1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Теория элеягирона Для изотропной среды уравнения. Максвелла имеют вид — — — го( Н вЂ” — — Ф, б(ч Ю вЂ” Цщ5,  — зЕ1 — — +го(Е=О, б(чВ=О, В=рН. Предполагается, что читатель знаком с векторными обозначениями, со смыслом векторов Е, Н, В, В, Ф, так же как н с теоремой знергнн — —;, = ~'8.~о+А, где %'=й У У У( Е'+1Л2)Ыхаунл — злектромагнитная знергия, А ~ ~ „~ 1 ° Ейхйуй» вЂ” объемный интеграл работы электрических сил, а 3= — ЕХО 4н — вектор Пойитинга, с которым мы еще встретимся в прило-. жении 8 (Х означает векторное умножение).
Лоренцева теория злектрона имеет дело только с полями в вакууме, поэтому мы цримем е р 1; предположим также, что, все токи чисто конвекционные, Ф ро, а заряд жестко связан с электроном. В дальнейшем, чтобы связать теорию с механикой, необходимо будет предположить, что поле действует на электрон с механической силой Г- ~ ~ Я Е+ — 'ю Х и) ахаре . Ми (1912 г.) предложил обобщение теорнн Лоренца, е котором уравнения Максвелла для поля остаются неизменными, а вместо простых соотношений Р=еЕ, В=рН берутся весьма общие нелинейные выраження (в которые входят также плотности тока н заряда, векторный н скалярный потенциалы).
Опираясь на этот формализм, автор настоящей книги развил аеднную» теорию, которая позволяла описывать электрон как точечный заряд в поле, обладающнй конечной полной зне!огней. Предположим, что в н р являются простыми фуикцнямн ) полей В н Е 1 !ь е (в тексте вместо В пнсалось Н). Энергия будет тогда равна )ег= —, ~ ~ ~ (еЕв+Ье(р — 1)) Ыхе(усй, в вектор Пойнтннга— ЗемРХВ4ЕХК В статическом- случае-Н=В О, поэтому Р=еЕ=— ! )/ ! — -у-н~ Лля особой точки, как явствует нз уравнения б)т О=О, ямеем Р =;-';, откуда Ую~+а~ Ь Поэтому ноле Е остается конечным даже в центре электрона, где оно равно е е а' ') Мм реееметрввеем теорем в ее первопечельвра формулвровке; в двлькеашем оке бмла модифипвровапе и под валком квадратного корка аовввлсв клев !/Ь'(Н.
л)е; вто, одввко, ве пливет вв етвтвееекве решения. ПлияООсэнил У, Тео1млы инертности энергии Здесь мы дадим математическое обоснование мысленного эксперимента, опнсанного в тексте (гл. 3, $2). Класснческая электродннамнка утверждает в согласии с экспернментом, что ныпульс, передаваемый световым лучом, несущим энергню Е. поглощающей поверхности, равен Е(с (ср. приложение 33).
По этому нмпульс отдачи, полученный ящиком прн излучении, бу дет иметь ту же величину. Если полная масса ящика равна М (см. фнг. 22, стр. 73), то скорость его движения влево в результате отдачи равна о, как следует нз закона сохранення нмпульса Мп Е/с. Ящнк продолжает двнгаться все то время, пока свет проходят расстояние 1 от нсточннка (1) до прнемника (11).
Есля пренебречь членамн высших порядков, то это время 1 будет равно 1/с; за это время ящик переместится влево на расстояние х оФ=Л; т. Ьт Л)ст ' Чтобы не вступать в аротнворечне с законом движения центра тяжести, мы должны, как указывалось в тексте, цредположнть„ что перенос энергнн от прибора 1 к прнбору 11 сопровождается одновременным переносом массы в том же направленнн. Если обозначить эту пока что неизвестную массу через лт, то измененне полного момента прн таком перераспределении масс будет равно Мх — т1. По закону движения центра тяжести зта разность должна быть нулем.
Подставляя для х значение, найденное выше,лолучаем фбрыулу Эйнштейна для т: х Е ш=М-Г ---с . 8. Вы шсление иоз(1эЯициенгиа рассеянии света иа свободных «истинах Вычисление коэффнцнента рассеяния мы начнем с нзвестной формулы для нзлучення днпольной антенны. Согласно Герду, поле днполя с моментом р равно !Е1=1Н) —.)ф з(п Х. Электрический вектор перпендикулярен магнитному, причем они лежат а плоскостн, перпендикулярной к направлению распространення света; 2 — угол между этнм направлением и направ леннем колебаний днполя, а г — расстояние до днполя. Необходнмым условием прнменнмостн этой формулы является требо« ванне, чтобы г было гораздо больше длнны волны нзлучаемога й Вмиисссмии иосффициснга рисссииии света, нлн, другими словами, формула справедлива только а так называемой волновой зоне.
Чтобы применить эту формулу к нашему случаю колеблющейся частицы, заметим, что она представляет собой переменный электрический диполь с моментом р=еа, где а в отклонение электрона от положения равновесия в данный момент времени. Тогда энергия, излучаемая в единицу времени е определенном направлении, выражается через вектор Пойнтннга, который ортогонален к Е н ст, н имеет величину 1г(х)=181=1у1Е11Н1= ~занге(п'х. Сюда все еще входит отклонение от положения равновесия, точнее, его вторая производная по времени.
Ее можно определить нз уравнения, опнсывакнцего двнженне электрона под действием падающего света, т. е. и отсутствие других снл: «ьт = аЕс. Отсюда видно, что з перпендикулярно падающему лучу. Если полярную ось выбрать вдоль этого направления, а азимут отсчитывать от плоскости, проходящей через точку наблюдения, то мы получим соз х = соз е з(п 9. где а — азимут направления з. а 9 — полярнйй угол линии на- блюдения. Таким образом, з1пс Х = 1 — созс а з1пс 9. Если падающий свет неполяризован, то необходимо усредннть ето Равенство по ок это сведетсЯ к замене созэа-и'/з, а з(пий при этом перейдет в 1 — '/и з1пс 9.
Далее, Е,— электрический вектор исходной волны — связан с интенсивностью падающего света следующнм соотношением 1с = т'=-1Е', (1Нс1= 4. Е,'. После подстановки этих величин в уравнение движения формула для 1 (Х) приводится к виду (Дж. Дж. Томсон) 1 1 — -с з$и' Е уе) = А)' — и — — ю Интегрируя по поверхности сферы радиуса г н используя формулу з(пойло= ~ ~ з(п'Ого з1п ОИОсЬр=2пга ~ з(па ОНО = и-пга, в е е е получим полную энергию, рассеянную свободной частицей, 2 ее - Вн (оа'1у уг= з са (а('=-й-ф~г) уо.
Поскольку квадрат массы рассеивающей частнцы зходнтздесь в знаменатель, протон н атомные ядра рассенвают свет в несколько мнллнонов раз слабее, чем электрон. Р. Формул Резврфордуу для рассеяния а-ееустнуВ Согласно Резерфорду, ядро атома (несущее заряд Ее) н сс-частнца (нмеющая заряд Е н массу М) отталкиваются с ку- Ф в г. 1Е2. Гааербоамоесваа трави» торим рассеевав е-частицы на яууе.
о и у-воауееи еивеуауам. а-уаеееои. иие меиау ее Еоиуеом и вевеуом уае ееиаие- Уеоа еъмаеееаии Е л з3. лоновской силой ЯеЕ/га. Если считать тяжелое ядро покоящнмся, то траектория еу-частнцы будет ветвью гнперболы, один нз фокусов которой совпадает с ядром К (фнг. 102). Пусть Ь— расстояние ядра от аснмптоты гиперболы. В отсутствие отталкнвання зта аснмптота н была бы траекторией а-частнцы.
Далее, обозначнм расстояние ядра К от вершины гиперболы через д; тогда и = в(1+соз О), У. Формуле РеэерФорав двп рассеивв в-чвсгия 36$ где е — линейный эксцентриснтет (т. е. расстояние от центра О до фокуса К), Š— угол между аснмптотой н осью координат. Из фнг. 102 легко усмотреть, что ь эТйй н поэтому Ь(1+осе Е) Е . ю= — вт — ь ч 2. Ь, очевидно, разно длине меньшей полуоси гиперболы. Найдем сначала связь между сприцельным параметром удара» Ь н углом отклонения в, который, как видно нэ чертежа, равен я — 20.
Для этого рассмотрвм законы двнження и-частицы. Прежде всего воспользуемся законом сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергии постоянна. Пусть и — скорость а-частицы на очень больших расстояниях от ядра, где полная энергия состоит только нз кинетической. Приравняв эту энергию к полной энергии а-частицы в момент прохождения через вершину гиперболы, мы получим 1 1 код . 'э Мт' '7Мео+ в Разделив это Равенство на ~/эМтР н положив длЯ кРаткости ХеЕ .и запишем его в вяде 4-- 2Ь »1п Š—.к=1 — -Г Г~=МЪ" Далее, нэ закона сохранения момента следует, что МеЬ = Мтьру, нлн ос Ь Мпз и К ~+сов о ( раас мп* е 1 — сое е ) тспГ5у тстн' Подставив эти велнчнны в предыдущее уравнение.
получим после небольших преобразований Ь Япа =ИВ, нлн, так как у=я — 29, Ь=йсгВ е.. Это уравнение связывает отклонение а«частицы с величиной Ь вЂ” расстоянием от црямой, касательной к траектории а«частицы в бесконечности (асимптоты) до ядра. Теперь легко найти число а-частиц из падающего параллельного пучка, отклоняющихся на определенный угол. Представим себе плоскость Е, находящуюся на большом расстоянии Ф п г.
103 Отпосптеаьиап частота рассепппп а-частиц парами и некоторой опрехелеппой области утлоа от К и перпендикулярную падающему пучку; пусть С вЂ” основание перпендикуляра, опущенного из К на Е (фиг. 103). Очевидно, все я-частицы, которые, пересекая Е, нронодят через кольцо, образованное двумя окружностями с -радиусами Ь к Ь+с(Ь, будут отклонятъся на углы, лежащие в интервале между ц и у+Ну. Если через квадратный сантиметр плоскости Е проходит одна частица в секунду, то число частиц, прошедших через рассматриваемое колъцо, равно сЪ=2яЬЫЬ, где Отсюда мпт( /д ~ Это и есть число частиц, угол отклонения которых заключен в интервале между у и у+Ну; частицы однородно распределены по поверхности пояса на единичной сфере, площадь которого равна 2пз1пуду. Позтому 1г(у) — число частиц, которые после нх Компгоп-зффопг отклонения пересекут единицу поверхности этой единичной сферы, составит Ып!2к з1п у йр, так что вероятность отклонения в единицу телесного угла будет равна (й)=~- —,',, =Я$)' —,', .
по~ .2 мп' -2. Это н есть формула рассеяния Резерфорда. Любую устанавливаемую ею взаимосвязь (между 2, М, и, ф) можно проверить экспериментально, подсчитывая рассеянные а-частицы. Правда, зависимость от о можно экспериментально проверить,только в малой области, так как а-частицы, получаемые нз естественных источников, имеют почти одинаковые скорости.
В общем экспернментальные результаты чрезвычайно точно согласуются с формулой Резерфорда. Конечно, для легких атомов нужно учнтылать отдачу ядра К прн столкновении с а-частицей. Это легко сделать. Заметное несоответствие было обнаружено только прн почти центральных столкновениях (отклоненне почти на 180') с легкими атомами (заряды этих ядер малы, поэтому падающая а-частица очень близко подходит к ядру). Однако мы не будем вдаваться здесь в этн детали. Поскольку заряд н масса а частиц известны (это ионы Нез+; для ннх М=4Мн, Е 2е), а нх скорости можно определить нз опытов по отклонению в полях, то формулу Резерфорда можно ислользовать для определения зарядов ядер Я.
Прн этом требуется знать лишь количество рассеивающих атомов в единице объема н подсчитать число а-частиц в пучке до рассеивающего елея н за ннм. Например, точные опыты Чэдвика дают следующие значения 2: платина серебро медь 77,4 46,3 29,3, в то время как нз перноднческой таблицы следовали бы числа 78 47 29. Превосходное согласие между двумя столбцами цифр подтверждает фундамейтальное предположение об идентичности заряда ядра н атомного номера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
