1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Оно означает, что имеет место равенство )1Рц»Р(1»=1Ч'1», эквивалентное соотношению (3.2) н, следовательно, прнводяшее к формуле (3:4), Для дальнейшего надо исследовать другие возможные типы симметрии волновой функции, помимо полной симметрии или антисимметрии, Для этой цели проще всего рассматривать приближенный гамильтониан, который будет также весьма полезен при изучении атомов. Именно, пусть гамильтониан представляется в виде суммы членов, каждый из которых относится к одной отдельной частице, Н~= Но(1)+ Но(2)+ +Но(6).

(3.5) Пусть ф„, ф, и т. д. суть нормированные собственные функции оператора Но, так что Н,'(1) ф,(1) =Е,ф,(1). (3.6) Тогда возможная собственная функция гамильтониана Но будет иметь вид Чг= ф,(1) ф»(2) ... ф (л). (3.7) Эта функция соответствует собственному значению Е = Е,+ Е»+ ... + Е». (3.8) В самом деле, оператор Но(1) коммутирует с функциями от всех координат, кроме координат 1-й частицы. Наряду с функцией (3.7) функция РЧг = ф, (Р1) фо(Р2) . ф» (Рл), (3.9) где Р— произвольная перестановка и чисел 1, ..., и, также является собственной функцией Но, отвечающей тому же самому собственному значению (3.8). (С тем же успехом можно было бы переставлять не аргументы, а сами функции фа и т.

д.). Так как общее число перестановок равно и!, то формула (3.9) дает п1 линейно независимых собственных функций, если только все одночастичные функции т„..., ф» различны. Этн одно» частичные функции иногда называют орбитаяями '). ') Английский термин «огьца!о». — Прим. ред. Гл, д Таисдестеенность частиц и сиинетрин 27 Все л1 функций РЧт оказываются вырожденными. Это явление называется обменным вырождением. Эти функ„ни антисимметричны; составляя линейные комбинации „х, мы можем получить функции более симметричного в„да Однако полностью симметричной и антисимметричной будут только две функции. Остающиеся л! —.2 линейные комбинации должны поэтому обладать меньшей симметрией.

Только в специальном (но важном) случае и = 2 симметричная н антиснмметричная функции действительно исчерпывают все линейно независимые комбинации. Чтобы проиллюстрировать другие возможные типы симметрии, достаточно рассмотреть случай трех частиц с двумя одинаковыми орбнталями. В этом случае мы имеем три функции: Чт=ф,(1) ф.(2)ф.(3), Ч',=ф.(1) ф,(2)ф.(3), (3.10) Ч,= ф. (1) ф„(2) ф,(3). Полностью симметричная нормированная функция 14 (1!+ 12+ 12)' 1 )73 Полностью антисимметричной функции в данном случае не существует. Две другие нормированные линейные комбинации, ортогональные к Ч'„имеют вид Чте = 6 ' (2Ч'! — Ч'2 Чтз) (3.11б) Чт,=2 '('1', — Ч'2). Очевидно, что функция Ч'4 симметрична, а Ч"е анти- симметрична относительно перестановки второй и третьей частиц. Применив к функции Ч'4 перестановку Р,т, мы получим !2 4= 2 4+ 2 1 1'3 (3.12) (аналогично для величины Р!2Чт4 и т.

д.). Итак, функции Ч'4 и Чте очевидным образом связаны друг с другом: перестановки Р,е и Р,е преобразуют каждую нз ннх в их линейные комбинации, Эти перестановки представляются Часть У. Теория строения атома матрицами размерности 2 Х 2 в «подпространстве» функций 'Р4, Ч'ь. Симметричная функция Ч", стоит особняком. Она преобразуется сама в себя при любой перестановке Р, так что в подпространстве Ч', все перестановки представляются матрицами размерности ! Х 1, т. е, просто единицей. Проблему матричного представления перестановок лучше всего исследовать с помощью теории групп. Такое изучение было проведено Вигнером и его сотрудниками в конце двадцатых годов (54]. При этом матричное представление группы перестановок было обобшено иа случай произвольного гамильтониана Н, который уже не разделяется на одночастичные гамнльтонианы (подобно Но), но, конечно, остается симметричным по всем частицам.

В случае симметричного гамильтониана общего вида, описывающего три частицы, для решений, соответствующих двум одинаковым и одному отличному одночастнчным состояниям, получаются два типа собственных функций: первый тип — полностьюсимметричные функции, подобные Ч'„причем такие собственные функции оказываются невырожденными; другой тип— всегда двукратно вырожденные функции, преобразующиеся при перестановках подобно Ч'4 н Ч'ь [см.

(3.12)). Для гамильтониана общего вида дважды вырожденные собственные значения, как правило, отличаются от не- вырожденных, соответствующих полностью симметричным собственным функциям; совпадение этих собственных значений могло бы произойти лишь в силу чистой случайности (в противоположность простому гамильтониану Но), Таким образом, обменное вырождение (кратность которого равна и1) частично снимается при пере ходе от Н, к Н, но некоторое вырождение все же остается.

Этот результат справедлив и в общем случае для любого числа частиц и независимо от того, совпа. дают или нет какие-либо нз одночастичных состояний. Таким образом, с математической точки зрении уравнение Шредингера для п тождественных частиц имеет много решений различной симметрии, н большинство его собственных значений вырождено. Теперь можно привести второй аргумент в пользу того, что физические решения должны быть либо поль Гл. 8 Таасдестаеннасть частиц и симметрия 2.9 пастью симметричны, либо полностью антисимметричны.

Пусть волновая функция вселенной обладает одной из сложных симметрий, которые мы только что рассмотрели применительно к электронам. Это значит, что названная волновая функция будет симметричной по отношению к перестановке местами некоторых пар электронов и антиснмметричной по отношению к перестановке других пар и будет сохранять эту симметрию во времени. рассмотрим два атома гелия, из которых один содержит два электрона с симметричной волновой функцией, а другой — с антисимметричной. Эти два атома будут иметь различные собственные значения энергии, а следовательно, и различные оптические 'спектры.

Таким образом, мы должны были бы находить в природе два различных типа атомов гелия и еще большее разнообразие любых более тяжелых атомов, например атомов углерода. Но мы знаем, что все атомы с данным зарядом ядра одинаковы как с точки зрения химии, так и с точки зрения спектроскопии. Следовательно, в определенном атоме может быть допустима лишь одна симметрия волновой функции электронов, а это означает, что волновая функция вселенной должна обладать одной из простых симметрий, т.

е. быть либо полностью симметричной, либо полностью антисимметричной. Чтобы прийти к этому выводу, нам пришлось апеллировать к опыту. Мы воспользовались простым, давно установленным фактом — тождественностью поведения всех атомов одного и того же химического элемента. Поскольку атомы представляют собой сложные системы, содержащие электроны, из тождественности их физического поведения следует, что симметрия волновой функции по отношению ко всем электронам во вселенной является простой. Какая именно симметрия имеет здесь место, т, е. является ли волновая функпия полностью симметричной или полностью антисимметричной, таким простым путем установить нельзя. Лля ответа па этот вопрос требуется более детальная информация.

Подобные же соображения устанавливают простую симметрию и по отвошению к другим элементарным частицам, например протонам и нейтронам. Часть д Теория строения атома Самметрао сложных систем Ниже будет показано, что частицы, описываемые симметричной волновой функцией, подчиняются статистике Бозе, а частицы, описываемые антисимметричной волновой функцией, — статистике Ферми. Поэтому их обычно называют соответственно бозонами и фермиономи. Рассмотрим теперь прочно связанный сложный объект, вроде атомного ядра.

Тогда имеет смысл вопрос о симметрии волновой функции системы, содержащей много тождественных объектов такого типа, например много ядер Нес. Ответ можно получить, если мысленно представить себе, что перестановка двух сложных систем осуществляется последовательной перестановкой входящих в их состав элементарных частиц. Каждая перестановка фермиоиов меняет знак волновой функции. Следовательно, сложная система будет фермионом тогда и только тогда, когда опа содержит нечетное число фермионов; такая система будет бозоном, если число фермиопов в ней четно.

Число бозонов, содержащихся в сложной системе, не играет роли. Если волновая функция содержит координаты нескольких типов частиц, то определенная симметрия существует лишь по отношению к перестановкам частиц каждого отдельного типа. Построение' симметрвзоеанных волновых Яуннт!нй Подходящим образом симметризованную (ненормированную) волновую функцию для и тождественнь>х частиц можно построить из одного несимметричного решения. Для этой цели, переставляя индексы, получим п! решений и образуем суммы ХЧ)Р(1,2,", )), ~~з„ерЧ')Р(1, 2, ..., и)). (3.14) Здесь суммирование ведется по всем перестановкам, а величина ее= — 1 для нечетных перестановок и е, =+! для четных перестановок. Нечетной перестановкой назы- Гд 3 Тождественность частиц и симметрия 3! вается такая, которую можно получить в результате нечетного числа простых перемен местами пар частиц.

Характеристики

Список файлов книги