1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Вводимый для этого параметр разделения мы обозначим через гпз; НМ 1 ~Ы мй .+ — — +-и~ — Я= О. - чг+ивгФ= О. ФФ Второе уравнение дает Ф=~'„~(еф). Существенно, что волновая функция должна быть однозначной. Но это требование выполняется только прн целых гп, так как ,в противном случае изменение величины ф на йя приводило бы к различным значениям волновой функции; отсюда следует, что ли О, а1, ~2...., то уравнение можно рас!ценить на тря уравнения: ~Д+ —,'ф-+ ' '(Ы-+ — ", ) — х ~Л-О, ~ ФВ+ й Ж+" а!эг5~ ~-„~!г+ваа~Ф О, аде з! (как и раньше) и А — параметры разделения. Решение третьего уравнения уже известнш Ф=~ ~(лай), илн Ф =д'"'э, где гл должна быть целым, иначе решение Ф окажется яеодяозначным.
Второе уравнение — это уравнение, определявнцее шаровые уикцнн Раа'(сов 6), где А принимает значения 1(1+1) а !гв~ 4Х я других значений уравнение не имеет конечных однозначных решений. Докажем это в общем виде, для чего объединим зависимости от 6 я от й в обобщенную шаровую функцию У!(6, е), Если для краткости вэестя обозначение ! д . д ! да Л ~к= а!аз д()' а!а 6 дй"+ а! ГЭ 6~Г' ~-г+ — хр"+-к д* 2д Л то будет ясно, что функция У!(6, <р) должна удоалетворятьдифференцнальному уравненяю ЛГ!+ 3Х'а: О.
Общее решение этого уравнения находят следующим образом. Рассмотрим однородные яолиномы (У! степени 8 но .ч, у, х, удовлетворяющие уравнению Лапласа ЛП,=О. Оиределим теперь функцию Г! отношений х!г, у~г, х/г (т. е, функцию, зависящую только от углов 6 и е) при помощи уравнения (4!=~ у'с* Затем подставим эту функцию в уравнение Лапласа ЛУа=О Выполнив дифференцирование по г, мы приходим к уравне- нию ~~+ — ) г~У,+;-р-гЧ;ижг~ *(ЛУ,+ !(!+ 1)3'Д ~0.
Таким образом, введенные выше функции являются решениямп дифференциального уравнения Луг+Ау~ О, толъко если 1,=!(!+1). Можно докааать, что никакие другие значения Х яе дают конечных, непрерывных и одяозяачных решений этого уравнения. В соответствия с этим собственные значения уравнения ЛУ+ У, 0 равны !(!+1). Кроме того, число произвольных параметров в любой функция степени ! легко определить. Наиболее общий однородный полипом степени ! по л, у, я содержит Ча (!+ 1) (!+2) пронэволъных постоянных (он имеет один член с л'„два члена с Ф-', три с л'-~ н т. д.
и, наконец, (!+!) членов, вообще не содержащих х). Однако условие ~Щ 0 пряводит к определенной зависимости между постоянными; это условие зививалентно '/а!(! — 1) уравнениям для определеияя коэффициеятев, так как Ь(!г есть однородная функция степени (! — 2), тождественно равная нулю. Поэтому (!~ содержит .2-)(!+ 1)(1-+ 2) — !(! — 1)~ И+ 1 независимых.коэффициентов. В соответствии с этим имеетсв 2!+1 линейно независимых шаровыд функций степени !. Если записать их в обычной форме У~л) Р~~асюе то они соответствуют 2!+1.
возможному значению третъего (магнитяого) квантового числа юп. Теперь перейдем к дифференциалъному уравнению для радпалъной функпни !1: Его решения должны быть конечными и непрерывными при всех значениях г от нуля до бесконечности. Здесь нас главным образом интересуют величины собственных значений Е, цри которых это уравнение имеет решение, удовлетворяющее заданным условиям. В частности, займемся случаем В<0. В теории Бора это соответствует эллиптическим орбитам, когда для удаления эаектуона ва бесконечное расстояние от ядра необходимо ай Решение уриеиеиеи ЕЕЕредииеери дее еиеиеи Хеяеври 44-Й валамн„в которых доминирует либо степенная р', либо экспоненцнальная вавнснмостн.
Подставляя функцию Ес в дифференциальное уравнение, легко получаем следующее дифференциальное уравнение для Е: ф+-2-Е-~-~) ф- — 2 Р'е е +- — (1 — 1/е(1+1))Е=О. Попытаемся решить его, разложив Е в ряд по степеням р (илн„ лучше, по степеням 2р 1/ е); запишем соответственно е = 2~ а„(2р 1Е е)". Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение ж несколько иначе располагая члены, получаем ФЭ ~~~~а„(2р "у е) т(т+2Е+1)— се — ~~)~~ а„(2р ')I е) ~т.+ Е+ 1 — — ) = 0 еюе Этот ряд должен тождественно обращаться в нуль; таким образом, мы приходим к реиуррентному соотношению для коэффициентов а„+1(т+ 1) (т-+ 2Е + 2) = а„(ч+ Е+! — — ) . 1 Разумеется, в начале координат функция Е конечна н равна первому члену аь С другой стороны, на бесконечности Е неограниченно растет (прнчем, как покавывает подробяый анална, быстрее, чем е+ет') во всех случаях, кроме того, когда ряд для Е обрывается на каком-то члене, превращаясь в конечный полнйом.
В этом последнем случае хотя Е н обращается в бесконечность, но Ег на бесконечности исчезает благодаря экспоненцналъному мрожнтелю е-е"'. условие, прн котором происходит обрыв рйда, получается нв рекуррентного соотношения. Ряд обрывается на и, и члене, если а +.Е.+1= 1 Таким образом, Цу'е должно быть положительным целым числом нлн 1 а= ю и' Пршяасемия где п и,+1+1; число я есть главное квантовое число, а и,— раднальное квантовое число. Итак, мы видим, что решения днфференцналького уравнения, удовлетворяющие требованиям конечности, непрерывности ц однозначности, существуют только для некоторых дискретных значений параметра е, именно для значений з Ций. Значит, возможны лишь некоторые определенные энергетические уровни, именно ьиаи4хй Е, которые н дает теория Бора.
Для я=1 имеем 1 О, л,=О н 1 сводится к постоянной. Волновая функция йр не зависит от 8 н ф, н если принять нормировку ~фйдг=1, получим просто 1 (г~т, зй ф =~ — ) дляа, а~ = 1/я ~а, ) ' 4яйиа* Можно видеть, что в быстро уменьшается при г)ай/Я. Величина пй/Е есть радиус первой боровской орбиты для атома с зарядом Яе. Он равен среднему значению (см. приложение 25) г ~ фйгФг для электронного облака в состоянии л 1. Такие средине величины можно вычислить для всех высших состояний е 1 О; и, как оказалось, онн совпадают-с главными полуосямя эллйпсов теории Бора.
Можно добавить, что цолнномы 1 — это известные полияомы Лагерра, Однако мы не будем вдаваться ~в подробности; заметим только, что нули нх определяют положение узловых поверхностей г сопз1. функция Р имеет п, узлов, не считая пулей прн г=О (в случае 1>О) и прн г=оа. Ж Полный меха няческмйй лйолйаяййй В тексте введены операторы Ь / д д1 Яй„= -~-„1У ~- — .~-). соответствующие компонентам механического момента.
Квадрат полного момента равен «йй лай+ авй+ яйй 414 Это означает попросту, что для каждого состояния с азнмутальным квантовым числом 1 оператор Мт имеет собственное значение (йт/4ят)Ц1+.1). Соответственно н величина полного момента имеет кваитованные значения (й/2я) у' Ц1-)- 1 . Далее, в полярных координатах (полярная ось х) имеем Л Г д д' Л д ан.=-ж ~" ж — рж)-ж~. Действуя зтнм оператором на однозначную функцию е~"~' (где вг О, -~.1, ~2 н т. д.), получаем вз,еь" ч -~у-, тпе'"'ч, Л Таким образом, компонента М, механического момента также квантована, а ее собственные значения равны целым кратным величины Ь/2п — боровской единицы момента.
Здесь мы пе будем останавливаться на поведении остальных двух компонент (ги„и вз„); отметим только, что соответствукмцне нм матрицы можно вычислить методом, описанным в приложении 21 (стр. ч18). 20. Вывод ййормуаы Рвэврфорда в вохмовод мвхаиакв Рассмотрим уравнение Шредингера 1 "' Ь+Ы.+ ". д 1(ф О и комплексно сопряженное ему уравнение 1 1Л1у л+у Л „д:1й Если умножить первое нз них на ф~, а второе — на ф н вычесть затем одно из другого, мы получим — А(ф йф — файф Н--2-'„У(ф'ф+ ф-ф =О илв Теперь, вводя вектор тока в (чксло частиц, проходящих через квадратный сантиметр эа секунду) с компонентами ййузв ~Ф Зл т йлл/' 1 Г ° де д~Р1 будем иметь = — б1тв, З1й В дФ 416 ческой волны, нмеет внд 8ол 9=еом — — ~ ~ ~ -~- Р(г') е'»' Фх'Фу'в1я', где Д вЂ” расстоянне между точкамн Р(х, у, х) н Р'(х', у', я').
Нам достаточно знать решенне на очень большнх расстояннях г= ~Гхг+у~-1-У от ядра К(фнг. 105), В атом случае прнблнженно Д=г — г' ° м, где г' — вектор КР', а и — еднннчный вектор в направления КР. Можно также положнть г«о где ио —.единнчный вектор в а-нвправленнн. Тогда в~~ а=вон — — ' ~~ е' ""- 'Р(')Фх'Ф'('.
4пг Е Вводя сфернческне координаты а. р с полярной осью вдоль вектора но†м, получаем , Фв Ф е'о' — — 'у(9), г Здесь ~ (9) ~ ~'ФР /' з1п» Ие ~' гг* Фее~~" вою аР(г' о в о н К=9! мо — оз1= й А ~2 (à — нв) = Ф фг2 (1 — соз 9) = 29 з$п ~, где 9 — угол между вектором м, т. е. КР.
н осью х. Можно выполннть ннтегрнрование по а н р: 4Ю Ц9)=~* ~ "(г( )а ""~", о Интенснвность надающей волны равна 80 ь .(га) а ннтенснвность рассеянной волны получается (прн большнх г) ив вторнчной волны: "=4;й(ф'Ф вЂ” р Т-)-й-'-'Р-~ —."). М. З33ВОО 3ео3333зввв Рвэв3343О33оа в ВЗШЗОВоя 33воамвво 4И Таким образом, вероятность рассеяния в единицу телесного УГЛа, ИЛН .диффЕРЕНЦавЕЛЭИОЕ СОЧОНиа РаССЕЯЯипв, ОКаамзастСЯ равным — "= у(Е))е. Потенциал можно приближенно представить в виде в-Пв р.= 1вед в в где экспонента описывает экраннрующнй эффект электронного облака; а имеет величину порядка атомного радиуса 10 в см. Можно выполнить и интегрирование по г, что дает П33 — -о — — "-3-.
Кв+ — 1- Здесь К==2й е1п — = — е(п-в., В 433 В 2 А где Х вЂ” длина волны де-Бройля. Поэтому 1/ае всегда мало по сравнению с К для тех частяц, скорости которых велики, но за исключением проходящих в яепосредственной близости от направления падающего луча (8 О). Если величиной 1/пе пренебречь, то эффект зираянрования полностью исчезает, н мы получаем аявв3 Явд цв) ' ьг ве ЙИ ~Ф нлн, с учетом того, что 2я 2я А = — р= — лов а ь (т3 — скорость), 1(в) 2яг э ' ХвЕ 1 8!333 оо" Прн возведении в квадрат это выражение дает в точности формулу рассеяния Резерфорда, гл. Н1, $ о (различие тольковобозначениях: 3н вместо М н 6 вместо «р). Каков бы нн был закон для У(г), уточненная формула получается также легко, как н в нашем случае (Бете).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
