1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 64

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 64)

т'Ш. 1(еаатоеая статистика вся теория теряет смысл). Если А»1, то появляются отклонения от классических свойств; тогда мы говорим, что газ аырозсдаи. В этом случае дополнительное условие прйводит к трансцендентному уравнению для А, которое можно решить с помощью разложения в ряд по степеням п)гЧ(2жййТ)ч~, причем первый член разложения совпадает с выражением, полученным для А в предельном случае А~1: ваз / 3 лаз А= , /1 (2июЗТ) Ь ~ 4 (4алгаТ) Ь ) Подставляя частные значения постоянных лт, гз н Т, мы можем выяснить из этого уравнения, вырожден газ при таких условиях или нет. Прежде всего мы видим, что в самом общем случае А увеличивается, а вырождение становится соответственнобольше когда увеличйвается и, т.

е. плотность; с другой стороны, А уменьшается с увеличением температуры и атомного веса. Возьмем пример: для водорода при нормальных условиях (для Т=300'К, л 3 ° 10'е см-з) получается А 3 ° 10-еср.1, а для тяжелых газов А становится еще меньше; следовательно, прн нормальных температурах и давлениях газы никогда не бывают вырождены н ведут себя согласно классическим законам. Вырождение стало бы заметным лишь при недостижимо низких температурах или исключительно высоких давлениях, т. е.

еобластях, где, даже согласно классической статистике, газы боль ше не ведут себя как идеальные (влияние конечного размера частиц, конденсация газа и т. д.). Итак, статистика Бозе — Эйнштейна в применении к газам в той области, где справедлива кинетическая теория газов, практически. не обнаруживает от-. личий по сравнению с классической статистикой Больцмана.

Было, однако, предположено (Тисса, 1935 г:, Ф. Лондон, 1939 г.), что теорию Эйнштейна можно применить к аномальному поведению жидкого гелия при очень низких температурах, Детальное изучение уравнения состояния вырожденного газа показывает, что при очень низких температурах имеется скачок, когда происходит нечто вроде конденсации газа, при которой огромное большинство молекул переходит в основное состояние. Вычисленная температура перехода достаточно хорошо совпадает с экспериментальной точкой (Т 2,4 К), при которой на ступает аномальное, так называемое сверхтекучее состояние гелия. Однако все еще сомнительно, может ли эта модель учесть странные свойства гелия в этой области, и были предложены другие объяснения (Грин, 1948 г.) ').

') Каи вмисивлось, дли ирвиеиевии модели амровгдеииого боае-гава и описаикю сверхтекучести жидкого гелии сувгествеиио иеобходкио учитмаать взаимодействие молекул (Богоюобов, 194у г.). — Праа. ред, б б. Сгагистивв Ферми — Диввва З1б ф 6. Статаствка Ферма — Дарака Мы показали в $4 этой главы, что введение в статистику принципа неразличимости приводит к двум, н только двум, новым системам статистики. Одну из них, статистику Бозе — Эйнштейна, мы подробно обсуждали в последних двух параграфах (световые кванты, молекулы газа). Теперь обратимся ко второй возможной статистике, основанной на принципе Паули и предложенной Ферми и Дираком. Как мы виделн в 5 4, зта статистика тесно связана с использованием принципа Паули: мы отмечали, что собственная функция состояния, в котором два электрона имеют одинаковые индивидуальные собственные функции (учитывая четыре квантовых числа, в том числе квантовое число спина), автоматически обращается в нуль.

Чтобы разобраться в природе этой статистики, мы воспользуемся моделью газа, состоящего из электронов, подчиняющихся, как экспериментально свидетельствувт спектроскопия, принципу Паулк. В этом случае наша первая цель опять состоит в нахождении распределения электронов по отдельным ячейкам. Однако теперь мы должны иметь в виду, что ячеек вдвое больше, чем в предыдущем случае, когда рассматривались атомы газа, вследствие того что возможны два направления спина; с другой стороны, ин одна ячейка ие может быть занята более чем одним электроном, или, другими словами, «числа заполнения» ячеек в этом случае могут равняться либо О, либо 1. (Мы можем, конечно, принять другое предположение, а именно, что число ячеек в каждом слое то же, что и раньще, но в.

качестве компенсации отвести электронам два возможных места в каждой ячейке соответственно двум направлениям спина.) Как и раньше, мы начнем с перечисления различимыл распределений. Пусть в з-м слое находится и, электронов, распределенных по я, ячейкам этого слоя, поэтому нз й, таких ячеек л, будут заняты одним электроном (1), а Ы,— и, будут пустыми (О).

Мы характеризуем такое распределение, задавая каждой ячейке ее число заполнения яг ~в яв «е яв яе ят яв яе ям ° ° ° 1001110100 или указывая незанятые ячейки и те, которые заняты одной частицей, 0 1 яе яв ят яв зм ° ° ~зе яе яв яе яв ° ° Ясно, что имеется й,! таких распределений соответственно числу перестановок и, ячеек х в этой схеме. Но среди этих распре- Гя 7Ш. делят«еая «тятлетялл зш делений одинаковым состоянням (в омысле заполнения) ссютветствуют все те, которые отличаются друг от друга только перестановкамн л, заполненных ячеек нлн перестановками К,— л, пустых ячеек. Поэтому «вероятность» распределення, характернзующегося чксламн заполнення пь пь ль ...

отдельных ячеек, равна » П Яд~ л,!!л,— л,)! ' нлн по формуле Стнрлннга 1п Ю 3 (й',!пав,— п,1п.л,— (й',— а,)1п(й',— и,)). Как н раньше, мы хотим найти наиболее вероятное распределение, подчиняющееся двум дополннтельным условиям: Хл, л1, Ха,«,=Е. я » Мм получим его обычным образом: = — !и и +! и (й', — л,) = 1п Х' —:"-~ = а+ ре л, илн и = т, е. за исключением знака «+» в знаменателе, формула та же, что н в случае статнстнкн. Йозе — Эйнштейна.

Однако эта разинца в знаке несет с собой существенное раэлнчне между рассматрнваемым случаем н случаем статистики Бозе — Эйнштейна. Дело в том, что а теперь может прнннмать все значення от — со до +со, а параметр вырождения А е « — все значения от 0 до +со; прн этом знаменатель функции распределення всегда больше 1. Подставляя теперь значение н, (с множителем 2 для учета двух направлений спина), мы находим, так же, как н выше (5 $ втой главы), закон распределення Ферма— Дир ока яч=г»>~я- — ~ (1 — 1.

зяу 3~Б!ху'в ле г 1 аа е«1 ! (, аУ! Как н выше, параметр вырождения определяется нз первого дополнительного условия ИО ~ аФ ~ Р(е))~е Из=И= пУ; е з1в Гс. у!П. дааатасаа статастшса абсолютной температуре. Однако старые теории неизменно приводили к трудностям в объяснении теплоемкости металлов. Экспериментально установлено, что металлы подчиняются закону Дюлонга и Пти, т. е. их теплоемкость, отнесенная к1молю, равна 6 пал/град. Это можно было бы сразу объяснить, если температура металла определялась бы только энергией колебаний атомов в решетке, так как на один узел решетки приходится в среднем энергия 3йТ.

Но для объяснения процесса проводимости и других связанных с ним явлений необходимо предположить, что каждому атому (иону) соответствуетприблизительно одни свободный электрон. Свободные электроны принимают участие ~в тепловом движении з металле; в действительности (как показывает закон Видемана — Франца), в основном оии и ответственны за высокую тепловую проводимость металлов. Поэтому, согласно классической статистике, каждый свободный электрон в металле будет обладать средней кинетической энергией с/сйТ, а тогда теплоемкость металла на один атом равнялась бы не Зй, а около (3+с/э)й, т.

е. молярная теплоемкость равнялась бы 9 кол/град, что противоречит опытным фактам. Эту трудность преодолели Паули и Зоммерфельд (1927 г.), которые отметили, что законы классической статистики нельзя применять к электронному газу внутри металла, ибо он обязан вести себя как вырожденный газ. Действительно, масса электрона е 1340 раз меньше массы атома водорода, поэтому при комнатной температуре (Т 300'К) и плотности электронов и 3 ° 10'с, соответствующей плотности газа при давлении з 1 атм, величина параметра вырождения Ая для электронов равна Ая=Ан'-у(1340)ъ=АнХ4 ° 10' — 1, 2, где Ап обозначает параметр вырождения для водорода при тех же условиях; следовательно, даже в этом случае А †величи порядка 1. Для электронного газа в металлах значения А оказываются даже гораздо ббльшими.

Число атомов в 1 смс серебра равно и 5,9 ° 10сэ. Как уже отмечалось, мы должны предполагать, что имеется, грубо говоря, один свободный электрон на каждый атом; поэтому для таких величин тт первая приближенная формула дает для А значение около 2300; следовательно, в этом случае газ вырожден в высокой степени. Правда, прн столь высоких значениях А нельзя применять первую прйближенную формулу и следует яспользовать вторую, но даже она дает все еще высокое значение: А 210.

Таким образом, электронный газ в металлах во всяком случае сильно вырожден— его свойства существенно отличаются от свойств обычногогаэа. э У. Элвнуроннен уворыа нвуаллое. Равнрвдвлвныв не лнврлаи 31Я Наиболее важные особенности функции распределения Ферми — Дирака состоят в слабой зависимости распределения от температуры- и в появлении нулевой энергии, Последнее свойство тесно связано с принципом Паули. В классическойтеории газов абсолютный нуль характерен тем, что при этой температуре обращается в нуль средняя кинетическая энергия частиц газа, а вместе с ней н энергия каждой отдельной частицы; следовательно, с классической точки зрения при абсолютном нуле частицы газа покоятся.

Характеристики

Список файлов книги