1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 60
Текст из файла (страница 60)
84. График иизкотзмпзрзтуриоа зависимости твпговмкости по язбзвк Мааавакве круаав сбеавачако ексверввевчасевве сечка. скаемкав крвваа сествесствчес кезаевсксв ееервм Е- каракчервствческав еаввература аемессаа [так, чте С ( 1~) екав Фувквва ет тя. кривая асимптотически приближается к классическомч пределу 6 им/град, а при малых Т убывает, проходя при Т' 0 через начало .координат. Экспериментальные исследования, имеющие целью проверку предсказаний теории и проведенные в основном Гл. уШ. кааагоааа статэсгэка Нернстом и его сотрудниками, показали, что имеет место приблизительное согласие между экспериментом и теорией, особенно в связи с тем фактом, что теплоемкость стремится к нулю по мере приближения к нулю температуры.
Тем не менее были обнаружены и расхождения, свидетельствующие о том, что теория в той форме, в какой она тогда существовала, нуждалась еще в некоторых уточнениях. Эти уточнения были сделаны Дебаем и независимо Борном и Карманом (1912 г.)„Они основываютоя на следующих соображениях. До сих пор мы считали, что каждый отдельно взятый атом в твердом теле (кристалле) совершает гармонические колебания сокершенно независимо от других атомов. Однако на самом деле это вовсе не так, поскольку атомы кристаллической 6 ешетки, вне сомнения, очень сильно связаны друг с другом. оэтому не следует думать, что Ф~ атомов кристалла колеблются с одной и той же частотой. Скорее нужно рассматривать связанную систему ЗФэ различных колебаний (соответствепно ЗМс степеням свободы У, атомов, находящихся в одном моле) ° Энергия системы поэтому будет иметь вид ЗМе Ьч и-~ 1с — 1 где ч,— частота г-го колебания. Разумеется, чрезвычайно трудоемкой задачей было бы непосредственное вычисление этой суммы иа основе какой-либо конкретной модели.
Но приближенную формулу„как оказалось, пблучитЬ ццопце .Ыцжно..Простейший метод, пригодный для описания кристаллов, решетка которых составлена из атомов одного сорта, предложен Дебаем и заключается и следующем. Нормальные колебания атомов кристаллической решетки в обычной теории упругости рассматриваются как колебания кристалла в целом, хотя реальному наблюдению доступны, естественно, лишь колебания, длина волны которых значительно превышает межатомные расстояния (звуковые волны). Поэтому для приближенного вычисления энергетической суммы можно заменить спектр нормальных колебаний атомов кристаллической решетки спектром упругих колебаний кристалла в целом. Следовательно, необходимо решить проблему определения спектра упругих колебаний твердого тела, которое в согласии с подходом теории упругости считается непрерывным.
Аналогичные проблемы (побсчвт числа собственных колвбаний) уже встречались нам в различных областях квантовой теории (световое излучение, б-распад и пр.), и результат, простой вывод которого мы сейчас дадим, разумеется, не будет неожиданным. б 2. Тлелоеммолта гвлрдмк глл н ммолоегомнмл милам 297 Рассмотрим для простоты тело, имеющее форму куба с ребром а, н попытаемся найти его собственные колебания, иначе говоря, стоячие волны, которые могут еозннкнугь в этом кубе. Это та же самая задача, которую мы уже решали в одномерном случае колеблющейся струны н в двумерном случае ко леблющейся круговой мембраны (гл. Ч, $9). Для любого собственного колебания необходимо, чтобы вдоль каждого ребра Р ба укладывалось в точностн целое число полуволн (фнг.88).
оэтому если в кубе распространяется плоская волна, направление которой задается тремя направляющими косинусами а, 11, у (так что ар+бе+то 1), то проекция любого ребра на зто Ф н г. Эб. Пример собстееннык колебаний кубической волости. Ввела валалого ребра ломово увлалыеаееов целое ввело велуаелв (о ваваеы врвыера Е| 7. Фе а) направление должна равняться целому чнслу полуволн Ц2. Обозйачнв тРн соответствУющих целых числа чеРез пь-пб, пб, получим трн уравнения: о Х л,-2= ао, п,~=ар, па 2 =ау. Случай а 1, (1 у О тривиален; волна прн этом движется параллельно первому ребру, а колебання совпадают с собственными колебаннямн закрепленной с обоих концов струны.
Но упомянутые условия, естественно, должны выполняться н для трехмерных колебаний. Теперь мы уже можем найти спектр собственных колебаний. Во-первых, возводя полученные уравнения в квадрат н складывая нх, мы приходим к равенству л',.+и, '+л'=-~-, так что длина волны собственного колебания определяется суммой квадратов трех целых чисел пь пв, па. То нлн нное собственное колебание удобно поэтому нзобразнть точкой в трехмерном пространстве; целочисленные координаты точки ль ле Гл.
вШ. квантовая огатпогиаа н пв характеризуют данное колебание в соответствии с тремя приведенными выше уравнениями. Теперь ясно, что число собственных колебаний с длиной волны больше )е и точности совпадает с жслом целых точек (аь ла, вв), лежащих внутри сферы радиуса 2аД в первом октанте а-пространства (поскольку равенство яре+лат+аар=4ар/У представляет собой уравне« ние сферы, радиус которой есть 2а/в„а центр находится в начале координат а-пространства). Все собственные колебания с длиной волны больше Л изображаются поэтому теми точками Ф в г.
66. Подсчет чвсаа ссбствсвимд аоаабаввй. Чвело волебввва е лловой волов > Ь Ц вво овалу увлов реваевв вауерв вэ~ лвее о правового ввеаравта. Поелелаее лее прваерао рввао плевелов авелревзв. Р 1 л 3 4 Б 6 7 б в-пространства, которые заключены внутри.
этой -сферы. Огранячение первым..октантом-сферы-терке-вполне понятно; так хзк все и, естественно, положительны. Искомое число внутренних целых точек шарового сегмента приблизительно равно его объему. В этом легко убедиться С помощью фиг. 86 (хотя чертеж, разумеется, имеет лишь два измерения). Поскольку координаты узлов изображенной на рисунке решетки целочисленны, небольшие квадратики, образованные линиями решетки, обладают единичной площадью. Относительная ошибка, возникающая прн замене чнсла внутренних целых точек круга (сферы) на его площадь (объем), мала, если круг (сфера) содержит много таких точек.
Количество собственных колебаний, длина волны которых больше Х, равно, таким образом, объему сферического октанта: Ф (т) =3 сг где а — скорость распространения волны. Однако. в кристалле могут возникать как поперечные, так и продольные волны, при- Е Х Таиоемеесгэ твердим гве е месеаегсмммм миое 299 чем поперечные волны нмеют две степени свободы соответствен. но двум возможным взаимно перпепднкулярным направлениям полярнзацнн. Учитывая этот факт, мы должны написать м. = — чз, где — = ~ — +.— ~ 4аУ 1 г2 1ч ез ~г Здесь се — скорость поперечных волн, а с1 — скорость продольных (т.
е. звуковых) волн, Отсюда мы сразу же получаем число собственных колебаний в интервале частот от ч до ч+й: АГ = — чэ 4Ь. 4мУ с~ Мы еще вернемоя к этой формуле. Ее можно доказать, нсходя нз самых общнх предположений, не ограничнваясь случаем упругнх собственных колебаний. Более того, как показал Вейль, она остается справедлнвой прн любых конкретных геометрнческих очертаннях объема К Вернемся теперь к вычнслению средней энергнн атомов в твердом теле. Полученное несколько раньше вырзженне ~ =Хч-лай†гы) е можно теперь преобразовать только что опнсанным методом, т. е. относя частоты ч, уже не к собственным колебаниям атомов, а.к упругим волнам, воаннкающнм в твердом' теле. Поскольку чнсло колебаннй в частотном ннтервале от ч до ч+йч уже нзвестно, суммнрованне можно эаменнть ннтегрнрованнем, прнчем весовая функпня в подынтегральном выражении будет определяться как раз чнслом колебаннй.
Таким образом, Лч 4м1Г п-)' иш. Не нужно забывать, однако, что число собственных колебаннй крнсталла ограннчено, а нменно равно 31че. Поэтому существует макснмальная частота ч„, которая находится нз уравнення ЗЖе=Я = — чз, нлн ч = с ~ — ~-. 4мр' э~-ррм' 4а1г Следовательно, ннтегрнровать следует не до бесконечностн, а лншь до этой максимальной частоты, служащей, таким образом, верхним пределом зйписвднаго нами интеграла -Итак;-ыы Гл.
мгп. Кеентоеех етатнатеха получаем для энергии У выражение ч,„ хпв 4пУ г Зч~Лч 4п1т затее Г хецх 3 Р хчФх и- —,~" „- ( — ) а/ — -тт — ~' —. ее 1 ееЧ вЂ” 1 с ~ Ь) 1е" — 1 хе 1 ех — !' а о ч'О где для краткости положено х йч ~ЙТ 1э(Т, причем О=йч /й называется дебаевской характеристической температурой Формула Дебая дает более точное приближение к действительности, чем эйнштейновская модель не связанных друг с другом осцилляторов с одной н той же частотой (фнг. 84, стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
