1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Б„дио, что выражение (3.13) описывает симметричнуто волновую функцию, а выражение (3.14) — антисимметричную. В случае системы из и тождественных частиц со слабым взаиьюдейстеием между ними гамильтониан Оо, определяемый выражением (3.5), представляет собой хорошее приближение к истинному гамильтониану, а вол и оная фу и кци я (3.7) — хоро|нее прибл нж ение к исти иной собственной функции системы. Поэтому мы можем составить симметричную или антисимметричную волновчю функцию, воспользовавшись соответственно формулами (3.13) и (3.!4). Нормированную знтисимметричную функцию удобно записать в виде детерминанта из и строк и столбцов, так называемого детерминанта Слэтера, Фа (1) Фа (2) ' ' ' Фа (а) Фь(1) Фь(2) " Фь (и) (п)) ' (3.15) Фь(1) Фь(2) ...
Ф„(п) Перемена мест двух координат приведет к перестановке двух столбцов и изменит знак детерминанта. Тем самым будет обеспечена требуемая антисимметрия. Кроме того, перестановка двух состояний, т. е. двух одночастичных функций, пеоеставит местами две строки, ~то также изменит знак детерминанта. Поэтому детерминант обратится в нуль, если две частицы находятся в одинаковом состоянии, т.
е. если две одночастичныс функции совпадают. Это следуе~ также и из хорошо известной теоремы о том, что детерминант с двумя одинаковыми строками должен обрашаться в нуль. Тем самым доказан знаменитый принцип исключенияПаули, который утверждае~, что в данной системе никакие два электрона не могут занимать одно и то же квантовое состояние. Этот принцип был постулнрован Паули в 1924 г. для объяснения периодической таблицы элементов. Часта д Теория строения атояа В квантовой механике он автоматически вытекает из свойства антисимметрии волновой функции. Наоборот, зная о существовании периодической системы, мы должны заключить, что собственная функция электрона должна быть антисимметричной, а не симметричной. Статистическая механика Для системы слабо взаимодействующих частиц нет необходимости записывать волновую функцию в явном виде, как это сделано выше [см.
формулу (3.15)). Достаточно лишь указать, какие одночастичные состояния заняты частицами и сколько частиц приходится на одно состояние. Это — метод статистической механики: задаются «числа заполнения» л, лы ... одночастичных состояний а, Ь, .... Если волновая функция антисимметрична, то возможны лишь значения: п,=О или 1; этот тип статистики впервые был постулирован Ферми и носит его имя, поэтому и частицы, подчиняющиеся такой статистике, называются фермионами. В случае симметричной волновой функции возможны любые значения чисел заполнения; этот факт известен как статистика Бозе (бозоны). Для любого заданного набора чисел заполнения п„лм ... возможна одна и только одна симметричная волновая функция, следовательно, в статистике Бозе все такие наборы имеют одинаковыи статистический вес, равный единице.
Выше уже была названы частицы, которые на опыте оказались фермионами. Заметим теперь, что все они имеют спин Чг. Подобным же образом,все бозоны имеют спин О (я- и К-мезоны) или 1 (фотоны). Паули (50) показал, что релятивистские теории могут быть непрогиворечивы, только если частицы с полуцелым спином являются фермионами, а с целым спином — бозонами.
Экспериментальное определение симметрии Характер симметрии волновой функции приводит к непосредственно наблюдаемым физическим следствиям. Вероятно, наибольшую информацию в этом отношении дает волновая функция пространственного движения Гя. 3, Тождественность частиц и симметрия ЗЗ 12 двух ядер в молекуле из одинаковых ядер, такой, какС2- Легко показать (см., например, [8])„что вращательные состояния такой молекулы могут характеризоваться только четным моментом количества движения 1, если ядра суть бозоны без спина, и только нечетным 1, если я,тра — бесспиновые фермионы (если бы такие объекты существовали).
Наблюдение полос вращательного )г спектра действительно показывает, что молекула Сг имеет только четные вращательные состояния, следовательно, ядро С'2 является бозоном. Что еще важнее, эти наблюдения показывают, что все ядра С'г совершенно тождественны. Те же наблюдения можно провести, наа пример, с молекулами типа Нг, в составе которых есть два радиоактивных ядра НБ. Опыт показывает, что все ядра Н' тождественны, поскольку вращательный спектр Нгг как раз такой, какого следует ожидать для фермионов со спином Ъ Если бы ядра не были тождественны, то волновая функция была бы асимметрична по их координатам и все значения вращательных квантовых чисел были бы равновероятны, Далее, ядро На радиоактивно и распадается на ядро Нег и р--частицу с периодом полураспада 12 лет.
При этом два ядра Н' в молекуле Нг распадутся, вообще говоря, в различные мо- Б менты времени. И тем не менее прямой опыт показывает, что эти ядра тождественны; таким образом, не существует «скрытых переменных» ядра, которые указывают, когда именно ядро распадется. Если бы такие переменные существовали, то даже при условии, что они неоказывают никакого влияния на энергию и динамику си. стемы, они все же проявлялись бы в симметрии волновой функции. Квантовая механика действительно дает нам особый прием для установления тождественности частиц, не сводящийся просто к констатации факта от сутствия наблюдаемых различий между ними.
В последние 1О лет предпринимались попытки заменить вероятностные предсказания квантовой механики -р-..р„„, . ).йр,ю „., (Б,р Брн ), ') Кан обычно в таких случаях, под «строгой причинностью» автор понимает чисто «мсханичесиуи) причинностью — Прирс ред. 3 Г. Вере Часть /. теорию строению атома что существуют скрытые переменные, в терминах которых может быть проведено такое «причинное» описание. Эти переменные являются «скрытыми» в том смысле, что они не влияют на собственные значения энергии системы, Существование тождественных частлц и сложных систем показывает, однако, что такие скрытые переменные не могут привести к каким-либо наблюдаемым следствиям (как в только что рассмотренном примере) н потому являются бессодержательными. Это убеждает нас в том, что существующее описание должно быть полным. Тот факт, что для описания возможных состояний не нужно вводить никаких дополнительных квантовых чисел, особенно ясно виден в случае электронов.
Если бы существовали какие-то неучтенные нами степени свободы, то следовало бы ожидать, что в природе можно найти электроны, описываемые различными значениями этих скрытых переменных. Иными словами, наблюдаемая степень вырождения электронных состояний была бы больше, чем предсказываемая на основании существующей теории. Блестящий успех в объяснении периодической системы элементов в рамках существующей теории показывает, однако, что это не так, т.
е. никаких дополнительных степеней свободы не существует. Другим применением симметрии волновой функции вращательного движения двухатомной молекулы из одинаковых атомов было определение статистики ядер, входящих в ее состав. В частности, Разетти [91 нашел, что ядро Хы подчиняется статистике Бозе.
Это помогло опровергнуть гипотезу «ядерных электронов», которая утверждала, что ядро Хы состоит из 14 протонов и 7 электронов (при этом оно должно было бы подчиняться статистике Ферми [8[), Симметрия волновой функции играет большую роль в статистической механике, Так, статистика Ферми для электронов играет решающую роль для понимания поведения металлов. Бозе-статистика атомов Не' (4 ну. клона и 2 электрона) приводит к особым свойствам «жидкого Не'» (гелия 11) при низких температурах (сверхтекучесть). Атом Не' представляет собой фермнон, и соответственно жидкий Не' ведет себя иначе. Тя. д Тождественность частиц и симметиия Зд 7(ллеслчестсий иредел рассмотрим теперь повеление системы тождественных частиц в предельном случае классической механики. Единственный способ различить классические тождественные частицы состоит в том, чтобы проследить за нх траекториями, которые, конечно, четко определены.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
