1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Это показывает, что ЬЬ(~ является полным дифференциалом* а р — «интегрирующим множителем» для сообщенного тепла. Таким образом, статистическая теория автоматически приводит и ко второму закону термодинамики, утверждающему, что Ь(~ имеет интегрирующий множитель, а именно обратную абсолютную температуру: ЬЦ -е =ЬЯ, где 3 — энтропия. Следовательно, р пропорциональна ЦТ; полагая 1 р= «т мы получаем яз сравненяя двух формул 8= й!п Иг, что и представляет собой знаменитую формулу Больцмана. 86.
Термовеэянгнроннвя вмнесня Здесь мы получим две формулы, приведенные нами в тексте для термоэлектронной эмиссии 1эффекта Ричардсона], сначала иа основе классической статистики, а затем статистики Ферми — Дирака. Для этого требуется найти число электронов, ударяющихся за секунду о квадратный сантиметр поверхности металла, и причем таких, у которых кинетическая энергпя перпендикулярной к поверхности составляющей движения достаточна для преодоления энергетического барьера высотой эг у поверхности. Следовательно, мы должны на основе закона распределения найти число электронов, для которых, например„ ~;его„~ье . 1 Начнем с классической статистики. Здесь число электронов, скорость которых лежит между о и и+~И, равно г1И=4тшу( ~~~ ~~'е-'Ь '~'гчРДа (гл.
1, $6); аналогично (если заменить 4аоМо на Ио,е(офи, с последующим интегрированием) число электронов с компонентой скорости между о и о -(-Фа равно +со +со ЙИ„=лУ(-~-~-) 'Фо„~ ~ е * ( + г+'4 йо„йо,= <о Чтобы получить число электронов, падающих на единичную площадку поверхности за секунду, мы должны сначала разделить полученное выражение на У, перейдя тем самым к плотности злектроиов, а затем умножить его на и, так как за единицу времени поверхности достигают все электроны с компонентой а, содержащиеся в слое толщины о, прилегающем к поверхности (гл. 1, $3). Таким образом, ток эмиссии выражается интегралом ОЭ М=еп ~ — ~- ) о е ' сЫ„.
Г -<ьпсфэг М%( Этот интеграл можно взять, получив выражение 8=ел у ~--е -~ И -чэт которое и приводится в тексте. Аналогичным образом проводится вычисление и в случае распределения Ферми. Здесь мы начинаем с функции распределения (гл; У111, $6): ач — о —. ~ — ~Ю). ЗвУ )~Ы~ракэ г 1 Ьэ еэ+ч +1 1 2 ЗГ. Темнеритурнии еиииеииоетв дея иириииенетиеми 489 где параметр вырождения а определяется из дополнительного условия ~ Фе'е'=т1.
Если, однако, ограничиться сравнительно низкимн температурами (раскаленные катоды), то можно использовать приближенную формулу, данную в гл. ИИ, $ У, ВсУ 3~2рае)~вдв МУаР ие4Ги где представляет собой нулевую энергию. Здесь, как и раньше, мы получаем рнчардсоновский ток, вычисляя интеграл +~э +ею ФФ ~=~(е„1е, 1 е,,—. — о -а 1/%~а Но для раскаленных катодов (⻠— вв) всегда очень велико по сравнению с йТ, поскольку (зе — ав) составляет несколько электрон-вольт (гл. УП1, 9 й), тогда как йТ при 300' К соответствует энергии около 0,03 эв. Следовательно, в подынтегральном выражении всегда ев-ьивт ~1, так что в знаменателе можно пренебречь 1, приходя таким путем к интегралу +ее +ее -со -«о 1/%ии Интегрирования по о„и ое эквивалентны вычислению интегралов Гаусса (см.
прйложение 1); интегрирование по о„, как н раньше, проводится элементарно, и мы получаем равенство ~~ (и и (ве ве)~вт т. е. закон, приведенный в тексте. ЗУ. Темавратяурная зависимость 6*я аарамагкетазма Чтобы понять зависимость парамагнитных свойств от температуры, рассмотрим сначала упрощеняую модель парамагннтного вещества. Вообразим, что вещество состоит из большого числа частиц, имеющих одинаковый магнитный моментМ.
31 М. зови Пренебрежем также на первое время квантованием азимута, т. е, предположим, что этот момент может быть наклонен к направлению поля под любым углом В, а не только под некоюрыми определенными углами. Пока частица движется в магнитном поле, не испытывая возмущений, ее магнитный момент, всегда связанный с механическим относительно той же оси (ср., например, со случаем гироскопа), будет прецессировать вокруг направления поля, причем угол В наклона магнитного момента к полю остается неизменным, Магнитная энергия для такой ориентации равна Е = — МН соя В.
Однако в результате взаимодействия с другими частицами (столкновений) такое равновесие нарушается, причем угол наклона момента после столкновения отличается от такового перед столкновением. Из кинетической теории мы уже знаем, что обусловленные тепловым движением столкновения приводят с течением времени к равномерному распределению частиц по всем возможным состояниям (здесь по возможным углам наклона к полю).
Однако этому выравниванию противодействует магнитное поле; положения момента в направлении поля энергетически более выгодны, чем положения в противоположном направлении. Таким путем устанавливается состояние равновесия, которое можно найти статистическими методами. Говоря о кинетической теории газов, мы уже показали, что статистика дает для вероятности состояния с определенной.
энергией закон распределения -Больцмзна, согласно которому определенное состояние с энергией Е имеет вероятность 1й, а-згьг Форма зависимости этого выражения от температуры Т следует из термодинамических соображений; й есть постоянная Больцмана. Следовательно, в нашем случае вероятность расположения магнитного момента под определенным углом В к направлению моля равна 1»' — е зг =з" ' (Р= — ~-). Найдем теперь средний магнитный момент в направлении поля.
Если бы поле равнялось нулю нли если бы тепловое движение (в случае очень высоких температур) преобладало над ориентирующим действием магнитного поля, так что распределение по направлениям стало бы почти однородным, то средний магнитный момент в любом фиксированном направлении, в частности в направлении поля, приближенно (либо точно) равнял- 87. температурная еааисимость дяя аарамаенатиема 471 ся бы нулю. При низких температурах нли в столь сильных магнитных полях, что магнитная энергия ИН достигает величин того же порядка, что и энергия теплового движения йТ, появляется заметная предпочтительная ориентация в направлении поля, приводящая к конечному среднему магнитному моменту и этом направлении.
Придерживаясь классических представлений, согласно которым равновозможны все направления момента, мы легко можем провести вычисление. По определению соевая' Еыпзке Лсозй=М аз'~ее~аз Кз е Вычисляя интегралы. получаем к -в ле сов О = М-р 1и ~ ав"" е в(п Осей = М вЂ” ! и: 2У' ар о =М~~~+' — ~1) =М(с(пр — ф). В предельном случае р<й" 1, т. е. в случае слабых полей или высоких температур, разложив в ряд по степеням р, получим выражение Мсовй=М(й-Р+ ...)=-ййу-.
1 МеИ Однако в этом предельном случае мы могли бы прийти к ответу и более простым путем, проведя разложения в ряд по р в формуле, определяющей Л сов й. Тогда сое 9 (1+ р сое 9+ ...) а~о 9 Из М сов О ='- М ' ~ (1+Оспе 9+ ...)е1пзаз с Первый член в числителе обращается в нуль после интегрирования, а второй дает 2Р/3. В знаменателе отличен от нуля первый член, причем равен 2.
Частное дает приведенное выше выражение. Весьма важно, что та же формула следует из вычислений на основе квантовой теории, т. е. при учете лишь конечногочисла возможных положений момента. Предположим, что р мало, а результирующий механический момент велик. То, что в этом случае мы получаем классический результат для М соей, становится понятным, если рассмотреть принцкп соответствия (пределъный случай больших квантовых чисел). Все же желательно, по-видимому, чтобы читатель сам убедился в справедливости этого утверждения, непосредственно вычислив суммы Если результирующий механический момент равен 1, то имеется йу+1 возможных положения момента относительно направления поля; действнтелъно, проекция 1 на это направление может принимать значения — у, — 1+1, ..., +1.
Поэтому в предыдущем вычислении мы должны лишь заменить соз 6 на шЦ, а интег алы — с ммамн: Р У Х=' Мсозб=М + е~ -У Разлагая по степеням р и исполъзуя формулу а найдем +/ Х-"(1+ — '"1 1жэн+ц 3'плавт м '„= 1ь — чтт— Х1'+ — ') -l мр у+1 3 у ° или для болъших значений / Мсоз 6 =-й-. Мр что мы уже получили классическими методами.
Восприимчивость Х определяется как магнитный момент моля рассматриваемого вещества на единицу напряженности поля Н: 1.М* <ЬМ1з Х=-эху =-т,— э Эта формула известна как закон Кюри; магнитная восприимчи- вость обратно пропорциональна температуре, т. е. с ростом тем- пературы паданг. В заключение сделаем несколько коротких замечаний о принятых выше упрощениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
