1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 62

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

е. величину я, ел/ар мы называлн статистическим весом ячейки. В нашем случае допустимые импульсы принимают лишь дискретные значения. Поэтому статистический вес ячейки в, определяется просто числом целых точек (иь иэ, и»), лежащих внутри ячейки. Это следует из принципа соответствия, поскольку необходимо, чтобы квантовая теория непрерывно переходила в класснчеекую. Очевидно, среди всех ячеек, содержащих хотя бы одну целую точку, найдется наименьшая. Обычно в квантовой статистике слово «ячейка» употребляют для обозначения именно й 4.

Стативтииа Боев — Эйаивтвйиа оаа ееетоеыи аеаитое 30о этой минимальной ячейки, т. е. фактически для обозначения некоторой тройки чисел ль пъ пь Поэтому мы должны найти кахое-то другое наименование для статистически элементарной области нмпулъсного пространства то,. Назовем та, «споем». Число ячеек (пь ла, пв) в слое в, мы будем называть его статистическим весом лв. Выберем теперь в качестве слоя область, заключенную между двумя сферамн радиусов р н Р+бр- Вообще говоря, разделение импульсного пространства на слон может быть совершенно произвольным; конкретный выбор диктуется лишь соображениями формального удобства.

Число ячеек (т. е. число допустимых состояний), содержащихся в шаровом слое, определяется полученной ранее формулой для числа собственных колебаний электромагнитного поля в частотном интервале от и до и+би ($2 этой главы). Вспоминая соотношение р=йч(с, получаем й' =2-р-чтбч =2вт-фйр. Из этого выражения видно, что тот же самый результат мы получилн бы, разделив все фазовое пространство, т.

е. пространство координат н пространство импульсов вместе, на наименьшие ячейки объемом йв н подсчитав затем число ячеек, попавших в объем т координатного пространства н з шаровой слой от р до и+Ьр нмпулъсного пространства. Принимая во внимание удвоение числа состояний за счет поляризации, находим таким образом 4а,вт ь,ау нв Ьв ° что совпадает с полученным ранее выражением.

Новый метод счета отличается от обычной больцмановской статистики только тем, что в согласии с требованиями квантовой теории наименьшей нз ячеек, на которые разбивается фазовое пространство, приписан определенный объем. В обычной кинетической теории газов, за исключением случая вырождения, который мы рассмотрим позднее размер ячейки не играет никакой роли и выпадает нз дальнейших вычислений. Однако в нашем случае статистики световых квантов (как н в случае вырожденных газов, см.

$5 этой главы) размер ячейки очень важен. Можно отметить также, что найденный нами конечный размер ячейки йв точно согласуется с принципом неопределенности Гайзенберга. В соответствии с этим принципом координата частицы н ее нмпулъс не могут быть одновременно измерены с более высокой точностью, чем та, которуюдопускаетсоотношеннеАрбу л. Поэтому более лгелкои дробление фазового. пространетва еовер- Га. 1тШ. Каантоааа етатиетика щенко бессмысленно: в атом случае все равно нельзя было бы проверить на опыте, в какой именно ячейке находится частица Но вернемся к статистике оветовых квантов. Докажем, но- первых, сделанное выше утверждение о том, что идея световых квантов (вместе с квантовомеханнческнм определением размеров ячейки) скажется нвдостаточной для вывода формулы Планка, если мы сохраним верность статистике Больцмана.

Действительно, в соответствии с результатамн Больцмана число квантов в заданном слое, который мы будем характеризовать средним значением частоты квантов м,„определяется произведением количества ячеек в слое я, на больцмановскнй множитель Ае *т1ат, так что Напомним, что распределение Больцмана (гл. 1, $6) есть просто наиболее вероятное распределение частиц газа (в нашем случае газа световых квантов) по различным слоям (которые мы раньше называлн ячейками), удовлетворяющее, если число частиц н полная энергия заданы, двум дополнительным условиям 3п,=п и ~а,е,=Е.

Поэтому распределение энергии для нашего газа световйх квантов будет иметь внд етт,те, = Ай',йа,е ~а1эг, нлн и„еЬ = =Н Ьта азате ат а-ьаат что с точностью до миожнхеля 4. совпадает с.результатом Вина, а не с формулой Планка 83$Ь%4 ат 1 "е"- — Г~ Возникает естественный вопрос, каким образом следует изменить классическую статистику, чтобы закон излучения Планка вытекал нз чисто статистических рассуждений, минуя окольный путь рассмотрения поглощения н излучения осцнлляторамн. В первую очередь видно, что прн малых Т, когда е"амт»1, наша формула согласуется с внновскнм приближением (в этом случае справедливым) к закону Планка, если положить А 1. Что означает условие А=*1? Если мы вспомним вывод распределения Больцмана, то будет ясно, что значение коэффициента А определяется первым дополнительным условием (фиксированное число частиц).

Если же отбросить это дополнительное условие, то А было бы равно единице. Формула излучения, которую мы только что вывелн, аснмптотическн совпадала бы прн этом с правильной формулой, Но для газа, состоящего нз 2 Е Статистика Бови — Эйниагвйна дли еиигиини квантов 307 световых квантов, есть все основания отбросить первое дополнительное условие (фиксировакное число частиц), так как, разумеется, в каждом процессе излучения порождаются новые кванты света, а пропессы поглощения сопровождаются исчезновением световых квантов и переходом их в другие формы энергии. Но даже это допущение само по себе еще недостаточно для получения формулы Планка на чисто статистической основе, Фактически мы должны перестроить фундамент самой статистической физики и перейти к новой «квантовой статистике». Способ, позволяющий это сделать, был указан Бове (1924 г.) и усовершенствован Эйнштейном.

Они постулировали абсолютную неразличимость световых квантов. Эта гипотеза чрезвычайно правдоподобна, Действительно, предположим, что кванты света каким-то образом перенумерованы. Когда световой квант 1 находится в ячейке еь а световой квант 2 — е ячейке еь соответствующее распределение отвечает, очевидно, тому же самому состоянию, что и распряделение,е котором квант 1 находится уже в ячейке ез, квант 2 — в ячейке еь а остальные кванты остаются на своих старых местах. В самом деле, единсввенное различие между квантами состоит в том, что один из них находится в первой ячейке, а другой — во второй.

Какая-либо нумерация или индивидуализация световых квантов абсолютно лишена смысла, поскольку состояние системы однозначно определяется простым указанием, сколько квантов содержит ячейка аь сколько ячейка зь и т. д. Такая ситуация, однако, принципиально отлячается от положения вещей в классической статистике. В последней-любые два состояния, которые получаются друг нз друга простой перестановкой световых квантов, считаются различными и каждое из них фигурирует в расчетах. Теперь же оба варианта размещения квантов отвечают одному и тому же состоянию и при подсчете числа состояний должны учитываться только один раз.

'Рассмотрим теперь проблему с математической точки зрения. Мы будем говорить о частицах вообще, а не обязательно о световых квантах. Знакомясь с принципом Паули (гл. Ч1, З 6), мы уже ййдели, что не имеет значения, каким именно электроном занято то или иное место. Вторая часть принципа Паули утверждает, что перестановка двух электронов не изменяет состояние системы в целом, так что два распределения, которые отличаются друг от друга лишь переменой мест двух электронов, представляют одно и то же состояние. В волновой механике состояние каждой частицы, в том числе и светового кванта, описывается волновой функцией. Пусть волновая функция одной частицы (первой) есть ~ф>, волновая функция второй частицы — ~~э>, третьей — фф и т.

д., где индексы Ф, 1, гп, ... относятся к состояниям соответствующей частицы (в случае световых квантов, например, индекс й обозначает три квантовых числа йь йь йз). Состояние системы в целом описывается яри этом (по крайней мере в первом приближении, не учитывающем взаимодействия между частицами) произведением этих волновых функций, т, е. волновой функцией 'Г„... = ФИДА " .. Если теперь переставить какие-либо две частицы, например частицу 1 и частицу 2, то получится другая волновая функция ч' = ФРФ~ГФп которая, очевидно, соответствует той же самой полной энергии всей системы з ез+з,+з +....

Для этого значения энергии мы можем получить и другие волновые функции, конструируя всевозможные линейные комбинации различных функций, которые возникают из исходной в результате разнообразных перестановок отдельных частиц, т. е. в результате перемены мест аргументов одночастичных волновых функций Здесь сумма берется по всем перестановкам Р аргументов, а множители ааа.. есть просто произвольные постоянные коэффициенты. С точки зрения классической статистики каждая новая лн нейная комбинация соответствовала новому состоянию системы, так что число различных состояний совпадает с числом различных комбинаций.

Новая статистика считает, однако, все состояния, которые получаются друг из друга простой перестановкой частиц, одинаковыми. Поэтому волновая функция какого-либо состояния не должна изменяться при перестановке частиц или в крайнем случае может измениться только ее знак, поскольку лишь квадрат модуля волновой функции допускает непосредственную физическую интерпретацию. Легко видеть теперь, что единственная линейная комбинация из числа фигурирующих в записанной выше формуле, которая не меняется при перестановке частиц, есть комбинация, в которой все коэффициенты равны единице, т.

Характеристики

Список файлов книги