1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Поэтому, окнраясь на естественное предположенке, что 4у нас фзэ в И. Осца,влатор е фибра мал лэзззэзз мы должны получить (ы-г >а -О, т. е. лабо л„О, либо в ~во. Значит, все величины ч обращаются в нуль,ва исключением тех,для которыхе +аз илн в~ь — вь Так как мы еще не устаиавливалн нумерацию матричных элементов и можем сделать это проивволнным спо- собом, то введем следующее правило: частота я +аз соот- ветствует переходу ив и-го состояния е (и — 1)-е (непускание кванта), а в — а~ — переходу нз л-го состояния з (л+1)-е (поглощение кванта), так что р„„О, если зачь и й 1, д, чьО, если гн=п'с1. Позже мы убедимся, что такой порядок удобен, так как отдельным строкам (илн столбцам) с ббльшими индексами соответствуют состояния с большей энергией.
Мы должны, однако„на. стоятельно подчеркнуть, что выбор нумерации никоим образом ие ограничивает общности решения. Итак матрица координаты имеет внд О дм О О ... ( д„о Вм О ... О дм О д„... Матрица импульса имеет аналогичную форму', нз уравнення р=ньр следует, что Р в (лаев Фэи поэтому О %иди О О вмтм О ~эдом О О ем ΠΠ— ΠΠ— дм тм О О е учетом установленного выше правила для величин е Поооо1жояом Нас особенно интересует вопрос об уровнях энергии. Поэтому, исходя иэ классической функции энергии Иг — + -~; ~ц~ у — (ф + «ооа'я~, 1 Ф 1 о 1 вычислим матрицу энергии, используя для этого приведенные выше матрицы координаты и импульса.
Нам понадобятся квадраты ф' и р~. Их получают по правилу умножения матриц, приведенному в тексте (гл. Ч. 5 3). Если а н Ь вЂ д матрицы, то элемент их произведения с=ад определяется как с -~а„обо . Применяя зто правило, легко получаем два выражения: фогфи> О фоофа О ф„ф„+ф„фи фо1Юо О фифи-+ф„ф фо1ф1о Π— фоофа О ф„ф„+ф,,ф„ о= — фогфа О фиф„ +ф„ф„ Подставляя эти матрицы в выражение для энергии, получаем матрицу зйергий фо1ф1о О О О ф„дм+ ф„ди О о О О фифи+ фифа ... Прежде всего здесь бросается е глава, что в этой матрице отлячны от нуля только элементы на главной диагонали.
Это, в сущности, эквивалентно закону сохранения энергии, именно тому, что энергия в данном состоянии не зависит от времени, Доя1ствительно, временнйе множители уничтожаются во всех диагональных членах; например, первый член должен бы иметь временнбй множитель е'" 'с'~с; но он равен единице, так как — оья 'ам. Отдельные члены на главной диагонали представляют энергии соответствующик индивидуальных состояний; действительно, элемент йг дает энергию п-го состояния, Однако матрица И.
Овямааагор в мвграанол мваамаае энергии содержит элементы еще ие целиком определенной матрицы координаты. Их, однако, можно найти при помощя перестановочного соотношения рЧ вЂ” Чр Ь/2по, после чего можно получить уровни энергии. Если, следуя этим правилам, подставить матрицу координаты и импульса в перестановочное соотношение, то легко получается матрица ЧоЧи О 0 0 ЧооФм — ФиЧоо 0 0 ЧаЧа — ЧмЧи Эта матрица должна быть равна Ь~2оп', или, более точно, произведению Ь/2яо на единичную матрицу 1 0 0 ... 0 1 0 ... 0 0 1 ... Значит, соответственные элементы матриц должны быть одянаковы, откуда получаем систему уравнений л Чо1Фо= 4, ° з Ф1оФог Чо1Ч1о фцщр 3 ЧмЧоо — ФиФи = ом,аеа ° Решение системы дает 3 Че а+1Чаа-не ! Фа, е+1! =(л+ 1) х~~~ ° Подставив эти выражения в матрицу энергии, мы и получим общий вид диагонального члена ее = Ее = ш о(Фе, а+и?а+1, а+Фа, а-1Че-па) =-~ — (2п+1) йто(а+ — ) (и=О.
1, 2, ...), Таким образом, для нашей системы термов мы снова получаем последовательность равноотстоящих энергетических уровней, как н в теории Бора, Единственное различие заключается в том, 11 рилогеемяа что в квантовой механике вся система термов смещена ао сравнению с боровской на половину кванта энергия.
Хотя эта разинца н не проявляется в спектрах, она играет определенную роль в проблемах статнстнкя. Во всяком елучае, важно иметь и выду, что линейный гармонический осцнллатор в низшем состояний обладает энергией Чтете, так называемой нулевой энареивй '). 16. Осцнллягнор в волновой лавлчзнннв Здесь мы получям решение волнового уравнения для линейного гармонического осцпллятора.
Уравнение выгладят как (ф-»- ~' (й — фУ)1ф=о. Полагая у' ' ~ Х л (ма= пте ~ )' приведем его к виду ~ —,-+Л вЂ” атдт)ф=О. вд2 Здесь Л вЂ” собственное значение; мы будем искать те значения Л, для которых во всем пространстве уравненяе имеет конечные н однозначные решения. Можяо сразу же записать одно нз его решений, именно, так называемую функпню ошябок Гаусса: ф лев чгаг а.'а гзев иретмтв где собственное значение Ле сс, что легко проверить обратной подстановкой решении в волновое уравнение. Соответствующая энергия прн этом равна «го 1 Ее=~у - =.у Ьте.
Можно сказать наперед, что это член с низшей энергией, соответствующий основному состоянию. Итак, мы пришли к результату, полученному матрнчным методом, а ~менно к тому, что основное состояние обладает конечной энергией, равной йоловине планковского кванта энергии. '~ Надо еаметить, что аерекод от классаческого оаасеааа некоторой системы к кваатовомекеааческому ие совершаетса одаоввачао — мм всегда можем добавить к вмражеиюо дав эаергаи любую добавку. ароаориаоиаль яую коммутатору р к а, ие аемеиив тем свммм классической системы. Поэтому пулевую ввергаю кваатоиомехаиаческого осааллятора следует рассматривать скорее кек эксяерамеительамй факт, чем как следствие теория: можае представать себе и осдиллатор бев аулевой эиергюе.
Прка. ред. Для отыскания остальных решений волнового уравнения удобно предположить, что ф имеет следующий вид: Ф=е ' 'е(Ч). Если подставить это выражение в дифференциальное уравнение, то несложное вычисление приводит для о к диффереяциальному уравнению вида Ю~е Ыо — — 2ау — + (Х вЂ” о) я = О. ~д. ле (Множитель з-'зч4' исчезает вследствие однородности уравнения,) Это дифференциальное уравнение имеет следующее важ ное преимущество перед волновым уравнением.
Мы можем принять, что функдия и разлагается по степеням и в ряд типа е= Д~ а„у". таз Подставляя этот ряд в дифференциальное уравненяе и приравнивая к нулю сумму коэффициентов при каждой степени д, получим рекуррентное соотношение (т+2)(т+1)а„+а+ (Э.— а(2т+1)) а„=О, связывающее только два коэффициента, тогда как попытка решить волновое уравнение прн помощи разложения ф 'привела бы.к рекуррентным соотношениям, связывающим три коэффицяеита. Полученное нами рекуррентное соотношение дает воз-можность вычислить коэффициенты степенного ряда.
Однако подробное исследование показывает, что полученный этим способом ряд прн д-асс растет быстрее, чем еа'ч', так что найденные волновые функции неограняченно возрастают на бесконечности. Если степенной ряд не оборвется на какомто члене, то волновые функции не будут сходиться; степенной ряд при д-асс будет расти быстрее, чем е4'~*, Ряд обрывается прн некоторых, специальных значениях параметра А; действительно, из рекуррентного соотношения сразу видно, что это происходит на члейе, для которого т и, при условии, что исчезает множитель прн а, т. е. если Х Аа «(2а+ Ц.
Подставляя сюда значение величины 3„получаем выражение. для энергии йт, (и+ф), Ждкно строго доказать, что днфференциальноеуравнениеимеет решения нужного вида только при этих значениях Е., Фактически решения имеют вид произведений приведенной выше экспояенты иа конечпыэ полиномы по и порядка и; в математической литературе их называют полиномамн Зрмнтз. .Для нас важно отметить, что и волковая механика, и матричная механика дают одинаковые уровни энергии гармонического осцнллятора, именно последовательность равноотстоящих термов, причем с тем характерным отличием от теории Бора, что термы смещены от нуля на величину Чзйть т.
е. на половину ,расстояния между ними. 17. Ко ввбвммя мрузлоя мамбринзз Решение дифференциального уравнения для колебаний круглой мембраны ьф+хф-О (ь=.~* +~~) легко найти, перейдя к полярным координатам. В этом случае,' .как известно, дифференциальное уравнение принимает вид ф"+-,' ф+~-9"+И=О, .Мы видим, что решение можно искать в виде произведения функции Я, зависящей только от г, на функцию Ф, завнсящур только от у. Друппаг-словами, в полярных коордйнатах переменные раэделяютсн.'В' этом случае уравнение можно расщепить на дза обыкновенных дифференциальных уравнения с не.зависимыми переменными г н м соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
