1612725038-55fa95a39ba1d7b48a064b85411ad124 (829006), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Это И ОЗпанаст епцосоац«ЕОСП«лгпсл«Ь Лоле! Нацболес простым вариантом метода самосогласованного поля яв33Р336н«я!с!и«с ЛЕЗР333гл«, где п13снебрсгается влнян!«см анп«спм- !! г. 3 ! .!! г-Р Рьх "!Еперь при данном цмпульсе р зцергця частиц с с! = +1,2 6ольше, !)еяу часпш с гг = — 1'". на 2иь-Л' С другоГ! стороны, макс!ьмальпая зпергпв. е,. час пш с д:и!ной проекцией спица а долвкпа (в основном состакнии) бьггь одшшковой для обоих значений с! (цначс 6ыло бы вь«голи(3 «астицу из группы с большим значением о перевссзц в гру!шу смей«. шим значеш!ем).
Г)озтоь«у Пеги ЯВ МЕтОДСАМОСОГПАСОВАННОГОПОЛЯ 3! те.вО' основн~м состоянии 3«2!. < Ю С!и«тая поле слабык«, легко пай«и 13 ,„1«азз«в««гаку*' границ Ферми (рис. 55.1), 1«о33«33м«ы л, = — (1 — х), 2 «+П « — 12 2 32 3 3Р— =-. — 21««к-2Г = -- —.— (л«! — л2' ) «!и Лз) Ъя 2ьз = -( ™) ф ((1 — т)2 3 — (1+ х)333) = Ъя (зл Г! я) 4 ХЕ Р 3 2!я 3 слсдоВатсльпО. Ип)3гпша3п3гллг«3! Ецлловпя еосл!жгы!'Йевося«ь рим этО)' в У(для еле имее 17, замен ИЗ ПОЛЯ (7(га) = — Ъ- + '~' У,5- ЛЬЮ) ь ~4 — в1 Одночас.гичныс функции электронов должны удовл1." о Нн)О .3сгворяг3, уравнс э 2 .
3,:)2 .3. Гу(Е) с ~~ (г) — (3 Ъ31 (55. 13) а1:. 1 11осле нахождения решений 3))2(Р) уравнения (55.13), нме)ощих ~нергии В2, мы должны выполнить условие согласования: 331)относ.гь за яда да электРона Ь есть Рь — — с ~ фь(гл) (~, и сУммиРовапис по Ь Должно Вновь давать потенциал ~l (55.12') Если полученный потенциал Ел отличается от исходного (3', то нужно сделать следующую итерацн)о: рс1пать (55.13) с потенциалом 0', найти подправленные функции ф"' и вычислить поле (I". Обычно после нескольких итераций потенциал с достаточной точностью себя воспроизводит. На самом деле эффективное 1юлс (55.12'), действующее на данный электрон, зависит от сос.гояния, в котором оп находится, так что, строго говоря, единого пшсщ1нала ~' нс существует.
Однако Оказывается, <Гго в сложных атомах хорошим приближш1нсм мОжст служи1ь экранироВанный потс31цнал Вила Да) метрии Ч' на энергию (лекцня 53). Рассмот а)ома с зарядом ядра 7 и числом элсктроно мильтониан атома в нерелятивисзском пред Л2 л й = — )3 — ~~ )2 — те ~~ + 2а7 а =- 3 а = 3 3' Ясно, что искомос самосоп)асованное поле тичный гамильгопнан (55.12), складывается поля пространственного заряда э))сктро31ов: . )мсреэ =.'!':-;::;;: иона дГ м 2) '1 ВИЛ 2 (55. Р2) Я)ОЩГ.С МНО1011а ядра к срсд31его 1 э! з 1ля нсй1ГРальных атомов 2 Решения уравнения Хартри (55.13) имеют обычные „водородные" квантовь)е )Ясла л1гл), 13 энср1'33)О нх мо)кио выразить как 1 а2 (55.16) 2л ая где 7,1 дает отличие спектра оз водород)юго, обусловленное экрани1хекой заР)да ЯЛРЯ.
Очевидно, 'Гто Я ~ Ра) с- 4, ПРичем 2,1 должно уменьшаться с ростом л и 1 (далекие оболочки). Оравпнвая метод Хартри с вычислениями для атома ге)3ия, ле1 ко поняп,, по в (55.12') учтена лишь „прямая" энергия взаимодействия м)сктронов и отброшены обменные эффекты. Учет последних возможсп, если правильным образом антисимметризовать состояние Ч» (лриб)лжселие Харлч)и — Фока). Если мы представим систему набором независимых частиц, заполняю)цих последовательно состояния (13» в некотором самосогласованном поле, то функция Ч1 всей сис)емы должна бьггь слэтеровским дегерминантом, построенным из занятых состояний Ф2.
Пусть истинный многочасти11ный Гвмильгониан имеет Вид (аналогичный (55.12)) а = 2 (-. -"- ч„~ а3-.3) -:- 3 2 Я'., = 2 3. + ' 23'. ю Я 2Л3 ааа а ааа Легко показаттч что среднее значепие энергии (55.17) в состоянии„опись)наемом слэтеровскнм детермннантом из фупкцнй ф3„..., 32)2, равно Е =- У,(2 )11 312)+ — ~~~„( (2»1* (И' ~И ) — (Ы' ~И' )2'Ц) ), (55.18) 2 Зая г)3С суммирование по 2 идет по запятым состояниям от 1 до 13), 33 ~ 3 ~ 33 = 1 а а)333 ~- — "' Г3+ 3 33313 а 133: П13 33 (2122 ~ И' 1222Я) = .) Г1т п)Г ФЯ,(1) К)(2) )Р(1, 2) )р2,(1) Ф2„(2); (55 19') Лис 5.1. 2 эффсктивнь)й заряд 7 завнс31т От рас1ГГОЯ- я примерно так, как показано на ри32 552..
малых расстояниях дг)- 7 (нет экра ровки„чистый заряд ядра), а прп больших ктрол движется В поле Ос.вгоп10ГО 'аряда (1) и (2) означают всю совокупность одночастичных переменных (ср. (53 й)-(53. 1О)). Таким образом, если состояние полностью антисимметризовано, ,! 23) усреднение энергии автоматически дает как прямой, так и обменный "~лады. Для определения состояний ф2 требуется, стобы энергия ".;:., «55.13) принимала наименьшее возможное значение.
Найдя функции 4Ж лвкции по квантовой мвхлникв фя, минимизирующие функционал (55,18), т. е. решив сош Оот астст ЯУЮ щую вариационнук1 задачу, мы определим наилучшее прибл .. ри лижепнс 1 истиннои волновой фунукции Ч' на классе детерминантов С~ в лзт сРЯ, Тсь самым определится наилучший выбор самосогласованного и г:;...") Г1О Поля С1тобы вывести уравнения для функций ~фп будем ва Ф м ва1ЛЯ1роват~ .~.: г (55.18), считая фз и фз независимыми. Вариация матричных веыенто,.А;" по ф» дает д (д ~ л ~ и' ) = 3 г/г, д~~„'(1) л(!) ~л(1) д~„„„(55 20) д (п// ~ И' ! и ' ) = ) г/г~ г/гз дфя(1) дз,ф,(2) И'(1, 2) ~„(1) ~„(2) + + ~ /т /г Ф,;(1) дгр/,(2) д,М И'(1,2) Ф (1) Ф.(2) = (55.20*) = ) /т1 М(1) ( д„(1) Фя(1) д~, + л.(1) Ф„(1) д;я1, полу шм 11з (55.21) и (55.25') видно, что поле Ог есть просто среднее значение энергии прямого взаимодействия частицы в состоянии 2 со всеми остальными частицами и с внеп|ним полем. Поэтому (55.25) совпадает с уравнением Хартри (55.13).
Петрудно показать, что уравнение Харгрн дает минимум энергии Е на классе функций Ч', являющихся несиммстрнзованным произведением Одночастичных функций 1д„.. Конечно, реальное решение уравнений самосогласованного поля возможно только численно посредством последовательных приближений. Такие расчеты для многих систем (атомы, ядра, кристаллы) дают результаты, соп|асующиеся с экспериментом. Считая это решение нулевым приближенисьл ~о~~о уточнять результаты, учитывая нспосрсдсгвениые корреляции между сосюяниями отдельных частиц (в ме, .
тодс самосОгласованного пОля учтснО толькО усреднсннОс взаимО. действие частицы со всеми остальными, которое не чувствительно . к изменению движения мшюго числа частиц). Уравнения Хартри Фока (55.24) ршпаюгся в общем виде для пространственно однородной системы частиц в большом объеме )'. Вьппс мы рассматривали состояния такой системы фсрмионов в отсутствие взаимодействия. Пусть внешнего поля нет (кроме стенок сосуда), а взаимодействие И'(1, 2) зависит лишь от относительного рас:; стояния между частицами, И'(1, 2) = И'(й — гз).
Тоща проекция гг спина "аждОЙ часпщы являсгся инге Валом движения, а матричные элсмсн. ты 1ггг (55.21) диагональны по и. Поэтому член прямого взаимодействия в (55.24) содержит суммирование по частицам 2* с обеими проекциями а = .ь1/2, а обменный член — только по частицам /.' с той же проекцией а, что и у шс.гищ 2. Нетрудно доказать, по в этом случае решениями (55.24) по-преж.
нему явлшотся плоские волны (55.5), и найти нх знерп1и, Предположим, что (55.5) Удовлетворяют уравнению (55.24). Волны с разными (2 1 2' > =- .) /г Ф/. Фг = дгг. (55.22) Поскольку рсзультиру~ощсе саь~осОгласованнос поле будет для разных одночастичнь|х состояний А разным, функции фЛ не являются автома- тически ортогональными. Поэтому минимум (55.18) следует искать прн добавочном условии ортогональности Введем для этого //(// -г 1)/2 множителей Лагранжа гм. = г 1г и будем ре~пать вариацнопную задачу д Š— ~,гы (2~7) =-О, после чего определим параметры гм из У(// -~ 1)/2 условий оргогональности (55.22). Подставляя (55.18) в (55.23) и выполняя варьированис по Щ сог-. ласно (55.20), (55.20'), получим / ~ ~ м) )и) ~ и+ Х ~ е ю>- — а г а1- 2, в и) = Поскольку вариации дфя произвольны, отсюда находим искомые ур" А(1) ~я(1)+,'~ь„-(~дгг(1) ~/„(1) ~р,,(1) ~Р,(1) ° д~г(1)) = О.
(5524) леячя~ аз. мвтод сг мооогляоовлнного поля Из за присутствия обменных эффектов (второй член в фигурных скоб,ах) фактически мы имеем систему связанных уравнений для функций Если пренебречь обменньпии членами и неоргогональностью ф~ (опустить в (55.24) нсдиагоиальные по 2 члены н я я и еп с 2 ~ 2,*), то т с обычное уравнение В)рсдипгера с энергией гы и самосогласованным по~с~ 1 'я(1) = Х и дг(1) + (/(1) (55. 25') гид 462 ЛЕКЦИИ ГКЭ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ (2) = вв, О О)втОГОввшвьцы„по»«гому можввО положвпь е -:: Д (55,24) приввимает вид (суммы по занятьвм состояпцям1) "«вы н У' Ь»вт(!», е») + / в«ГЛ(«) Ь»2(«,,в'-,)— 2»»» т -Х (55.26) вв'тт(«) М«.
е») = еюя(«, г»). Лвяцин ЗЬ МЕТОД САМОСОГвВАСОВАННОГО ПОЛЯ 4:=Л »» О»:»с:Х,„, »» В Подставляя (55.5) в (55.21), найдем (ль 0 и 1) «, в»2 Я(р) =- ~, »!!в„~ с!!»' ~, фвс„(«вв „.в,'-) ГВ»(« — «' ) »,'»р,(«',, ') == 2 ! '»»' ц .= Х,,3 '» р*»', в р'»' пвс„3 Г!« -! — - е ! 1!»(вт — «) — -= са (ур, т ) = ч'в:. ! РО* „ = — У!в Г„„('~'1(« — «'); РО' пвсла заполнения, савв,в, Х. ! и'яв(«) = ' ~ ввв»»* ~ «1!»' са Б (« — «'*) д„« л изз(в!) = — Р» ЛГ И(Г~ — — )В, Х ": =--Х,- 2 !» р «в( )Фл(«) . »»Врт«з <»! с ь х Р' (5529) ср -.
р'в» рь р» х 1)»(« — «') ер сл = = — Ав и., Й в«р,,~» вг»» р — р' Собвврзя (55 5), (55 2К) ц (55,29) в (55.26), получим, что вес ЧГ»еиьв: -':,;-: урзвввсввввя содержат Одввцаковуво зависимОсть От коордпиат е! (55.5) является репе!и!ем. Сокраща~ на эту компоисптз; цаидсьв энср ятсврсвй !лен в правой части (55З0) отвечаег вирту щьному рассеянию ,в стццы р„св ца ферм!в-сфере»; псвлпсъи в!!вот!!с»стьво и (Рис, 55„3 и) в ко!'о; Ом части!та псредаст импульс с) = О, Трети!в члсн Описываст глврвушвьпый обьвсввввьввв процесс (рввс. 55.3 о), кпвт!а частица Р, с» пс)велас. импуввьс»! = Ё — Р частице фона, имевпвей квантовые чисвва р, »7 = (7, и мспястся с нсй Ровсами 11оскольку функции вря остались ~~кими жс (55.5), как в идгяшьиом в.азс, вврввблввжсввис Харт'Рвв .- Фока здесь фактичсски эквивалентно пс(»- ному порядку теории возмущений, но даст больше, чем теория возму! й.
в ах»ых Р 3 Ров (з ., ядро) Для расчетов процессов в электрошвом газе метод Хартри — Фока слсдуст в!риме!вать с Осторожввоствво. Рйв-за дальнОдсйсввувОщ».'пв Овталкивапия Такой в аз был бьв ввеустойчивьв»ьв, по рсальпьвс кулоиовскне сцсгсмы Обычпо ввсйтральввьв (например, В ьвстшвввс — за счст положигсльпых ионов рещстюв). Если нас пе ицтересуьпг эффекты, связанные с кристаллической струвсгурой, мовкно замеивнь Ревпетку Равномерно „Размазанным"' коьвввсввсирувсвщввьв фоном положнтслывого заряда.
Го«да рассеян!!с электрона на этом фовве добавляет в (55.30) член, в точное вц упичтожаюшии эффек~ от рассеяния иа элсктрошюй сфере Ферми (вра ), тзк чт В э Ом случае рз В т~ лз В Х 4 етг»2 е-. = — — — э п»1р- .= -' — — — р и ° ' — (55.31) Р", С,» !»»» !' Р Ь, ° Р»»,— . 2 'Й !' (подставлена фурье-компонента (55.27) куловювского взаимодействия 1'1)»в = 4»те Гвз»с! '1, Легко вычислить обцеплио вв»ерг«по кулоповсжнго газа (при нали'в!»п цсйтралцзувошсго фона протпвополоясцого заряда) и энергию частщвы 4де Г» ,2 б, = — — «~ — ": — — — п; и-, =- — Ф вЂ” — — — —, (55.32) Ь' рз Дрр РРŠ— р2 р Ч рр Рв (55.32') 2в» лг» ~ 2ррр р — рр ЛЕКЦИИ ОО КВАИТОВОИ МЕХАНИКЕ ('лсдует, однако„отметить, по из-за лальиолсйствия злссь п«>ибл иие Хартри Фока не вполне удовлетворктельно, таь как слет „ .
сл» то>цис и~прав~и к эисрп1и осиовното состояния ис мо>""Г бьг!ь Вьнлнд ч, "*''ИЬ! ПО теории возмушсиш! (формальное ес применение ведет к расхол„ Олнмос тхм, а Рсз»льтат, пол»чсиный 6Олсс сложт!Ымп мстопамн нмс 1ССт функция взаимодействия неаналитический характер). До сих пор мы говорили об осповтюм состотппти фс >мл-Систем Поскольк» система здесь построена нз независимых частиц, пр,>с шпе возбуждения состоят в перекосе частиц в более высокие сосгт>я ппя. При )том в ферми-заполиентш создается соответствую!ива пт,!р. Например, обменный процесс, показанный иа рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
