л'1 имеет порядок величина 1»»эз при боль»них о. Приравнивая (В.28 асимптотике (В.16) правой части (В.27"), получаем лекции ЙО квлнтовой мехАнике е'"" = ~~' 1~(2(+ 1) Р)(соя йй)— ~=о Р (В.ЗО') (В.ЗО") = 2А яш — . (В.37) 0 г Таким образом, искомое разложение плоской волны по сферичес:им координатам имеет вид ьтн в произвольной системе координат "еорема сложения (8.33) позволяет переписать (ВЗО') в виде (В.27), ~ржж С~ (й) = 4лт'У~'(й7)с), Возвращаясь к (В.28)„(В.29), запишем асимптотическую форму изложения (В.ЗО") + .
„~ (2( + 1) ))(соа йй)(еи — (- 1)~е (О) = Р ~=О (В.31) =,' ('(27+ 1) Р~(соя йг) я)вбэ — ьс ( г) с Р Однако полнота совокупности полиномов Лежандра дает вырасения (2(+ 1) Рс (й, й') = 4лд (й — й'), (В.32) ! це использовано, что Р)(х) = (-1)'Х~(-х). Отсюда — ь~~(ь — ю — д~ь+ья, (вйз3 где йь и й„— единичные векторы по направлениям к и Р соответственно. Таким образом, в аснмптотнке плоская волна вьплядит как суперпозиция потоков --. расходящегося от центра в направлении й и сходящегося а нщсравленнн — и. Пользуясь теоремой сложения (В.ЗО"), получим еще одну полезную формулу.
Р(меем С дру~ой стороны, простое вычисление дает аа Ойй — Р !) (",(о., и(я — и) )( Сравнивая (В.34) и (В.35), находим йо (ь 1Š— е ~) ~хр я()0)яь") Ь1Š— Р~ ) Ь. ° Ат' В частности, при ) Р ) = (Р ( = к имеем ) й — г так что — =,,'«,(2) + 1) — ' РКсоз 9, (7 д,, (з)~ 1 Докажем здесь же формулу (17.16) разложения произведения 2~ (й)у) (й) по сферическим функциям уь,~(й). Произведение содер- жит зависимость от (р в виде е'~™+ мЪ' — е™Ф, т, е, М = и+ и', присоединенный полипом Лежандра Рьм не моясет иметь степень выше (1 + р). Позтому ясно, что,„векторы" 1, 1' и Х связаны условием треу- гольника, а, значит, как всегда при сложении моментов (лекц я )„ и 16) искомая формула будет име~ь вид Уь,(й%т(й) = У уьСЙ Уьм(й), ьм или, вследствие ортогональности (16. 16), козффициенты Клебша — (орд- енаа лекции ОО кВАнтОВОЙ механике (В.ЗЗ') СПИСОК ПИТЕ(зАТУ1зЫ вЂ” и! йХ+ 1)(2Х+ 1) Уст! + 1 = с'!010 4н (В.40) Последнее равенство должно выполняться для всех И.
Но при векторе л, направленном вдоль полнрной оси (О = О), отлична от нуля лип!ь функция 1!о (движение вдоль оси не создает момента относительно этой оси), ГМ+ ! Б+! Уемо =д„, (О =д 1 — — Р,( — 1)=дм 1 . (В.39) Подставляя уь из (В.40) и (В.ЗЯ) н переходя к ЗХ-символам (16.28), по- лучим (17.16). 1. Алеугьл 4Х. Я. Атомный фогоэффект. Мх Наука, 1987. 272 с. 2. Ахнезер А. И., Берестецклй В. Б, Квантовая электродинамика. Мс Наука, 1981.
432 с. 3. Ахиетер А. И., ХХолераичук И. Я. Некоторые воиросы теории лара. М. Лх Гос- тсхнздат, 1950. 416 с. 4. Бать А. И., Зельдович Я. Б., ХХехгетолое А. М. Рассеяние, реакции и распады в нерслятивистской квантовой механике. Мл Наука, 1971. 544 с. 5. Беведеглмн С. де. Ядерные взаимодействия, Мл Атомиздат, 1968. 475 с. 6. Бересмецкий В, Б„ллгХгвгиц Е. ЛХ, Иитаеесгий ХХ.
И Квагповая элекгродина- мика Я Л. Л. Ландау, Е. М. Лифозиг!. Теорезическая физика. Т. 4. Мл Наука, 1989. 723 с. 7. Хмме Х: Квантовая механика. Мс Мир, 1965. 333 с. 8. Беме С. ХАоррлоэл Ф. Элементарная теория ядра Мл Изд-во иностр, лит-ры, 1958. 356 с. 9. Беме Г., Соллллгер ХХ Квантовая механика атомов с одним и двумя электро- нами. Мс Физматгиз, 1960. 562 с. 10, Блолвлцее Д и Основы квгитэвотг механики. Мс Наука, 1976. 664 с. 11. Бор А„Момлгегыон Б. Структура атомно о ядра.
Т. 1. Мл Мир„1971. 456 с. 12. Бор И. Избранные научив!с труды. Т. 1. Мл Наука, 1970. 583 с. 13. Виллер К Теория груни и ее нрилсскенив в каантовомеханической теории водяных сиектров. Мл Изд-во иностр. лиг-ры, 1961. 443 с. 14 Хозиороевч С. Физика эггеменгариых частиц, Мл Наука, 1969. 742 с. 15. Хогицкиа В. 4Х., Когов В. И., Карликов Б М. Задачи ио квантовой механике.
Мл Наука, !992. 379 с. 16. Холдглгейн Л Классическая мсханнка. Мс Наука, 1975. 416 с. 17. Хольдмак и И.. Криечелкое В. Д. Сборник задач по квантовой механике. М.. ЛИТТЛ, 195 Е 275 с. 18. Хольдхабер М. Вэлсогг К. 4Х. Теория столкновений. Мл Мир, 1967. 823 с. 19. Хрил К Матричная квантовая механика. Мл Мир, 1968. 163 с. 20. Ореол г И. И.. Тарасов ХХ В. Физика нейтронов низких энергий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
