1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Если подставить это в Н,„, то мы получим И =-4ГН-щ= — НМ так как, согласмо гл. У1, 2 2, умножение на е/2гпе как раз и переводит механический момент гн в магнитный момент М. Переходя к квантовой мехамике, мы должны учесть тот факт, что р, р„, р, становятся операторамн, не коммутирующими с х, у, х, а поэтому и с компоментамн А, являющимися функциями х, у, ю Следовательно, в первоначальном выражении для Н мы имеем ~р„— — 'А,„ДР,— — А )= Р' = —,(Аере+Р А )=~--:" где два члена в скобке ие идентичны. Поэтому оператор, представляющий гамильтомиан взаимодействия с магнитным полем, имеет вид Н = — а —.(А 1э-+Р ° А), и теперь результат наших рассуждений можно сформулировать следующим образом: модифицированный гамильтониам получается добавлением Н к обычному выражению, данному в гл.
1У, $4, а модифицированное уравнение Шредингера отличается от обычного добавочным членом Нф= — 2-~;(А Р+Р А)ф= = — 2~; ~А й~- — „-+-~ — ~-А,)ф+ ... = —,—.'. 4~(2А-й+-фФ)+ " " 431 зна феЕ «еет р Следующий шаг состоит в выяснении того, как влияет добавочный член Н,„ф на закон сохранения числа частиц, выведенный в приложении 20, Вспомнив использованный тогда прием, мы должны умножить уравнение Шредингера иа ф', а сопряженное ему уравнение на ф и вычесть одно из другого. Проделав вто с новыми членами, получим ф"Н.ф — фН.'ф = — — ' а (А. ~».— ев+ф ~е'» ) -+И'-'ф-'.+-.~- = — — „, -~„-у ~у„-(Чз»А„)+', °,) — -й„-~б1те, е Ь д а где е,„= — ФФ'А в и ме есть вклад в полный ток, обязанный своим происхождением влиянию магннтяого поля; его необходимо добавить к выражению для е, данному в приложении 20. В действительности входящая в вто выражекие волновая функция ф ке совпадает с танской в отсутствие магнитного поля, повтому влияние поля изменит иевозмущеиное выражение для е; однако можно показать, что вто изменение — прекебре.жимый аффект высшего порядка.
Следовательно, приведенное выражение для е„, представляет полкый ток частиц, вызванный полем, если в качестве ф подставить иевозмущеиную волновую функцию. Теперь можно вычислить рассеяние, взяв в качестве А падающую плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х и повтому пропорциояальную е'~*, а А„и А, взяв равными О. Тогда у влектрического тока в атоме будет только одна х-компонента, равная Ток порождает вторичное поле, вектор-потенциал А которого имеет только компокенту Ч', параллельную оси х и удовлетворяющую волноврму уравкенйю ЬЧ'+ лзЧ'= — —,ез = — 4л — -ет~ф~Ае'~'. 4п Ф Это уравкекие имеет в точности тот же вкд, что н уравнение, использованное в приложении 20 при вычислении рассеяния м-частиц; при атом г'(х, у, «) заменяется на — 4н(ет/1нез) !ФРА. Таким образом, решекйе может быть получено тем же способом, что и в приложекии 20 (с той лишь разницей, что следует опустить падающую Ч'-волну); асимптотика решения имеет Подставив это з предыдущую формулу, можно осуществить интегрирование по Фл'пу'пи' при помощи тождества бУ<Це ~(яг ~ ~4г.е и в результате мы найдем, что Мз~~ 1 подставив сюда, согласно де-Бройлю, й=(2я/Ь) лэв, получим Р(8)= „" — ' -(Л вЂ” Г(8)).
мв'2 э Если пренебречь в этой формуле членом Г(8), то квадрат г(8) сводится к известной формуле Резерфорда для частиц с ваРядом электрона (Е равно е, а не 2е, как для п-частиц). Форм- фактор г(8) опРеделяет экраиирующее влияние электронов. понижая фактический заряд ядра д. Обе формулы рассеяния представляют собой лишь приближения, справедливые при определенных условиях. Применимость оптической формулы ограничена малостью скоростей ассенвающихся электронов по сравнению со скоростью света.
<инфицированная формула Резерфорда справедлива только тогда, когда энергия падающих электронов велика по сравнению с энергией взаимодействия, так что его можно рассматривать как возмущение. Более подробное исследование поиазывает,' что это приближение достаточно точно для электронов с. энергией >75 эе в водороде, >100 эа в гелии, >1000 эв в неоне и аргоне. Ниже этих пределов необходимо использовать другие методы вычисления. Теперь мы выведем выражение для формфактора, следующее из модели Томаса — Ферми. Так как ~ф~~ представляет собой платность вероятности„то плотность заряда для (отрицательных) электронов будет равна — а18(~ *Р.
Подставляя сюда приведенное в тексте (гл. Ч1, $9) выражение для р через у(г) и замекяя затем н(г) иа Ф(х), где г ал, причем величина а связана с первым радиусом Бора пг Ь94ФтФ равенством а = а, (.(2((2.) мы после элементарного подсчета получим простое выраженпе Подставив его в формулу для Р(6) (стр. 432) и заменив переменную интегрирования г иа х, получим окончательно ОФ Р(6)=в~ Ю ~ хи(Ф(хЯ*ь ~" »" Ых, аа -~-зш 2 6, о что совпадает с формулой, приведенной в тексте (гл.
Ч1, $9). Получить дифференциальное сечение рассеяния электронов можно, либо подставив это выражение для Р(6) в записанную выше формулу для 1(9), либо вернувшись к цервоиачальиому выражению 1(6) через потенциал У(г) н заменив последний функцией Томаса — Ферми У(г) = — аф(г) = — — Ф(х).
ЕФ Подставляя эту функцию в формулу (приложение 26) Щ 3(9) — ат- 1ГЩ(г)т- Я з я заменяя здесь г на х г/а, имеем ЮО 1(9)а — С%'(а), Ф(а)~- ~ Ф(х)з$вахдхз з здесь ада I Звз Ъй!Ф !Ь и С вЂ” =2Еа ЬЯд Е а~и С ° вг причем Сз — постоянное число, а 4зв 1 а -у-з1в .в 9, как и раньше; Х означает длину волны де-Бройля для элек- трона А =«1ззо. Повтому а имеет внд а аз,с Ьоз1п~6, где ао — постоянная. Дифференциальное сечение равно Я(6) = 11(ВП~=СвГР(аИ~ Е*ьаЬС~з!,К(а)Р.
Полное сечение получают, умножив это выражение на 4яз1вВФВ и выполнив интегрирование по углу 9, от которого зависит только а. Результат можно записать н виде Ж Фара«а«ам а«а«та«ай мааааи«и где Р— уяиверсалькая функция, которую можно найти численным интегрированием. Если, наконец, заменить скорость о на 1/ $~, где У вЂ” ускоряющий потенциал (в согласии с уравнением '/это« вУ), то мы получим зависимость, изображенную в тексте на фнг. 71 (стр. 233). Ж. Формализм кваннэовой мкламммм Полное изложение квантовой механики выходит за рамки этой книги. Мы сможем дать лишь краткий очерк общего формализма, достаточный для понимакия статистической интерпретации н эквивалентности матричной и волновой механики. Связующим звеном между этими трактовками является понятие линейного оператора.
В волновой механике каждой физической величине соответствует (линейный) оператор А, который, действуя на волновую функцию ф, зависящую от координат в (через в ради краткости обозначена вся совокупность в» сь ...), переводит ее в другую функцию ~р(д): Самой координате у, рассматриваемой нак оператор, соответствует операция «умножения иа вэ, так что «р аф; импульсу р соответствует оператор (Ь/2Ы)(б/дй'), так что ф (л/2Ы)Х Х(дф/дд). Вообще мы можем считать А произвольной функцией о и р; например, рз+д' переводит функцию ф в фуккцню Вообще говоря, две операции А и В ие коммутативны— их коммутатор А — ВА не равен нулю, например рв — вр л/2н(.
Если оператор А воспроизводит функцию ф с точностью до множителя, Аф лф, то функцию ф называют собственной 4)рнклией А, а множительа — собствеклынзкачениамоператора А. В качестве примера можно взять уравнение рф а1р, каи (Ь/2я/) (дф/дв) аф, с решением ф аоаечж, где собственным значением а может быть любое число. Этот пример показывает, что в общем случае собственные функции комплексны, Полезным оказалось следующее определение: каждому оператору А соответствует сопряженный ему олвротор А+, определяемый тем условием, что для всякой пары функций у и ф / н'(Аф) о(( = ) (А+у)'фсКу.
ло. Формализм иоаизоооа мадаииии где величина 6 равна 1 нля 0 соответственно тому, что щ м иля тчьл. Система таких функций называется оргонормировапноб. Примеры ортонормироваииых систем уже рассматривались (оспиллятор, приложение 16; атом водорода, приложение 18). Вещественный оператор имеет, вообще говоря, бесконечно много собственных значений аь аз, ..., которые мы будем считать здесь для простоты дискретными и различными.
Им соответствует набор собственных функций ф» фь „образующий полную систему. Это означает, что любую функцию ф можно разложить в ряд по таким собственным функциям (в обобщенный ряд Фурье): ф= '~, 'о,ф„. После умножения на ф' зто дает вследствие условий ортоиормированности ~фф'Жу о . Далее, мы имеем ~ 1ф~ Й7= ~ фф Й7 ~~1сд ~ ф,ф Фф =голод =~Щод~ ° д д д Можно взять в качестве ф функцию Вф, где ф — одна ив собственных функций оператора А, а  — другой оператор; тогда коэффициенты сд будут зависеть от обоих индексов зп н ис ВЭ.
= Х В..$., В„=~Ф'.(Вф ) ф. Величины В, можно рассматривать как злементы лаинриаы„ представляющей оператор В в системе собственных функций оператора А; легко показать, что В обладают свойствами зле1зентов матрицы. Из определения сопряженного оператора следует, что В.„=~Р'„(Вф ~аф=~(В+е„)'Ф аф; меняя местами и и «з и прямеияя операцию комплексного сопряжения, мы получям В =~(В+ф ) ц„ад=(В )„, йэалэнв Это показывает, что для нахождения матричных элементов сопряженного оператора В+ необходимо поменять местами строки и столбцы В„(и~~а) и заменить каждый элемент В „ комплексно сопряжейным.
Рассмотрим теперь матричный элемент произведения операторов ВС: (ВС)„= ~~',(Всф )ад = ~ж'„В(Сф ')юг; используя определеике сопряженного оператора В+, получаем (вс)„.- ~(в+ф„) (сф.) ид. "Теперь, подставив сюда разложения в+ф„=~(в+),„ф,, сф =~с р„ найдем, что (ВС), = ~,~~~(в+)'Я ~~~~си Фи гйу= ~~~в асс ~ Ф'Ф гИ = Ф Ю ы =,')',в с . Эта формула показывает, что матричный элемент произведе- ния операторов ВС равен элементу матричного произведения матриц, принадлежащих В и С. Другими словами, операторное исчисление н-матричное нсчисление-являются эквииалентнымн представлениями одной и той же математической структуры. Из этого сразу вытекает, что волновая механика и матрич- ная механика стационарных состояний эквивалентны. В самом деле, уравнение Шредингера, (Н(р, у) — В )ф =О, можно записать как матричное уравнение: ',)',Н„,р.— В ф =О; а Ф умножив его слева на фэ в проинтегрировав по всем д, мы по* лучим.
Нэ =Еэбэ ° Другими словами, матрица оператора энергии, вычисленная для набора его собственных функций, диагональна. Следовательно, проблема матричной механики, состоящая в нахождении набора матриц р !!р, ,'~. Ч= ~1у ,1[, удовлетворяющих переста- зл. ФоРэализм ээамтоеоэ меиииищ новочным соотношениям Рп — др Й/2п1, такого, что в ием матрица Н диагональна, эквивалентна нахождению собственных функций волнового уравнения с соответствующим оператором Н. Остается показать, что для нестацнонариого случая зависящее от времени уравнение Шредингера 1Н+ э ~э)4 0 эквивалентно каноническим уравнениям механики к~а ЭН ЛРа Смысл частных производных здесь очевиден: если гамнльтониак Н задан в виде полннома вэн сходящегося ряда по степеням Рэ, 4'„, то можно примен ~ть обычные правила дифференцирова-. ния с той единственной оговоркой, что порядок множителей должен сохраняться; например, дрэд(др 2РЧ, дРЮР!дР чР+РЧ Не очевиден, однако, смысл производной по времени от оператора, действующего на функции координат д: смысл его действительно необходимо еще определить подходящим образом.
Сделать это можно, лишь апеллируя к физическому смыслу формализма. Как объяснялось в тексте, квантовая механика должна интерпретироваться статистическим образом. Делаются следующие предположения. Каждой физической величине, илн чнаблюдаемойэ, отвечает вещественный оператор А. Собственные функции ф„фэ, ... соответствуют квантованным, или чистым, состояниям, для которых оператор принимает значения аь нлн аь нли аэ ..., любая функция ф представляет состояние, которое можно рассматривать как суперпозицию чистых состояний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
