1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Каждый коэффициент с„разложения определяет вес, с которым данное квантовое состояние л появляется в общем состоянии ф. Вероятность получить собственное значение а„при измерении выражается формулой и>„=) с,~э. Если принять, что ~ ~~р~эсйу=1, то будет ~~~„'э„= ~~Р~ ~с,~э = 1. СРэдкэв эяэынпэ, или олпздаелое ммиэнаэ, величины, представленной оператором А, в состоянии ф равно А = ~ р'(Ащ) бд ~ ~р' ~~~~ с,АЧ>, йу =,~~, ~с„1'а„=,~',~ ~в а ° Теперь мы можем определить полную скорость изменения во времени ФАдй оператора А как оператор, среднее от которого для любого из решений зависящего от времени уравнения Шредингера тождественно совпадает с производной по времени от среднего значения оператора А по той же функции Тогда — ~ ф'(Аф)Ид = ) ~ — (Аф)+Чг(-~ф)-+ф'(А ф) ~Фд. Здесь предполагается, что А, будучи функцией у, и р,= (й/2М)(д/ду,), может и явно зависеть от времени„причем 4А/дд как раз и есть соответствующая частная производная.
Поскольку ф удовлетворяет волновому уравнению, а сопряженному уравнению. то дз Ы дз Ы ЗГ= а НФ дГ= л (Нч) поэтому -д- — — ) ~ — (Нф)'(А$)+ ф'~-~ ф) — —,ф'А(Н$)~сКд. Но так как оператор Н вЂ” самосопряженный (вещественный оператор), то первый-член- нод интегралом можнозепнсатьв виде (2ж)й)(Н'гр) Аф'и, согласно определению сопряжения, заменить выражением (2ж/Ь)ф~Н(Аф). Понимая, что все операторы действуют только на функции, записанные справа от пик, мы можем опустить скобки. Тогда и~ =1ф ( й '+~' (НА — АН)1РМ. Приравнивая зто выражение дГ = ) 'т' дГ 4''й7 дА ° аА мы найдем, что — = — +. — (НА — АН).
дА дА 2яГ дГ дФ Ь Если А не зависит от времени явно, то — = — (НА — АН). ИА зяб а а лд. Формализм ««а«го«од лм«««и«и В частности, это справедливо, когда вместо А стоит р«или о„. Далее, можно показать, что для любой функции Р(р, д), которая может зависеть я от г, имеют место равенства а дР а дл Рд.
— (Р =-пг-~ — ° Рр. — Р.Р- —.ч=-, ~-. Это, очевидно, справедливо, когда вместо'Р стоит р, или д„; далее, в предположении, что этн равенства верны для некоторых функций Р~ и Рз переменных р, а, можно непосредственно убедиться, что это будет также справедливо и для Р,+Рз и Р~. Р1 а следовательно, и для всех полиномов и всех функций, которые можно представить бесконечными полиномами (рядами), т. е., практически говоря, справедливо для всех функций. Комбинируя только что полученные результаты, в применении к случаю, когда Р и, а А равно одному из д„и р„, получаем дда дН и; = а (Нд.
— Ч.н) = -33- дН 4т а (Ри Р~11 "3 Итак, канонические уравнения являются следствием зависящего от времени уравнения Шредингера, причем, как нетрудно убедиться, обратив рассуждения, справедливо и обратное утверждение. Чтобы выяснить смысл этих уравнений на матричном языке, обратим внимание сначала на тот факт, что можно менять порядок дифференцирования по времени и взятия матричных элементов. Итак, возьмем ф=аф„+Ьф„„где ф н фм — две функции из ортонормированной системы, а а и Ь вЂ” вещественные илн комплексные постоянные, удовлетворяющие равенству !а!'+!Ь!«=1, так что ~ (ф'а~у=1.
Тогда А =~(аф.+К47А(а~„-)-Ьф )йд= ~а РА„«+аЬ'А „+а'ЬА,„-(-~Ь|'А„ и точно так же Я-! )'( — ",",), + Ь'( — '„) + 'Ь(-® +)Ь) ( — "„",) Согласно определению ИА/Ю, производная по времени от первого выражения равна второму; но то же самое верно для первого и последнего членов двух сумм соответственно — чле- Ирилозсвныя нов, представляющих собой средние по состояниям ф и ф .
Поэтому мы имеем и уравнение, сопряженное этому. С другой стороны. если Н не зависит от времени явно; а Е„ есть одно из его собственных значений, то в матричном представлении Н имеет диагональный вид Н„ Е„б ; поэтому '(НА АН)ав = ~~~> (ЕаблэА~т АаьЕьЬ~~ = = (Е, — Е„,) А„йт А„. Комбинируя последние два результата, находим — = — (НА — АН) = 2пу А еАщв зи и Это дифференциальное уравнение для матричных элемектов; его решение имеет вид ьси ю Азв о е е йч,ьз = Еэ — Ед,е где а,ь — постоянные. Такам образом, мы получаем обычную формулировку матричной механики (Гейаенберг, Борн н Иордан„(925 г.), в которой предполагалось, что матричные элементы периодичны во времени, причем периоды удовлетворяют комбинационному принципу Рйтца (гл.
ч', $ 3). Ж. Общее-домазапьвльсмво соолэмопзвмнд мвомрв деле ммоспаей Приведенный в гл. 1У, 5 7 вывод соотношения неопределенностей, исходя из явлений дифракции и других наглядно представляемых процессов, приводит к результату, определяющему лишь порядок величин. Для получения точного неравенства мы должны призвать на помощь общий формалязм квантовой механики, изложенный в приложении 26. Для любого оператора А среднее значение произведения АА+ всегда неотрицательно; действительно, по определению А" ХГ+= ~ ~р'(АА+~р)йр= ) ф'А(А+~р)Фу= = ~ (А+<р)'(А+<р) сну = ~~ А+р~'ейск ~'О. 'Теперь мы можем вывести неравенства, относящиеся к средним значениям двух вещественных операторов А и .В.— неравенства, приводящие к соотношению неопределенностей Гейзенберга.
М. Общев дэяаэатальетэо соогноиияия неоаределеимостай 44В Из определения А+ следует после умножения на 4, что ~ у' (4А+Ф) йу — ~ (4А+ щ) чр сну, т. е. что (4А)+= — 8А+. В более общем случае мы также имеем (А+ 4В)+ = А+ — !В+. Если операторы А и  — вещественные, а 3 — вещественное число, то или < -~- Н МЯ=Р-~-ВМ вЂ” 3~33:эхр>0. Отсюда следует, что среднее коммутатора А — ВА есть, чисто мнимая величина.
Минимум последнего выражении достигается, когда 4 .ЛЗ Вл у и равен -,(э+1 Рв — У~~~ >0 4 3Г Поэтому ж. З > —,'( И=ВА~. Заменим теперь А и В соответственно на ЬА А — Я и ЬВ= — В; тогда ЬА Ь — ЬВ ЬА = А — А — АВ-~- АЙ вЂ” ВА + -+ ВА-+ ВА — ВА А — ВА так что предыдущее уравнение дает Яьр.~ай> — ' ~в Если р и и есть сопряженные операторы (импульс н координата), то а ,рт фя '$~ ° и, следовательно, (зуда>- у;.
Для средних квадратичных отклонений й~ = У Йм7 м = 1~(м7,. Мы имеем поэтому Знак равенства достигается только для одного определенного распределения (собственной функции), а именно для гауссовой функции ошибок; это распределение реализуется в случае линейного осцнллятора (см. прнложение 12, приложение 16 н приложение 39). Ж. Вероапвкоспзп вервходи В квантовой механике замкнутая система обладает определенными стационарными состояниями, в которых она остается бесконечно долгое время. Физический процесс перехода нз одного такого состояния в другое может быть вызван только взаимодействием системы с некоторой другой системой; даже возможность наблюдения системы завясит от подобного взаимодействия (скажем, с электромагннтным полем, переносящим световые волны нлн фотоны к наблюдателю).
Взаимодействие должно быть слабым, с тем чтобы мы могли описать эффект связы между двумя снстемамн как малое возмущение, выражаемое через величины, относящиеся к невозмущеиным системам. Рассмотрим такое возмущенне-взаимодействие, опираясь на уравненне Шредингера. Обозначим незозмущенный гамильтониан несвязанных систем через РР (обычно сумма двух или более гамильтоннанов, каждый из которых соответствует одной системе),.
а энергню взаимодействия — через-Н'.— Пусть Е и ф„(о) — энергия й нормированные собственнме функции невозмущениой системы; тогда О Фл =Вафа. Зависящее от времени уравнение Шредингера для возмущенной (взанмодействующей) снстемы имеет внд (гл. Ч, $4) мы предполагаем выразить его решенне через невозмущенные функцин ф». С этой целью нопользуем метод варнацнн постоянной, разлагая функцню ф в ряд внда зис ф(д, Ф) =,~р~а„(Ф) е ~ ф,(ф) н пытаясь так определнть коэффицненты а„Щ; чтобы суперпознцня функцнй ф„удовлетворяла уравненню Шредингера для ф, Зг.
Вероятности зелезздз Непосредственно видно, что действие операторов Н~ и (Й/Ьи) (д/дг) на произведение ф, (и) ехр $( — АМ/Ь) Е,С1 дает одинаковые по величине н противоположные по знаку результаты; следовательно, наше уравнение сведется к уравкенню е з " ~а„Н'Я„.+-2~у-уаф„) О.
л Если умножить зто уравнение на сопряженную функцию Ф н проинтегрировать по у, мы получим в силу условия ортогоиальностн йя$ Фф! где является матричным злементом оператора И (приложение 26) Умножив зто на ехр [(2яфй)Е г1 н введя частоты перехода Вм — Вз т „ мы получим т. е, систему линейных дифференциальных уравнений для а„(1) с нзвестнымн зависящими от времени козффнцне~тамн. Предположим теперь, что первоначально система находилась в невозмущенном состоянии Еы фы так что прн 1 0 выражение для ф(ч, ~) должно сводиться к фь(д).
Следовательно, должны равняться нулю все а (0), за исключением аь(0), равного единице, иначе говоря, ( 1 для а=В, а,(0)=б„з — 1 0 ля п чь й. Так как мы полагаем Н' малым возмущением, приближенное решение можно получить, подставив в сумму в дифференциальном уравнении зтн начальные величины; тогда мы придем к уравнению которое уже можно непосредственно проинтегрировать с соблю- дением начальных условий ЖМч„«! а„= — „О' -ل— —.
Согласно приложению 25, квадрат модуля этого выражения ра- вен вероятности найти систему в т-м невозмущенном состоянии в момент Ф, если известно, что она нахадилась в состоянии й прн г 0; это и есть вероятность перехода р а(1): Р ®=ф)'~Н' ~'("".",~)' Она симметрична яо двум состояниям и, й, так как Н' — веще- Р В Ф ственный оператор, Н'+ Н', а поэтому 1Н «Т=Н «Н « =Н юН«в Эта вероятность периодически меняется со време- нем, поэтому такие переходы вряд ли можно наблюдать у атом- ных систем (высокие частоты).
Однако положение вещей совершенно меняется, если уров- ни энергии невозмущенной системы расположены настолько тесно, что нх можно считать распределеииымн непрерывно, В качестве примера рассмотрим случай, когда сястема с дн- скретяымн уровнями энергии связана с другой, энергия кото- рой непрерывна; в частности, рассмотрим переход из состоя- ния А, в котором только первая система возбуждена, а вторая нет, в состояние т, в котором первая система обладает мень- шей энергией, Е,„<Е«, ио некоторая энергия Е передана второй системе. -Тогда ч «нужна-заманить- на ч„ь+» ч —.ям„,.где ч Е/й и я««,>0.
Теперь матричный элемент Н' зависит не только от состоя- ний ш н й, но н от энергии Е, переданной в непрерывную об- ласть, илн от ч Е~й; соответственно следует писать Н «Я. Если подставить все это в р «(1) н умножить на функцию плотности конечных состояний р(ч), мы получим полную ве- роятность переходов во все низшие состояния как интеграл по ИЕ=Мм: ~ <«-щ~ш~и ~-"'-.9:-чЛ«)' ()~ о Теперь можно положить 8 болъшнм по сравнению со всеми атом- ными периодами (ч — ч«„) н найти предел Р «(1) при Ф-~«э, используя язвестную формулу Нш — ) ~(л)( — ) Их=((0), справедливую, если интеграл (а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
