1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Ь) включает начало координат х= О. Подставив ч — чь„=х, мы получим верошяаосиь аерехода в еда~ищу времеаа: Р з Иш "Т Р ~(Ф) = 1 с-в - .Ип1 -т:- ~ ~Н' (х+ч )~~р(х+ч )( — "~~ ах, -чьз и так как чь„) О, то Р --Г1Н (ч.-)Гр(". ). Если теперь определить р(Е) таким образом, что р(Е~6Е р(Е) йдч= р(ч)йч, откуда р(Е)- —, (ч), 1 то мы получим Р„„— ~Н' (зр(Е). Это и есть формула, приведенная в тексте (гл. Ч, $7). Она показывает, что прн принятых предположениях вероятность перехода в единицу времени определяегся велкчннамн матричного злемента возмущения н плотности, взятой для частот переходов системы с непрерывным спектром.
Применение етого вывода к случаю излучения атомом мы рассмотрим в приложении 28. Ж Квааазовая гаеорая азяуиеаая Метод; который мы здесь применим к проблеме излучения атомной системой, фактически отличается большой общностью. Он может быть применен не только к другим случаям взаимодействия между атомами н злектромагннтным полем (поглощение, рассеяние), но и к любому взаимодействию частиц с полямн, например иуклона с мезониым полем Юкавы. Метод состоит в разложении поля на нормальные колебания, которые для достаточно больших объемов представляют собой практически плоские волны. Можно показать, что амплитуды зтнх волн ведут себя подобно гармоническим осцилляторам и поддаются квантовомеханической трактовке.
Тогда взаимодействие атома с таким набором осцилляторов, представляющим поле, может йрилоасеаия быть описано с помощью квантовомеханнческих вероятнестей переходов. Сначала мы рассмотрим свободное излучение в отсутствие атомной системы. Точный математический анализ электромаг- нитных колебаний, происходящих в очень большом объеме, по- казывает, что на больших расстояниях от границы решение практически не зависит от формы граничной поверхности и мо- жет быть приближенно представлено в виде суперпозиция пло- ских стоячих волн. Выпишем явно одну из них, именно ту, у ко- торой вектор-потенциал А колеблется в х-направлении, тогда как сама волна распространяется в направленин оси х: А„~у(Ф)~~2соа(йг+Ь), А„=О, А,=О.
йс=а=2пт. Пространствениая нормировка выбрана здесь так, что интег- рал от квадрата А» по единичному объему равен единице ~ 2созт(йя+Ь)ФУ=1, о) а фаза Ь зависит от совершенно случайного расположения начала координат относительно удаленной поверхности. Ве- личина у(Ф) удовлетворяет уравнению д+ету=О, поэтому ее можно рассматрнвать как амплитуду осциллятора частоты т=а/2и. Нацряжениостн электрического н магнитного полей находятся из уравнений Š— -А, Н=го1А, 1 е причем единственные неисчезающие компоненты нх суть Е„= — — )Яд соз(йз+Ь) 1 н Ну = в у~2 д 81п(ля+Ь). Полную электромагнитную энергию в объеме У можно без труда выразить через д и д, змеино и= —,' ~(Е + Н„)г(и= ", ' М*+ ы,Р). Это совпадает с энергией гармонического осциллятора, частота которого ч=е/2и и масса У и1 -ас-ц р зв.
и э сс Теперь к осциллятору можно применить квантовомеханическне методы; он обладает рядом стационарных состояний и О, !, 2, ... с энергиямн Ьт(л+'/з). Очевидно, что и можно интерпретировать как число фотонов Ьт, связанных с волной; но даже состояние без фотонов, л=О. соответствует волне с неисчезающей нулевой энергией Ьт/2. Если мы рассмотрнм теперь подобные волны с разлячнымн частотамн и распространяющиеся в различных направлениях. то окажется, что онн не ннтерферируют (нет перекрестных членов в интеграле энергнн) н что их энергии просто складываются (благодаря нормировке пространственной части волновой функцнн). Следователъно, электромагнитное поле динамически соответствует смеси независимых фотонов, летящих со скоростью света.
Рассмотрнм теперь расположенную н начале координат атомную снстему, взаимодействующую с электромагнитнымполем. Пусть скорость одного электрона равна е (если имеется несколько электронов, то следует просто просуммировать по всем электронам), и предположим, что линейные размеры атомной системы пренебрежнмо малы но сравнению с длиной волны А=йл~й. Тогда энергия взаимодействия будет равна (приложение 24) Н'= — -и А(0)= — — и А (О)= — -о у3~2созЬ с с в с с ' ' с Теперь применим теорию переходов, изложенную в црпложении 27.
Для этого мы должны образовать матричный элемент между начальным и конечным. состояниями; Н; = — — Ч2(о,д)сгсозЬ= — с )/2о 4„„.созЬ, где а н Ь означают два состояния атомной системы, а п и л'— два состояния осциллятора д, представляющего излучение. Далее, ось=х ь сьсьхсь> где Ьа ь 2л(Ес — Еь), а хсь есть матричный элемент координаты электрона. Следователъно, Щ' = — ф3/Ъ х, 4'„„сон Ь.
Применим это к случаю испускания излучения, предположив, что начальное состояние 1 атома есть возбужденное состояние а, причем фотоны отсутствуют (все и 0), а конечное состояние 1". атома есть его основное состояние, причем присутствует несколъко фотоноЪ, или, что то же самое, один из осцилляторов, представляющих излученне, возбужден. Но так как матричные элементы а,„, осциллятора всегда равны нулю, за исключением тех, у которых л' л~1, в нашем случае нужно рассмотреть только матрнчный элемент дм, соответствующий испусканию одного фотона.
В приложенин 15 мы нашли, что А ЙФ ! Ч О 1 ! 4~иве Уе ' где использовано полученное выше значение т. Прежде чем подставить это в выражение для Нц вспомним, что для любого направления распространения имеются два перйендикулярных к нему направления поляризации; в нашем случае волна двнжется вдоль оси з, так что должны происходить х- и у-колебания Следовательно, мы получаем ! Н~г ! ~ = -р- им~ (! «м | ~+ | р в ! ~) -р- сов~ Ь.
Для вычисления вероятности перехода в единицу времени это выражение следует умножить на 4тРр(т~ь) РР, где р(т) означает плотность колебаний в интервале частот. Вероятность перехода в единицу времени теперь равна 4яз, ~дР Р,~ — — — «г- ! Н |з р = ц,, Ф ( ! «„|з-+ | у, |з) созз Ь. Так как положение атома (начало координат) произвольно, мы должны провести усреднение по всем фазам Ь; тогда множитель созтб становится равным 'Й.
Лалее, мы должны усредннть по всем ориентациям атома н, следовательно, заменить «,ь!'+ |у,ъ!' на Цз|гаь!', где г есть радиус-вектор электрона. - После этого- интенсивность излуления испускаемого в секунду, можно получить; умножив найденйое выражение на Ьо,ъ йзъ,ь!йп: = к ~а и4э! гщ ! . что совпадает с формулой, выведенной нз соображений, опиравшихся на принцип соответствн» (гл. У, и 7). Если предположить, что в началъном состоянии прпсутствует излучение, содержащее и фотонов определенного сорта (направленая, частоты), то выражение для Нюг будет иным: оно бу.
дет содержать матричный элемент дч, +~. Но формулы приложения 15 указывают, что !Ч . |*=(и+1)|у.!'. следовательно, первоначальное выражение для Нц оказывается умноженным на и+1, или, другими словами, кроме спонтанного излучения, вычисленного выше, имеется вынужденное излучение, пропорциональное а, т. е. интенспвиости присутствующего (вынуждающего) излучения. Ж Квантовое теорие иааревеое Случай поглощения можно получить, рассмотрев начальное состояние т', в котором атом находится на низшем энергетическом уровне Ь н присутствуют и квантов, и конечное состояняе 1, в котором атом находится на более высоком уровне а, ноприсутствуют только л — 1 квантов.
Соответственно нужно рас- Ф СМОтрЕтЬ МатрИЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ Ие, -т=йе-Ь е. Н МЫ ПОЛуЧНМ ! )е..-аГ=Л!М'. Подстановка этого выражения в вероятность перехода вместо ~йа1~т сразу дает коэффициент поглощения. Мы не будем приводить его точное выражение, но рассмотрим случай теплового равновесия между излучением и атомамн, когда в среднем происходит одинаковое число актов испускания и актов поглощения. Пусть и р<М вЂ” число волн в малом интервале частот бт, а й=Ха — полное число фотонов в бе; тогда, согласно только что полученным результатам, отношение полных чисел актов испускания н актов поглощения в интервале Ич равно (й+л): и.
Если Ме и Фа — число атомов в состояниях а и Ь соответственно, то условие статистического равновесия имеет. очевидно, внд М (та+ й) =Жаа, откуда лФа Исппльзуем теперь основной закон статистической механики, называемый теоремой Болъцмана (гл. 1, 5 6), устанавливающий, что в статистическом равновесии -л аг Фе в -ат ~аг Иа в -айаг где Т означает абсолютную температуру, а й есть постоянная Больцмана. Отсюда видно, что среднее число и световых квантов данной частоты ч, которые могут быть яспущены ялн поглощены атомами йфи температуре Т, равно л= В= а )аг 1 Если предположить существование атомных систем со столь болъшнм числом уровней энергнн, что присутствуют практически все частоты е, то формула будет представлять усредненное распределение фотонов, находящихся в тепловом равновесия с веществом.
Энергия излучения и,бч в интервале частот нлн Е(Я) = ч-Я(Я вЂ” 1)-у . з 4' Разннца в электростатической энергын между ядром (Е+ 1, А) ы его „зеркальным ядром' (Е, А) равна поэтому И~ =Е(2+1) — Е(о) =-гХ вЂ”. 30. Твараа а-распада Пусть а-частица ыспускается ядром с атомным номером Е ы, следовательно, находится в поле остаточного ядра 2-2, нмеюшего потенциал У(г). На большых расстояныях этот потенциал — кулоновскпй, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
