1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 87
Текст из файла (страница 87)
2О е Далее легко видеть, что при отражении волнового пакета, падающего на движущееся зеркало, в том же отношении меняется интенсивность излучения; энергия излучения, падающего на поверхность А всего зеркала за время е(1, равна 1Ае/Г, а энергия отраженного равна 1'АеИ. Разность должна равняться работе, проделанной давлением излучения Р при движении зеркала, т. е. РАтИ; но, как показано выше, Р (21/с) соей. Таким образом, мы получаем Р -1() — —, соей). Теперь мы применим термодинамику не ко всему излучению.
а к определенному узкому интервалу длин волн. Здесь следует отметить, что всякий раз, когда совершается связанная с перемещением отражающего поршня работа, излучение будет смещаться в другую область частот согласно формуле Допплера. Это смещение никоим Образом не исчезает, когда движение зеркала становится бесконечно медленным. Чтобы убедиться в этом, вообразим себе замкнутый объем, полностью окруе женный отражающими стенками, так что отдельный пучок лучей будет двигаться в этом объеме зигзагообразно, все время встречая стенки. Если скорость поршня уменьшится вдвое, то удвоится число отражений от него за время, соответствующее данному полному перемещению поршня, так что полное допплеровское смещение стремится к конечному пределу при о О.
Вычислим теперь 7пейч — полное изменение энергии равновесного излучения в интервале частот (т, ч+дч) за время еИ, возникающее при отражении от зеркала, движущегося со скоростью и. Прежде всего все принадлежавшие этой области спектра компоненты излучения, падающего на зеркало, удаляются из рассматриваемой области благодаря эффекту Допплера. С другой стороны, все компоненты излучения, принадле- 88. Засов Ст»4аиа — Боаочааиа и саиои саса1сиии Виза а61 жавшне перед отражением к интервалу (»', »'+сЬ'), попадут теперь в рассматриваемую область, если»'=»(1+ (2з/с)соз 91. Количество энергии из интервала частот (ч, »+сЬ), падающее за секунду из телесного угла сйз на поверхность зеркала А, равно ЬЕ=н» ~- Асоз9Мс1ай». Энергию, попавшую при отражении в интервал частот (», с1») мы получаем после: 1) умножения иа множитель(1 — (2е~с) соз 91' 2) замены сЬ на аЪ'=сст[1+.(2е/с)соз9) и 3) разложения в ряд ди» о и ° п»п+ьчс»»ве1=н».+т д» 2 —,соз9-+ °...
Однако произведение первых двух множителей отличается от И» только членом второго порядка по е/с, которым можно пренебречь. Таким образом, для.энергии,.попавшей при отражении в интервал (», сМ), мы получим ( ди„о 1 с и».+т-9»"- 2 —, соз 9! —,„А соз 9 аЧ аЪ с Ь, и, следовательно, приращение энергии пучка в результате отражения равно т-о„— ~~- Ы/ бчсозс 9 йа, ди» 1 поскольку Азаг Фй.
Проинтегрировав по полусфере, а для нее ~ соз'9сйи =-9-, 2и мы получим полное приращение энергии, обусловленное отражением, Ф(н У)сЬ. Таким образом, 1 ди» й (и У) -у ч-~» Ы/- Это — дифференциальное уравнение для и» как функции» и У1 д(1ги„) 1 д „ ди» вЂ” Зр — = — — ч или 1/ -9Х вЂ” —.9.
т-9„-"- — а». Легко видеть, что этому уравнению удовлетворяет выражение н» = »~р (»Ч/), где ~р — произвольная функция. Сделаем теперь еще один шаг. Вообразим, что изменение объема происходит адиабатически, т. е. без обмена теплом. Это означает, что во время сжатия остается постоянной энтропия равновесного излучения. Но выше, при выводе закона Стефана — Вольцмана, мы видели, что эта энтропия пропорциональна произведению объема т' на куб температуры, так что постоянство энтропии предполагает, что Ууч = соазп Если с помощью этого соотношения заменить т' через температуру, так чтобы закон излучения стал независимым от размера и формы объема, то мы получим .= г~-~), т.
е. закон смещения Вина, как он был приведен в тексте, 84. Поалотцемнв осцнл хипором Приведем доказательство формулы 1 яФ ЬЖ=-й. — и„, использованной в тексте для вычисления работы, совершаемой полем излучения за секунду над осциллятором. Мы задаем поле излучения, устанавливая-связь между электрической напряженностью Е н временем. Ради сходимости интегралов предположим, что поле излучения существует только с момента 1=0 до момента $=Т; впоследствии легко будет перейти к предельному случаю Т-~со.
Выразим теперь одну из компонент, например Е„через ее спектр (разложим ее в интеграл Фурье): Е Я = ~ ~(ч)вззьч Йч, ОЗ где амплитуды У(ч) определяются соотношением т ~(ч)=~Е (г) е-™ч'Я, о причем Е,(1) равна нулю вне интервала (О, Т); поскольку Еа вещественна, комплексно сопряженная величина удовлетворяет уравнению '1'(ч)=$( — ч). Ж Повлощвнов оояиввятооом Аналогичные соотношения справедливы н для двух других компонент. Согласно законам электродинамики, полная плотность энергнн поля излучения тогда равна и =~- (Е'-т- тт."1= ~~ Ев = —,,Ев, причем последнее нз равенств следует из соображений сим- метрия. Черта над снмволом означает усреднение по вре- мени. Далее, т т +с~ 1зз,=~ ~ Ев вй=-)т ) Е вй ~ ~(ч)емм™йч, в в ОВ если заменить один множитель разложеннем Фурье.
Если те- перь изменить порядок интегрирования, то, поскольку значе- ние нового интеграла по т равно ~'(ч), мы немедленно полу- чнм +со т В~~ = — ~ ~( )ач,~Е„ез""аЕ= +м ФО / 1(ч)~'(ч)ач=-~-. ) и (ч)1вач, Ф в нбо 1~(ч)(в=~(ч)~( — ч) = ц~( — ч)~в. Таким образом, для полной плотностк энергии излучения мы получаем выражение и= ~ и„ач=ч(„-у ~ ~~(ч)~все, в в а для спектрального распределения имеем поэтому и„=~„-~~~(ч)~з. Теперь после этих предварительных замечаний о поле излучения перейдем к уравнению, опнсываюшему колебания линейного гармоннческого осцнллятора, Если осцнллятор может колебаться только в «-направления, то его уравнение имеет вид льх+ах=еЕ (е), а собственная частота соответственно следует нз соотношення щ(йичв) в а: 1 / в чв 'Б' у „, ° Как известно, самое общее решение неоднородного дифферен« циального уравнения получается добавлением какого-либо решения неоднородного уравнения к общему решению однородного уравнения.
Последнее можно записать в виде х(Г) =ха з)п(2лтоГ'+ Ф)э где х, и н — две произвольные постоянные. Выражение х(М) =-,-„'— ~ Е. (М') з)п 2нт,(М вЂ” Г') ~й' ~з является решением неоднородного уравнения и удовлетворяет начальным условиям х(0)=0 и й(0)=0. То, что х(0) О, очевидно; для доказательства второго условия проведем дифференцирование: «(С) = Б-„— (ЕЙ(~') з(п 2пто(г — г')],., + с + — ~ Е . (~') соз 2пт~ (Ф вЂ” Ф') сй'; о здесь первый член обращается в нуль, и мы видим, что й(0) =О.
Тогда х(Ф) = — (Е„(Ф') соз 2нто(Ф' — Ф)1,,— — — ~ Е ($') з(п 2ято (Ф вЂ” М') сй' = о = — Е Я вЂ” — х(Г), т. е. приведенное нами выше выражение действительно являет ся решением неоднородного дифференциального уравнения. Перейдем теперь к нахождению работы, совершаемой полем над осциллятором. Из дифференциального уравнения колебаний легко усмотреть (умножение на и и интегрирование по времени приводит к уравнению сохранения энергии), что работа, совершаемая в единицу времени, равна г ЬФ'=+Хх(Ф)Е (Ф)4У. о Очевидно, однако, что часть работы, вклад в которую дают свободные колебания (решение однородного уравнения), обра. Зо. Поглоосомио ооцоллсстором щается в нуль. Поэтому совершаемая за секунду работа полу- чается вычислением интеграла только от оставшейся части; ба= о — 1Е ЯИКЕ Юсов ь Ч(Ь вЂ” Ес)и.
о о Подынтегральное выражение очевидным образом симметрично по 1 и 1; что позволяет выражение преобразовать для 6%'. Можно сразу увидеть, что т т ба= --~ ~ Е (т~) сй' ~ Е» Я соз 2пчо(Ф' — Ф) сй. о с' Действительно. сначала мы должны интегрировать по сс от О до 1, а затем по Г от О до Т; но результат, конечно, будет тот же, если сначала интегрировать по 1 от сс до Т, а затем по с' от О до Т. Если, кроме того, поменять местами обозначения переменных 1 и 1с, то 6%' можно будет записать также в виде т с т 6%т=2 — -~ „~ Е (Ф)сй ) + ~ Е (с")созйссчо(Ф вЂ” т")Ы о о с я, заменяя созйнто(г — Ф') выражением 1 етмос,сс-с > +е-омск, сс-с'> ~, х( получить т 6%"=---~ ~Е (1)т "сгй~Е (г)е-~ стс'Ы+ о о т т <.~е.со — о(я,~~~~~'о ~= " ~сс с.
о о Таким образом (используя выведенную выше формулу для плотности излучения), мы находим, что работа, которую совершает поле над линейным осциллятором за секунду, равна ос Ьст ясо 6% = ~~~-Т' ~ но ~ -й пч» т. е. получаем приведенное в тексте выражение. Ж. 'Темлература и аниеролля е леалтоеол статлстлле Доказательство того, что фигурирующая в различных статистиках величина р обратно пропорциональна абсолютной температуре, можно провести единым образом для.всех трех статистик: Больцмана (Б.), Бозе — Эйнштейна (Б.— Э.) и Ферми — Дирака (Ф.— Д.), Во всех трех случаях мы имеем 1и %' ~~."„~(л,), где (см.
гл. 1, $1 о статистике Больцмана; гл. Ч1П, $4 о статистике Бозе — Эйнштейна; гл. Ч1П, $ 6 о статистике Ферми — Дирака) л,!пй; — л,1пл, в статистике Больцмаиа, (я,+л,)1п(й,+л,)-я,1пя,— л,1пл, в статистике Бозе — Эйчштейна, — (я,-л,) 1п (я,-л,)+я, 1п я,— л, 1п л, в статистике Ферми — Дирака, Максимум 1п )Р', подчиняющийся дополнительным условиям ~~.", л, Ю, ~~.", лр, = Е, достигается при а+ре,=— дг две ' откуда 61п Я~=Х,~У ~.=~(а+Ф.)б-. =аХЬ~+РХ;Ь;.
е 3 е Ю В равновесии, когда все е„так же как У и Е, постоянны, обе суммы обращаются в нуль вследствие дополнительных условий. Но формула применима н к случаю «квазистапионарных» процессов, когда внешние условия изменяются столь медленно, что в любой момент систему можно считать находящейся в равновесии, Если число атомов сохраняется, то дополнительные условия приводят к равенствам ~бл,-О, Хл,б,+Хе,бл,=м'.
Оба члена для 6Е допускают физическую интерпретацию. Первый представляет собой работу, совершаемую "при расширении. Если объем меняется на аУ, то ,6,= ~~)~~л,фб = — рб)~, 86. Термоэлеигроииия эмиссии где р= — ~~~,л,- 1з. выражает давление как сумму сил по атомам в различных состояниях — де,/дК Второй член.,Яеебл„ представляет собой изменение внутренней энергии, обусловленное перераспределением атомов по различным состояниям, порождаемым квантовыми скачками; это и есть «количество тепла, сообщенного системе» И~ = ~~Р~ е, Ьл,. Таким образом. мы имеем первый закон термодинамики ЬЕ = — р ЬУ-»- ЬЦ. С другой стороны, Ь1п Ю=р,'Е«,Ь,=рай.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
