1612725062-7f87cc1ea06ed266755c450eec6fa717 (828999), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Легко проверить, что они удовлетворяют следующим соотношениям: ого =/оа (//й любая циклическая перестановка хуя), (2,1!) отоу + оуот —— 2беу. Гя. 2, Интегралы двиигения Для двух (или более) моментов количества движения мы можем составить оператор ) = Я, + )е [й, .Я = [йг + йг, ./ге + зее ! = И,/, + +[Рг, А„[+[А„, йзе[. (2.12) 5 а,а, = [~2 а [ з = 1, гп, = 0) = =й [Р,а,+а,бе[, 1 [а=1, лг,=О) ==[а,йз+ Р,а,[.
г'2 (2. 13) Четвертую собственную функцию можно найти, заметив, что единствснная нормированная линейная комбинация а~бе и !)~аг, ортогональная к выражению (2.13), имеет антисимметричный вид [а=О, гп =0) = [а рг — ране!. (2.14) 1 1'2 Следовательно, если все компоненты 1~ и )г коммутируют, то ) вновь оказывается оператором момента количества движения. Поскольку спиновые операторы двух электронов коммутируют, то 8 = 8, + Яг опять будет спиновым оператором.
Четыре ортонормированные спиновые функции для пары электронов можно выбрать в виде а,сгь Р,[)г, а~[)г, [)~аь В этих произведениях спиновых функций 5| действует только на перву1о спиновую функцию, а Ьг — только на вторую. Указанные четыре спиновые функции отвечают соответственно следуюшим значениям т,; 1, — 1, О, О. Так как оператор 8 описывает момент количества движения, то можно найти представление, в нотором матрицы 5, и 5е диагональны. Легко проверить, что произведения а,аь р1рг суть собственные функции 5'.
Чтобы построить остальные собственные функции из произведений аде и аг[1ь заметим, что функция а,ае симметрична и отвечает значениям в =- 1, лг, = 1. Поэтому, применив к ней понижаюший оператор 5, мы получим волновую функцию, отвечаюшую в = 1, п4 = 0; получаюшаяся таким путем волновая функция также будет симметричной. В явном виде мы имеем Часть !. Теория строения атома Таблица ! (о,ае) 1 = [(о~ре) -[- (Р аей (РА) 1 )' 2 = [(а, Ре) — (1),ае)) 2ла Строго говоря, такие суммы, как Л = 3~ + [я, и такие произведения как и,иь надо интерпретировать следующим образом.
Выражения )~ и )и оч и ая определены в двух различных векторных пространствах [!~ и Сумма ) и векторы, иа которые этот оператор действует, определены в произведении пространств (т~ Ои [ть Поэтому сумму )~ + )е следует рассматривать как сокращенное выражение для )1 ® ! + ! бгт Зт, а аихг есть, строго говоря, а, ® аь Тогда получается, что )1 действует только на ось а )е — только на сея. Например, скалярное произведение двух таких векторов равно а,а р1р,=(а, р,)(а, р,). (2.15) В табл, ! записаны четыре базисных вектора диагонального представления 5Я и Я„а также собственные значения 5', полный спин з и полная г-компоиента т,.
Первые три состояния, отвечающие з = 1, описываются симметричными спиновыми функциями и называются триплетом. Последнее сосгояние, соответствующее я=О, описывается антисимметричной функцией и называется сииглетом, (При сложении двух равных, отличных от нуля моментов количества движения ) = Л,+За собственные функции операторов Тт и У, всегда будут либо симметричны, либо аитисиммегричны. Лля суммы произвольных моментов количества движения это, вообще говоря, уже не обязательно.) ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ И СИййМЕТРИЯ Гамильтониан системы из л тождественных частиц, т. е.
частиц, которые можно заменять друг на друга без каких-либо физических изменений, должен быть совершенно симметричен относительно любой перестановки своих аргументов. Обозначим через Ч'(1, 2, ...,1,...,п) любое решение уравнения Шредингера, зависящее от пространственных и спиновых координат п тождественных частиц (нумеруемых числами 1, ..., п).
Пусть Р есть любая перестановка и чисел от ! до л. Тогда функция РЧ'(1, ..., п)=Чг(Р1, Р2, ..., Рл) зависит от координат частицы Р( точно так же, как первоначальная функция Ч" зависела от координат частицы б Оператор Р коммутнрует с гамильтоннаном (3.1) Поэтому, если Ч' есть решение уравнения Шредингера, то и РЧг также будет некоторым решением (оно принадлежит тому же собственному значению, что и Ч', если решение стационарно).
Всего таким путем мы получим и) волновых функций, так как существует л! различных перестановок а объектов. Некоторые нз этих функций могут быть (и обычно являются) линейными комбинациями остальных, но, как правило, таким путем мы найдем и несколько линейно независимых решений. Таким образом, в случае гамнльтониана, симметричного по п частицам, большинство собственных значений будет вырождено.
Это явление, называемое обменным вырождением, будет более подробно рассмотрено ниже. Некоторые собственные значения гамильтониана И будут невырождены. Для таких собственных значений Функции РЧ' и Ч' отличаются друг от друга лишь множителем, так как, по условию, данному собственному Часть /. Теория строения атома значению не могут отвечать две линейно независимые функции.
Кроме того, поскольку функции РЧт н Ч' оди- наково нормированы, РЧт е!а Чт (3.2) где сс — вещественная величина. Рассмотрим теперь простейшую перестановку Рчь меняющую местами (-ю и 1-ю частицы, РЧЧт(1, ..., с, ..., у, ..., п) = = Ч'(1, ..., т', ..., с, ..., п). (3.3) Применяя эту перестановку двагкды, мы возвращаемся к исходной функции, поэтому с учетом формулы (3.2) мы получаем е"' 1 и, следовательно, РптР= + Ч'. (ЗА) Установленный многими наблюдениями экспериментальный факт состоит в том, что все фактически существующие в физике волновые функции удовлетворяют соотношению (3.4) либо со знаком плюс, либо со знаком минус. Иными словами, из огромного числа математических решений уравнения НЧ"=ЕЧ" природа отбирает только невырожденные. Свойства невырогкденных решений зависят от того, какой знак выбран в формуле (3.4); знак плюс приводит к волновой функции, симметричной по всем частицам, знак минус соответствует антисимметричной волновой функции.
Выбор той илн иной симметрии зависит от типа рассматриваемых тождественных частиц: опыт показывает, что волновая функция Ч' антисимметрична для электронов, протонов, нейтронов, р-мезонов, гиперонов и симметрична для п-мезонов, К-мезонов и фотонов. В состав системы может входить и несколько типов частиц, например протоны, нейтроны и и-мезоны. В таком случае ее волновая функция изменит знак, если мы переставим координаты любых двух протонов нли любых двух нейтронов, но она останется неизменной, если мы переставим два и-мезона; наконец, если мы переставим координаты двух частиц различного типа, например протона Гл.
8 Тсисдестееииость частиц и симметрии 2а нейтрона, то результирующая волновая функция не будет, вообще говоря, простым образом связана с исходной. доводы в пользу простой самметрип Как мы уже указывали, определенная симметрия вол. новой функции, например антиснмметрия по координатам всех электронов системы, не вытекает из симметрии гамильтониана, а является дополнительным требованием, отбирающим физически различные решения среди намного большего числа математически возможных решений уравнения Шредингера. Приведем теперь некоторые соображения в пользу именно такой «простой» симметрии физических решений. Если волновая функция обладает какой-либо симметрией в начальный момент, то она будет обладать той же симметрией и во все последующие моменты времени, Это немедленно следует из того факта, что оператор Рм коммутирует с гамильтонианом Н; оператор Рм поэтому не зависит от времени н представляется матрицей, не зависящей от времени.
Это означает, что выражение НЧ' имеет ту же симметрию по отношению к любой перестановке Р, что и сама волновая функция Ч', следовательно, производная дЧт/дс имеет такую же симметрию, и, интегрируя уравнение Шредингера по последовательным малым интервалам времени, мы видим, что функция тр сохраняет во времени свою начальную симметрию. (Это рассуждение применимо также и к вырожденным решениям, симметрия которых, как показано ниже, может быть сложной.) Таким образом, если «вначале» волновая функция вселенной была антиснмметрична по всем электронам, она останется таковой и во все времена. (Вышеизложенное не является доводом в пользу простой симметрии. Показано лишь, что утверждения, касающиеся симметрии, имеют разумный смысл.) Прежде всего постулируем, что все физические свойства, определяемые волновой функцией системы, не меняются при перестановке двух тождественных частиц: Такое понимание термина «тождественность» имеет Часть А Теория строения атома точный смысл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
