1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

296). Борн н Карман получнлн независимо еще более точную формулу, принимающую в учет структуру кристаллической решетки, которая в предшествующих вычислениях не учнтвшалась вовсе. Для различных типов кристаллической решетки при этом получаются различные выражения, которые переходят, однако, в области не очень низких температур в сумму определенного числа дебаевскнх функций с разнымн значениями чт. Эта теория во всех своих пунктах была подтверждена экспериментально.

Например, прн чрезвычайно низких температурах на опыте мы наблюдаем пропорциональность теплбемкостн третьей степени Т, в то время как эйнштейновская модель приводит к экспоненцнальному закону падения теплоемкости по мере понижения температуры. Теория Дебая дает уже правильную температурную зависимость теплоемкостн. В самом деле, прн низких температурах х стремится к бесконечности, так что интеграл в определяющей энергию У формуле становится практически постоянным. Так как множитель церед интегралом включает'четвертук1 стецень Х,. а теллоеыкооть нему- чается нз энергии дифференцированием по Т, экспериментальный аакон Т' немедленно следует нэ дебаевской формулы. Исследования Блэкмана (193б г.) показали, что на самом деле в некоторых случаях теплоемкость, по-видимому, подчиняется закону Тз н в области таких температур, которые недостаточно малы, чтобы оправдать вышеприведенное теоретическое объяснение.

Блэкман показал, что уточненная теория Бориа н Кармана, учитывающая структуру кристаллической решетки, способна объяснить этн случаи: можно утверждать в качестве причины, что дебаевская характеристическая температура чэ перестает быть константой н увеличивается с понижением температуры. Следует ожидать, что чистый закон Т' будет выполняться лишь в области самых низких температур. Соответствукнцее падение теплоемкостн действительно наблюдается.

В классическом случае алмаза оказалось возможным навлечь определенные сведения о силах, действующих внутри кристаллической решетки, нз измерений коэффициента упругости (Ба- З д.геаеоемаоете теердеие тел а маоеоатомми» еаеое Зя гавантам н Бнмасенакар, 1944 г.) н объяснять на этой основе поведение теплоемкостн вплоть до самых ннзкнх температур (Смят, 1946 г.). Можно сказать, что к настоящему времеян экспернментальные факты, касающнеся теплоемкостн твердых тел, нашлн полное объясненне.

Точно такнм же образом можно прнменнть квантовую теорню осцнллятора к многоатомкым газам. В этом случае экспернментально определенная теплоемкость увелнчнвается с температурой в согласны с формулой Планка, прнмеяенной к молекулярным колебанням. В гл. 1, $5 мы уже говорили, что клас. снческая теорня теплоемкостн вынуждена счнтать, что двнженне электронов в атоме не дает вклада в энергню н что теплосодержанне газа определяется только двнженнем его молекул, которые рассматрнваются как твердые образовання.

Прн этом одноатомные молекулы, как предполагается, обладают лншь поступательнымн степенямн свободы, тогда как у двухатомных молекул есть еще две вращательные степенн свободы (отвечающне вращениям вокруг. двух осей, перпенднкулярных осн молекулы). Объясненне этого факта, совершенно непонятного сточкн зренця до-квантовой фйзнкн, состонт, разумеется, в том, что энергня связн электронов значнтельно больше средйей энергии теплового двнження аТ. Еслн мысленно заменнть электроны осцнлляторамн с частотой ч, соответствующей лннням наблюдаемых спектров, то энергня Ьч окажется очень большой посрав ненню с аТ.

Прн обычных н даже очень высокнх температурах нн однн нз этнх осцнлляторов не может возбуднться. Это сразу же-объясняет, почему вкутриатомное двнженне -не дает вклада в теплоемкость. Аналогнчные рассуждення справедливы н дл» яращення молекул, состоящнх нз легкнх атомов. Как мы внделн, в квантовой теорни Бора (гл. Ч, $1) вращательная энергня задается формулой новая квантовая механнка заменяет /е на Я+1).

И в том, н в другом случае расстояние между двумя соседннмн уровнями равно а' Ь94цеА. Здесь А обозначает момент ннерцнн молекулы, так что з оказывается нанбольшнм, когда А достигает мнннмального значення, т. е. для молекулы На. Нужно ожидать поэтому, что прн температурах, определенных неравенством 'аТ.с.з, вращательная энергня Не не будет нграть заметной ролн.

Так н обстонт дело в действительностн, что было впервые замечено Эйкеном (1912 г.). Он обнаружнл, что около 40еК теплоемкость Не поннжается до значення, характерного для Га УШ. Кааатаааа агатиатааа одноатомного газа. Для других газов критическая температура слишком мала, что не позволяет непосредственно наблюдать этот эффект полного авыморажнванняъ молекулярных вращений. Но начало процесса — падение теплоемкостн — доступно наблюдениям. Это дает возможность рассчитать момент инерции молекул. Результаты хорошо согласуются с другнмн нзмееннямн, например с даннымн по полосатым спектрам (гл.

1Х, 3) н с расчетамн, основанными на теоретических моделях. ~$ 3. Квангнованне мерного из зуменин Вернемся теперь к закону черного излучения. В предыдущем параграфе мы внделн, что гипотеза Планка блестяще подтвердилась не только для черного излучения, но н в теории темплоемкостн. Последнее еще раз красноречиво свидетельствует в пользу справедливости квантовой теории. С другой стороны, вывод закона излучения методом Планка е какой-то степени неудовлетворнтелен, поскольку он во многом основан на законах классической физики н лишь частично использует квантовые представления Действительно, формула, связывающая среднюю энергию ооциллятора с полем черного излучения и,=(8пчз/с')з, получается чисто классическим пу.

тем; прн выводе этой формулы применяются классические законы поглощения н излучения осцнллятора. Можно лн найти другой путь, не использующий свойства классического осцнлляторат Сама собой напрашивается мысль попытаться, имея. в виду. методы Релев Джинса и Дабая,- оянсать электромагнитное яоле в кубической полости с отражающими стенками прн помощи точно таких же статистических приемов, какие прнменяютоя прн описании собственных колебаний кристалла в теории теплоемкостн. Полость с зеркальнымн стенками обладает в точности таким же спектром собственных колебаний, как кристалл. Поэтому число собственных колебаний в интервале частот от т до т+~Ь можно рассчитать тем же способом, что н раньше: Фи=2 — чтсЬ. Однако здесь появляется добавочный множитель 2, поскольку каждой частоте н каждому направлению соответствуют две волны с разлнчнымн поляризациями.

Разумно предположить теперь, что каждое собственное колебание ведет себя подобно плапковскому осциллятору со средней энергией Ь» Э 4. Стагисгиза Бозе — Эйнисгейна дан сезгоеыз иеангое 303 (Здесь ход мысли н метод рассуждений последнего параграфа автоматически перенесен со случая собственных колебаний кристаллической решетки на случай собственных колебаний влектромагннтного поля.) Таким образом, мы снова получнлн фор. мулу Планка 1 Ьч Значз 1 зч~зг Г зч1зг У е" — 1 с е — 1 Хотя этот метод н отличается простотой, он все же не свободен от серьезных принципиальных трудностей.

В самом деле, формула для средней энергии осциллятора получена в предположении, что осцнллятор с частотой ч может находиться в различных энергетических состояниях: его энергия можетоказаться равной не только Ьч, но н любому целому числу элементарных квантов, причем вероятность состояния с энергией нЬч пропорциональна е "чжг. Именно так, проводя соответствующее усреднение, мы получаем известное выражение для средней энергии ооцнллятора чч — зч1зг О ач СО Х е- ззч!зг о Но если мы перенеслн этн представления на случай собственных колебаний электромагнитного поля н считаем теперь каждое колебание осцнллятором, то мы должны признать, чтособственное колебание с частотой ч может обладать .энергией пИч.

Как нужно интерпретировать н в терминах 'гипотезы световых квантовР Предположение, что энергия одного кванта света может быть равна иИч, противоречит опыту (фотоэффект). Поэтому нужно считать и числом световых квантов с энергией Ьч. Но предполагается, что световые кванты движутся совершенно хаотически, подобно свободным частицам в газе. Из этих представлений не удается получить формулу излучения Планка. В следующем параграфе мы рассмотрим этот вопрос подробнее н покажем, что трудности можно устранить, усовершенствовав методы статистической физики. 3) 4. Стсзтпсткка Болл — Эйкпстеака для саетовзех квантов Попытаемся теперь вывестн формулу излучения в предполоч женин, что оно представляет собой корпускулярную систему.

Первое, что приходит в голову, — это прнменить методы классической статистики Вольцмана по аналогии с кинетической Г.«7!П. К«апвмсл егапрсгэ«з теорией газов. Прн этом квантовая гипотеза, примененная Планком для волнового рассмотренна черного излучения, автоматически учитывается с самого начала тем фактом, что мы оперируем со оветовымн квантами, т. е.

с частицами (фотонами), энергия которых равна йэ, а импульс йэ/с. Оказалось, однако, что н эта попытка вывестн закон излучения Планка терпит неудачу, н вот по какой причине. В этом случае мы характеризуем отдельные компоненты поля излучения ие длиной волны и направляющими косинусами, как это делалось раньше, а проекцнямн импульса, котоый ассоциирован с распространяющейся волной в теории деройля. Именно, Ь Ь 3 р =-~-а, р„=-~-р, р,=г-у. Однако, как мы знаем ($ (с ребром а) возможны удовлетворяют условиям 2а и, =-~-ал 2 этой главы), в кубической полостк лишь такие стоячие волны, которые 2с 2« иэ =-~-йл из~-~ ул где и«, и» н и» вЂ” целые числа.

Отсюда следует, что иространсгзо имиулэсоз световых квантов тоже дискретно. Действительно, предыдущие уравнения можно переписать так: а 3 а р =~-и„р„э-из, р,=-й;;и„ откуда видно. что йроекции имдульса. могут быть только целымн кратнымн Й~2а. Абсолютная величина импульса прн этом равна р .~ —, нрл,~~~~-~1. з а» л В классической статистике (гл. 1, $ б) мы разбнвалн импульсное пространство на ячейки произвольной формы с объемами вь вэ, вь .... Отношение объема отдельной ячейки кполному объему в импульсного пространства, т.

Характеристики

Список файлов книги