1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 63

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 63)

е. сииметричмая волновая Другая комбинация, которая при перестановке частиц меняет знак, но квадрат которой остается неизменным, представляет собой кососимметричную, нлн антисимметричную, форму где знак «+» берется для четной, а знак « — » — для нечетной перестановки частиц. Антисимметричная форма хорошо известна из теории определителей: она получается при раскрытии детерминанта Других волновых функций, удовлетворяющих требованиям неразличимости частиц, не существует.

Отметим, далее, любопытное свойство антисимметричных функций. Известно, что детерминант равен нулю, если две строки нли два его столбца совпадают. Следовательно, если две функции зуз и фз равны друг другу, то определитель, а вместе с ним и волновая функция сиотемы исчезают. Иначе говоря, состояния системы, в которых ф„.=зрй невозможны.

Мы припгли к -принципу-Паули, который утверждает, что два электрона не могут находиться в одинаковых состояйиях (т. е. не могут обладать одинаковыми фз). Таким образом, имеются только две возможности описать состояние системы частиц с помощью волновой функции— нужно пользоваться либо симметричной, либо антиснмметричиой формой. Вторая возможность соответствует принципу Паули, с первой же возможностью дело обстоит совсем иначе. Если подсчитывать число возможных состояний, рассматривая соответствующие волновые функции (т. е.

если подсчитывать число линейно независимых волновых функций), то сразу же иоаникают два различных вида статистики. Если мы ограничимся симметричными волковыми функциями (не подчиняющимися принципу Паули), то мы получим так называемую статистику Бозе — Эйн)итейна. Если же мы будем пользоватьс~ антисимметричными волновыми функциями (подчиняющимнся принципу Паули), то получится статистика Ферми — Лирика (1926 г.). Какой йз двух видов статистики следует применять Ге.

1Лтд Квантовое етатиетака в каждом конкретном случае, зависит в конечном счете от указаний эксперимента. Электроны, как мы уже знаем, подчиняются принципу Паули, поэтому к ним нужно применять статистику Ферми — Дирака. Напротив, как оказалось, световые кванты (Бозе) и некоторые газовые молекулы (Эйнштейн) подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна.

Продолжим рассмотрение статистики Бозе — Эйнштейна. В первую очередь нужно рассчитать число различных состояаий (т. е. число линейно независимых волновых функций). Перечисляя состояния, мы пользуемся, однако, не волновой, а корпускулярной картиной: требуется найти число отличимых друг от друга размещений частиц, подчиняющихся статистике Бозе— Эйнштейна, по ячейкам слоя.

С этой целью обозначим ячейки через к„зт, ., ке соответственно; прн этом количество ячеек по определенйю задается весовым фактором л, слоя. Пусть этот слой содержит, с другой стороны, л, частиц, которые мы обозначим через ао ат, .-., а,. Теперь нам нужно разместить все частицы в ячейках слоя и найтя число различных вариантов размещения. Каждое конкретное размещение мы будем фиксировать следующим образом.

Выпишем формально последовательность элементов х и а в произвольном порядке, например ЖгФэзепззепепзпеяекеттт ° ° ° ° Будем считать, что частицы, попавшие между парой элементов л, находятся реально в той ячейке ло которая стоит савва от них. †Т, напряиер,'порядок членов в'записанной нами послздовательйости таков, что частицй ат и аз содержатся в ячейке ль частица ае — в ячейке хз, частицы ам аь ае — в ячейке зь в ячейке хе вообще нет частиц и т. д.

Если это так, то первой буквой символического ряда, очевидно, всегда будет я, а не а. Таким образом, мы получим все возможные последовательности, помещая на первое место какой-либо из символов з — а зто можно сделать й; способами — и затем располагая л, — 1+тт, оставшихся символов в произвольном порядке. Поэтому полное число различных последовательностей равно й (й +в — 1)!.

Однако все последовательности, которые можно получить друг из друга простой перестановкой ячеек или простой перестановкой частиц, соответствуют не различным, а одному и тому же состоянию системы. Число таких перестановок есть у,) п,!. Следовательно, в статистике Бозе — Эйнштейна число различных вариантов распределения частиц по ячейкам слоя, охаракте- Ф 4. Сгагиегика Бава — Мюигвака дал вввгввик квалгов 311 рнзованного индексом з, дается формулой и (а'в+ли — 1)! (ив л — 1)! Хв! лв! (Гз ) ! лв! Отсюда ясно, что число различимых распределений в случае когда первый слой содержит л! частиц, второй ла частиц н т.

д., представляет собой произведение такого сорта членов по всем слоям фазового пространства: (и~+ лв — 1) ! = л.,е -йЛГ;Р- . Назовем это выражение <вероятностью» заданного (т. е, определенного числами заполнения ли лв,,) распределення частиц по слоям. В нашем случае оно играет ту же роль, что к найденное ранее (гл. 1, $6) выражение л! % Щ! (... й!62 для вероятности в статистике Больцмана. Последуюшие вычисления проводятся точно так же, как н раньше.

Для того чтобы найти наиболее вероятное распределение, используем формулу Стирлннга. Пренебрегая единицей по сравнению с большкмн числами л, н йи получаем 1и )вг = ~~."„((у, +- и,) 1п (л, + л,) — у, 1п у, — и, 1п п,) . Теперь необходимо вычислить максимум 1и %" прн изменении. в„ принимая в расчет дополнительное условне ~чр~явзв=Е (е =йв,). Для световых квантов, как было показано раньше (й 4 этой. главы), второе дополнительное условяе (постоянство числа частиц) учитывать не нужно. Поэтому обычная процедура приводит к уравнению -т= — =1п(п,+а,)-+1 — 1пп,— 1=1п к'+~' ()е„ нли й, ~л лава л Таким образом, по Бозе — Эйнштейну распределенне световых квантов имеет внд (еслн опустить индекс е) н~~7й У Г*, УШ.

Хвакгоеаэ стагиствгл за что для плотности энергии дает выражение лат 1 Знай~ ет Я„Фч = — = -1- -~ —. Это как раз и есть формула излучения Планка, если считать, что р МйТ. Последнее допущение оправдывается термодинамическнми соображениями. Действительно, согласно Больцману 3 Й1п й" следует рассматривать как энтропию. Можно показать теперь (см. приложение 35), что из уравнения ТЮ еЦ следует, что р= 11ФТ (здесь ٠— теплота, переданная системе; при постоянном объеме она совпадает с приращением энергии газа световых квантов). Итак, закон излучения Планка можно вывести из статистики Бозе — Эйнштейна с помощью рассуждений, которые совершенно свободны от возражений.

ф А Эйнштвйково теория аэзрождемом газа После блестящего успеха статистики Бове — Эйнштейна в описании газа световых квантов естественно было испытать ее и в кинетической теории газов как альтернативу статистике Больцмана. Исследование, предпринятое Эйнштейном (1925 г.), основано на гипотезе, что молекулы газа, подобно световым квантам, неотличимы друг от друга. Вычисления идут точно так же, как и в случае световых квантов, ио с той разницей, что появляется второе дополнительное условие, учитывающее сохранение числа частиц: ,'5', н, = л1'.

Вероятность определенного распределения аь ае.... находится здесь так же, как и выше. Вычисление наиболее вероятного распределения приводит теперь благодаря второму дополнительному условию к уравнению дээ ээ нли. если опустить индекс г, в= где снова 1= 1/ФТ (см. приложение 36). Здесь число й ячеек в слое можно выразить через соответствующую энергию; действительно, е=~ — рэ и йе= — рйр, 1 1 в В, Эвиаттавиова т»оааа аив»»»даава еаза з~з где р — импульс частиц; поэтому полученное выше выраже- ние для я принимает вид б= —,Р»ФР= —,72й- ~й.

4аУ 4»У Таким образом, мы находим запоя распределения атломов в свииппслиисв Бозе — Затоитлейиа шм=т<.>тт»=~ — » — —, (в= — ') 4аУ т'ййг г'в Фв лв + — 1 ' ~ ат ' в то время как закон распределения в статистике Больцмана имел вид (гл. 1, 3 б) с(Ж=УНп=4пЪЪ~~~ ~~~ 'е з иг~РЫо= 1 УвИ' / = 4я1»' Яр-) 1/ — ~. в-чаг ~/е Ыз. Здесь 1» обозначает число частиц в объеме К, а и — число частиц в единице объема.) Величина и определяется, очевидно, из дополнительного условия ~МИ=~Р(е) ~Ге йв =1»'=пУ. » Константу о, или, чаще, величину А=е-», называют пава- метром вырозсдения, и по следующей причине.

Если а очень велика, а следовательно, А очень мала (по сравнению с еди- ницей), то мы можем пренебречь 1 в знаменателе по срав- нению с а»+в»=вв»/А (ибо ра. конечно, всегда положительно); следовательно, в этом случае мы получаем йЧ= — г- у'Ыт у'е ФеАв-в», т. е.

классический закон распределения Максвелла; здесь А=е-» сразу находится из добавочного условия постоянства числа частиц. Итак, мы находим (гл. 1, $6; приложение 1) из» А= (2аеат)ч' Таким образом, если А очень мало по сравнению с 1, то фор- мула распределения Бозе — Эйнштейна переходит в классиче- скую. По-другому обстоит дело, когда А становится сравнимой с 1 (случай А>1, т. е. а<0, не может осуществиться, поскольку знаменатель тогда обращается в нуль при энергии а= — а/Р, а для меньших значений е становится отрицательным, так что З14 Гл.

Характеристики

Список файлов книги