1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 74

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 74)

имеет неисчезающую производную бАИз вдоль оси х. Для теплопроводности А будет средней кинети(вской энергией одной газовой молекулы, ля вязкости — средйей скоростью поступательного движения а направлении течения, а для диффузии — числом молекул одного сорта е одном кубическом сантиметре газовой смеси. Итак, изменение величины А в пространстве приводит к переносу этой величины; за единицу времени определенное число молекул пересекает в обоих направлениях единичную площадку, перпендикулярную оси х, и это число, по крайней мере приближенно, дается произведением пэ, где п — число молекул в кубическом сантиметре, а э — их средняя скорость. Но молекулы, пересекающие площадку в одном направлении, обладают свойством А либо в большей, либо в меньшей степени, чем молекулы, пересекающие ее в противоположном направлению Позтому н возникает перенос величины А через эту площадку, Количество М(А), переносимое за секунду, можно легко подсчитать, заметна, что для всякой молекулы длина свободного пробега между двумя последовательными соударениями равна 1, т.

е. за время между соударениями она проходит расстояние порядка 1. Так как задача решается приближенно, мы не будем уточнять численное значение множителя. Для М(А) легко находим следующее выражение: М (А) лй п(А (ав — 4 — А (я, + Л)* где в~ — координата элемента рассматриваемой поверхности. Раскрывая это выражение, получаем (без численных множителей) М(А) — ле1 ~ — „«) Таким образом, перенесенное количество величины А пропорционально «градиенту А», а также числу молекул в кубическом сантиметре, их средней скорости и средней длине свободного пробега.

Это уравнение называется уравнением лереносп. Отметим, что если А является свойством молекул газа, не зависящим от давления, то и М(А) не зависит от давления (Максвелл). Дело в том, что давление газа р илТ, т. е, при постоянной температуре зависит тольдо цт числа, молекул.в кубическом сантиметре..й.хотя л.входит как-множитель в-уравнение переноса, его влияние компенсируется присутствием в формуле средней длины свободного пробега, которая обратно пропорциональна числу л и эффективному сечению молекулы.

Независимость от давления можно объяснить также тем, что хотя при большем давлении в переносе А и участвует больше молекул, но в среднем они перемещаются на меньшее расстояние. Теперь применим уравнение переноса специально к тем трем явлениям, о которых мы говорили выше. Начнем с теилопроводности. Здесь А означает кинетическую энергию молекулы, т. е. Еь сопзЪ+с,глТ, где с,т — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме, рассчитанная наоднумолекулу (с„— удельная теплоемкость, отнесенная к одному молю).

Количество тепла Я, переносимое через единичную площадку за секунду, дается выражением д гвианроеодиостн эяэяость и дич!Фуэия Мы видим, что Я пропорционально градиенту температуры; коэффициент пропорциональности н «Ис„г«называется коэффициентом те«ло«роеодности.

В случае вязкости, как мы видели, А есть средний импульс г«и молекулы, движущейся в потоке газа. Тогда импульс, переносимый за секунду (через единицу поверхности раздела между быстро и медленно движущимися частямн газа), т. е. сопротивление )г, дается выражением йи . Й вЂ” — «Ы㫠—. йэ ' величина й «э1«г называется коэффициентом внутреннеао трения. Заметим, что дробь н/т!с,— постоянная порядка единицы. Теоретически она должна быть одной и той же для всех молекул одинаковой структуры, т.

е. эта дробь должна иметь некоторое единое значение для всех одноатомных газов, какое-то другое — для всех двухатомных газов и т. д. Конечно, наш качественный подход не дает возможности определить численные значения этих констант. Как мы уже подчеркнули, изложенные рассуждения грубы и неполны. Уточнение и развитие теории обязано Больцману, Максвеллу и др„ которые более тщательно изучали механизм столкновений и распределение скоростей. Этн улучшения, однако, не несут ничего принципиально нового, имея целью только гораздо точнее ааределить численные коэффициенты.

Мы не будем вдаваться в гюдробности таких расчетов. Остается еще отметить, что вся теория справедлива лишь постольку, по= скольку средний свободный пробег молекул мал по сравнению с размерами сосуда с газом. В случаях, когда это не так '(при атмосферном давлении ! — порядка 10-з см, но становится равной примерно !О см внутри рентгеновской трубки, где давление 10-з мм рг. сг.), начинают действовать совершенно другие законы. Молекулы летят практически по прямым, без столкновений друг с другом, от одной стенки сосуда до другой. Если, например, в таких условиях между двумя противоположными стенками имеется равность температур, то тепловая энергия переносится молекулпми непосредственно с одной стенки на другую. Количество перенесенного тепла при этом пропорционально числу молекул, и «уже не исчезает из уравнения переноса, так как средний свободный пробег теперь не входит в уравнение.

Законы теплопроводности, вязкости и т. д. при низких давлениях изучал главным образом Кнудсен. Они имеют огромное практическое значение, например, при работе с вакуумными насосами (таквми, как ротационный молекулярный насос Геде, диффузионный насос). Теперь кратко рассмотрим диффузию. Представим себе смесь двух газов в динамическом равновесии.

Это значит, что температура и давление, а следовательно, и полное число молекул в кубическом сантиметре везде одийаковы. Здесь в качестве А выступает ля/л †концентрац молекул первого газа или пя/л †концентрац молекул второго газа. Тогда уравнение переноса дает г.я в число молекул первого газа или Ея — числа молекул втарого газа, диффундирующих через единичную площадку за единицу времени: л (л~!л) — Сля Сля .Е1 — — г.е! — ' = — и! — ', Яя — — тя! — *. лг лг ' лг Если процесс стационарен, то ля+ля должно равняться постоянному л, т. е.

~% яяля лг л'г ' И тогда полный поток Ля+Ля равен нулю. Оба сорта молекул имеют одинаковый коэффициент диффузии б — у1, который из-за множителя ! обратно пропорционален п — полному числу молекул. Существование другого вида диффузии, названного термодиффузиея1, теоретически предсказали Энског (!912 г.) и Чепмен (1916 г.), а экспериментально обнаружили на смеси СОэ и Ня Чепмен й Дутсон (1917 г.). Термодиффузия возникает, когда начальная концентрация однородна, давление постоянно, но темпцратура меняется.от точки к точке, 'Б атом случае средняя скорость молекул у, пропорциональная )/Т зависит от местоположения молекулы, в связи с чем надо изменить уравнение переноса.

Полная и точная теория явления была разработана Чепменом (1939 г.), а элементарный подход развил Фюрт (1942 г.). Результат этих исследований сводится к тому, что в уравнении диффузии появляется член, пропорциональный градиенту температуры. Коэффициент термодиффуаин сложным образом зависит от масс и диаметров участвующих в процессе молекул. 3. Уравнение сосгновнна Ввн-дер-Вввльсв По сравнению с уравнением состояния идеального газа уравнение состояния реального газа, предложенное Ван-дер-Ваальсом и приведенное нами в тексте на стр. 30, содержит две поправки — к объему и к давлению.

Попытаемся показать, хотя бы качественно, откуда появляются эти члены, д уравнение аосголяял Вам-двр- Ваалэса !) Тот факт, что в уравнении состояния из полного объема газа надо вычйтать именно учетверенный собственный объем молекул, можно объяснить следующим образом. В 5 6 гл. 1 мы получили вероятность того, что л молекул определенным обра- зом распределятся но ячейкам еь мь .... Оказалось, что она равна произведению числа способов, которыми может осуще- ствиться выбранное распределение, заданное числами ль пь ° молекул в отдельных ячейках, на вероятность реализацян са- мого этого распределения. Рассмотрим эту последнюю вероят- ность. При вычислении вероятности того, что и молекул нахо- дятся в определенном элементе объема о, начнем, как и в 5 6 гл.

1, с предположения, что она пропорциональна о". Это, ко- нечно, оправедливо только до тех пор, пока можно пренебрегать размерами частиц, как, например, в случае разрежекных газов. Ситуация меняется в случае больших давлений, когда моле- кулы газа так плотно упакованы, что их собственный объем становится сравним с объемом, занятым газом.

Искомый ре- зультат получают следующим опособом. Пусть о~ — объем мо- лекулы (например, для сферической молекулы „=фп(2! о), где а — диаметр молекулы). Но поскольку центры двух молекул не могут сблизиться на расстояние, меньшее диаметра моле- кулы, эффективный объем каждой молекулы имеет величину з -й-поз= 8онезавнсимо от того, какую форму имеет каждая отдельная мо- лекула.

Вероятность нахождения молекулы в определенномэлементе объема о, конечно, пропорциональна и, как и раньше. Если в тот же элемент объема поместить вторую молекулу, то в ее рас- поряжении будет объем, равный лишь и — 8и;, объем для третьей молекулы будет о — 2 8и и т. д, Значит, вероятность Р нахождения л молекул в объеме и пропорциональна не о", а произведенню и(ю — 8п )(о — 2 ° 8е ) ... !е — (и — 1) 8ю ); соответственно и следует заменить на )~Р,.

Характеристики

Список файлов книги