1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 77
Текст из файла (страница 77)
10. Комялзои-в6666яквз Здесь столкновения квантов света с электронамн мы будем рассматривать в рамках специальной теории относительности, Для нас это представляет большой интерес, так как вычисления не слишком сложны, а получаемый результат тем не менее оказывается применимым к рассеянию очень жесткого излучения, Вычисления опираются на законы сохранения энергин и импульса. Энергия кванта света до столкновения равна /ач, а его импульс /тт/с.
Соответствующие величины после столкновения обозначим через /тч' н Ьт'/с. Для простоты будем считать, что электрон до столкновения покоится. Тогда в формулу Эйнштейна надо подставить массу покоя эта, и энергия электрона будет Фиг. 1М. Дваграмма вмвуаьсов в аффекте Коматоза. равной энергии покоя гласа, а импульс — равным нулю. Пусть скорость электрона после столкновения равна о.
Тогда его масса будет равна ваа Ва — вовами", / о' е нергня а импульс аэо = осс — =. ваао от 1 — -а- с Таким образом, можно утверждать, что после столкновения элеитрон обладает «кинетической энергией» (и — паа) ст = тнаса 1 — 1 ф (разлагая в ряд по степеням и/с, легко убедиться, что эта формула согласуется с нерелятивистской величиной '/антаоа для малых скоростей). До столкновения же эта «кинетическая энергияэ была равна нулю. Бсли ф — угол отклонения кванта света, а тр — угол отклоне- ния электрона, то законы сохранения энергии и импульса прн- и: Фаздаая а Фргалааая а«а«едета мут следующий вид (см.
фнг. 104): Закон сохранения энергии: Мт +л«еса=йт'+л«с'; лт лт' — = — соз «р+. нао сов «р, е е Закон сохранения импульса: л««' 0 = — з(н «р — нет«з1н «(«. е Исключая «р из двух последних уравнений, получаем лееоеее = Ь' ((т — т' соз «р)з + (т' а!п «р)е) = Ь'(те+ т" — 2т~' соз «р). Далее. из закона сохранения энергии найдем, что щес« = (й (т — ч'Н- леееа)2 = Ье(%2+ т'Ф вЂ” 29т') + -(-2леаеей (т — т') + т*ае. Так как по определению а«~е г а 1 нее — ~-. т. е. нее~! — —,/=«нзз, е' / 1 — -1- то, вычитая первое уравнение из второго, получаем лееес' = — 2йзтт' (! — сов «р)+- 2аз сей (т — т') -1- «еес«, или е««е««« — т' а«ее« / 1 11 (1 — сов«р) — ' —,— — 1, — ).
л л р м Для удобства обозначим величину л = 0,0242 А Жф (обычно ее называют комптоновской длиной волны) через еа. Тогда окончательное выражение можно переписать в виде ЬХ = Х' — Х = с 1 — „, — —,, ) = (1 — соз «Р) —,, = 2Х з1н' е 1 л Ф «яее е Г' как оно и использовалось в тексте. 11. Фоновая ее груавоааа скороснвэ Чтобы получить точное доказательство соотношения а«« ет ° приведенного в тексте, мы должны прежде всего рассмотреть наиболее общий внд формулы, описывающей группу воли; представим ее как интеграл Фурье и (х, Ф) = ~ а (т) е' ' 1ч'- ™~ йт, где т т(т) считается функцией волнового числа т.
Предположим теперь, что группа очень узкая, так что з интеграле конечную амплитуду имеют только те волны, волно- вые числа которых отклоняются от среднего значения т на очень малую величину. Положим т тз+ть т(т) то+чАт1) н о(то+тД Ь(т1). Тогда интеграл можно переписать в виде а(х, г)=А(х, Ф)а'"'< ~-"о, где А(х, Ф) ~ Ь(т~)еь'~<"и-"4с(тг Итак, волновой пакет можно считать простой волной с часто- той тм волновым числом то изменяющейся в пространстве н вре- мени амплитудой А(х, г).
Это предположение оправдано, так как мы считаем А(х, 1) функцией, меняющейся очень медленно по сравнению е экспонентой еь" <""-' ~. В первом приблнженнн она меняется в среднем с частотой биений ть которая очень мала по сравнению с ть Скорость совместного с волной движения определенного значения амплитуды А(х, Ф), например ее максимума, назы- вается групповой скоростью. В соответствии с этим она опре- деляется нз соотношения дд нх ЬА й' лг '+ ЬЬ -О полученного дифференцированием уравнения А(х, г)=сопз1 по времени.
Если групповую скорость в отличие от фааовой обозначить через ~У, то можно написать Далее. очевидно, что У 2М ~Ь(т )ч еьи(ч4-майт„ зав — 2яЕ ~ Ь (т~) т1аь~~ ~Ф-~Ф> с(т1. ЬА Поскольку мы предполагаем, что группа ограничена очень узким интервалом длин волн, можно разложить т,(т,) по сте- рд Элементарный еывоо еоогноменнн нвонрвйелвнноетей ЗЗ1 пеням т,: Уйн'1 т1(т,)=т(т) — те=~ — ) т + .... ~й~й Отсюда и е соответствии с этим для групповой скорости имеем йн и=,.
тогда как для фазовой скорости справедлива формула и киг-е-. 1л. Элемененарнайй взовод еооязноиеенна нвовре дехенносвеей Гейзенбвре а Рассмотрим волновой пакет конечной ширины, Для простоты возьмем его амплитуду в произвольный момент времени в виде функции ошибок Гаусса (это действительно так для основного состояния гармонического осциллятора, см. приложения 16 и 39): ~(х) Ае- '~е*.
Тогда яолуширина Ьх будет равна ) хеГе (х) Фх й =Ух*= =-в а. ~ ~е(х) Их Выпишем фурье-преобразование для ).'(х): Г(х)= ) о(т)еенылйт. Здесь О(т)= ~ ~(х)е-енылах ОЪ вЂ” амплитуда гармояики с волновым числом т. Подставляя сюда интеграл для ~(х). получаем +ее +се о (т) е А ) е-<~'/ее)-ангел Фх = Ае-(н™г ~' е-ге~в+омегах Простан подстановка х/а+~Ита=у позволяет свести этот интеграл Гаусса: а ~ е-э'Фу=а уя.
СО Поэтому й(т) =Аа у'яе-1 ~г=Аа у'яе-'*Ф', где Распределение царциальных волн, образующих волновой пакет 1(х), дается той же функцией Гаусса с полушириной Ьт ЧтА Отсюда получаем Ьхйт =.т-ай= т-. 1 1 Подставляя сюда выражение для импульса волны р Ьт (гл. 1Ч, $5), приходим к формуле ЬР' еа ' Эта формула и есть точное выражение соотношения неопределенностей Гейзенберга для специального вида волнового па кета (см.
приложение 39). Очевидно, по порядку величин соотношение ЬхЬР Ь выполняется для волнового пакета любой формы. Позже мы получим неравенство с точным численным коэффициентом (приложение. 26). 13. Теораа Гама.митома и аврвмвммзев двйетмама Здесь мы кратко рассмотрим механику кратно~ериодических движений (см. гл.
Ч, % 2) и соответствующие квантовые условия, По Гамильтону, движение системы полностью описывается .так назмпаемой функцией Гамильтона ГГ(чь |Ьь ° ° ° Рь Рз.. ° ). задающей энергию системы в зависимости от координат ль й импульсов рь составляющих ее частиц, (Для обычных декартовых координат импульс рь равен шьуь., здесь, как н в дальнейшем, точка иад символом означает дифференцирование по времени.) Уравнения движения имеют вид дН дН Фа = -х-- Рэ Отсюда сразу же следует закон сохранения энергии; действительно, образуя полный дифференциал Н относительно времени и используя уравнения движения; получаем 1 ~ т + ~~ р 1 О т.
е. энергия системы Н(дь р») Е постоянна, В общем случае можно заменять пару переменных (р», и») любой парой канонически сопряженных переменных — канони- ческие переменные определяются тем свойством„что онн удов- летворяют уравнениям типа приведенных выше уравнений дви- жения.
Исследование таких канонических преобразований ведет к математической задаче (так называемому дифференциаль- ному уравнению Гамильтона †' Якоби), которая во многих слу- чаях разрешима. Здесь мы будем считать, что нужное нам решение существует, Тогда задачу интегрирования уравнений движения можно сформулировать следующим образом: найти новые канонические переменные 1ы вы таяне, в которых энер- гия зависит только от величин 1» н не зависит от величин аа». Тогда уравнения движения примут вид ан 4- — -.„(-„;- — — о, и 1» при движении будет оставаться постоянным. С другой стороны, постоянство величин 1» приводит к тому, что величины ° дО Ед — Ч» =-оутакже не зависят от времени, а ю» линейно возрастают со вре- менем: ш» — т»1.
Таким образом, в новых координатах задача интегрирования решена; остается только проделать обратное преобразование. Система называется просто нлн кратно периодической, если можно пайтн зтн новые переменные в такой форме, что каждая декартова координата х оказывается периодической функцией величян зз», илпг другими словами, может быть представлена в виде ряда Фурье ~о переменным вь ..., юы так что ~~Я лт аэя м,ч+ч~т1+ .. о ч. ч Д,',~ч, аа мт,ч+а.
ъ+ ..лю, т» ч где ть тз, ... — положптельные нлн отрицательные целые числа. Коэффициенты а,.„ч, ... зависят от величин 1». Если движение периодическое, то величины 1» называются ларвмеияыми действия, а величины ша — угловыми неременньами. Мы уже встречались с такими величинами на примере ротатора, где каноническими координатами служили азимут Ф н момент р. Функция Гамильтона в этом случае имеет внд зт Ф "=УХ' откуда следуют уравнения движения дН р дН Ф=-~-=-д--, Р= — —,— -О. р Их решения есть Р сопз1 н у в1.
Прямоугольная координата определяется соотношением х ае'е = ае"е. Эренфест доказал, что переменные действия Уь являются адиабатическимн ннварнантамн, т. е. что величины Хь можно квантовать. Поэтому постулнруем квантовые условия Уэ Ьп„(нэ — целое). Но таких условий Можно выбрать лишь столько, сколько несоизмеримых частот имеет рассматриваемое движение. Поясним это, рассмотрев в качестве примера случай двух степеней свободы. Тогда в показателях степени у членов ряда Фурье стоит сумма тж+тзть где тэ н тэ — целые. Если, например, т1 Ать гдв я — целое, то ч,т, + тэта ='тэ(йт;+ тэ). Поскольку тг н тз — целые, величина Фи+та будет принимать любое целое значение. Значит, е действнтельностя здесь существует лишь просто периодическое движение н ряд Фурье состоит из одного члена, Поэтому, очевидно на движекае можно наложить только одно квантовое условие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
