1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Естественно, нельзя вывести волновое уравнение строго логически; формальные шаги, ведущие к нему, являются, в сущности, лишь остроумными догадками, Начнем с движения свобо()ной частицы; связанную с ней волну мы описываем волновой функцией ф Втк((«т-ы) В(як()ь)(рл-л() Здесь ч и т обозначают частоту и волновое число, которые, согласно де-Вройлю, связаны с энергией и импульсом уравнениями »=в 1 р з' =~.=в* Взяв частные производные по х и 1, мы обнаруживаем, что )~( — „= Рф. — -~.7й. = Е4. Л д$ к (Ьр Теперь мы можем «прочесть» эти уравнения наоборот, считая, что дифференциальные уравнения даны, а требуется найти их решение, В случае, когда частица движется по нрямойлинии и допустимы все значения х между — оо и +со, решением будет приведенная выше функция.
Если же частица движется по окружности длиной (, а мы обозначим через х координату точки (например, измеряемое по дуге расстояние до этой точки от фиксированной начальной точки окружности), то для х будут допустимы значения только от О до (=2ит; увеличение х на ( возвратит нас в ту точку, от которой мы отправлялись. Так как (у должна быть однозначной на окружности, увеличение х на (=2пг не должно менять функции. Теперь общее решение первого из двух выписанных выше уравнений есть функция (р-А ехр((2Ы(Ь)рх). При увеличении х на ! эта функция умножается на ехр((2и(/Ь)Р)), поэтому, чтобы (у была «собственной функцией», этот множитель должен равняться единице: г(ткцм) р( — 1 — вФк(к нли р( кь кд Р=Р»= Т = 2ят ° Это означает, что в случае кругового движения уравнение обладает допустимыми решениямн не для всех значений Р, а д а Волновая лрхаюиса 161 только для дискретных «собственных значений» И/1, 2а/1, ЗЬ/1,..., Наши уравнения можно интерпретировать также следующим образом.
Когда волновая функция ф известна, соответствующий импульс или его х-компоненту р мы получаем, беря частную производную волновой функции по х: (Ь/2п1) (дФ/дх) р„~ф. Как принято говорить, х-компоненте импульса отвечает дифференциальный оператор а д, /Р~= Б7'7х ' аналогичное верно и для В- и г-компоненты. Соответственно оператор, отвечающий энергии, есть а д ж дг Операторы, или величины, производящие действия над какими- либо функциями (действуя на одну функцию, онн порождают другую), можно представлять самыми разнообразными спосо- бами.
Матрицы Гейзенберга являют собой лишь один опреде- ленный тип представления таких операторов; другим представ- лением является набор дифференциальных коэффициентов, соответствующих компонентам импульса и энергии. Для пред- ставления этого последнего типа перестановочные соотношения Бориа — йордана допускают простую интерпретацию; как мы только что видели, ро — др означает здесь просто применение дифференциального оператора а д а д БТ7е ч ч 'БТ ад к волновой функции ф. Но Следовательно, применение оператора ру — ур эквивалентно умножению Ф на Л/2п1, или, в символической форме, ру — ~ур= = ЛДя1.
Формализм, который Шредингер (1926 г.) счел подходящим для волновой теории атома, базируется на следующем пра- виле. Запишем энергию Н(р, д) гамильтоновой теории как оператор, заменив везде р на (э/2я1)(д/дд); оператор, соответ- ствующий членам с рз, получается повторением дифференци- рования, а именно Ь д Ь д Ую~ дР Р'з Б7 дп БГ д» 4а2 дна ' 11 и.
вррв 1ев Гл. и. Структура атома и сп«кгралккые линии Оператором энергии Н(~;;--8-, у) нужно действовать на вола а новую функцию ф. Вместо уравнения для энергии Н(р, у)— — Ю = О мы получаем дифференциальное уравнение (Н(,Ь д, Ч).+~а д )Э=О. Оио называется уравнением Шредингера. Итак, мы имеем формализм, с которым можно приступить к решению любой механической задачи. Все, что нужно сделать,— это найти для нее однозначное и конечное решениеволного уравнения. Пусть, например, мы хотим найти стаиионарные решения, т. е. те решения, волновая функция которых состоит из амплитуды — функции, не зависящей от времени, н множителя, периодического во времени (стоячие волны). Тогда мы предполагаем, что ~р содержит время только в множителе типа ехр( — (ЪчЦп)Е11 Если подставить это в уравнение Шредингера, получится уравнение, совсем не содержащее времени, именно ~НЯ- —,', д) — Е) ф=о.
Теперь перед нами стоит типичная задача «на собственные значения»: нужно найти те значения параметра Е, при которых это дифференциальное уравнение обладает решениями, однозначними и конечными во всей области изменения переменных (см. приложения 16 — 18). Если эта задача имеет с точностью до постоянного множителя только одно решение (собственную функцию)„то. собственное значение называют простым, или невырожденным; когда существует несколько различных реше ний, собственное значение называют вырожденным. Как пример метода построения волнового уравнения мы рассмотрим частицу, движущуюся вдоль прямой (координата е) под действием силы такой, что потенциальная энергия частицы в ее поле равна У®; тогда Н= — -+ Р'(у)- Р' Следуя описанным выше правилам, мы получаем уравнение Шредингера ( ~~ ъ~"~~г+~ (ч)+тй аг) Ф=О' и соответственное не зависящее от времени уравнение стационарной задачи — „",'--ф+(Š— р (у))ф=о.
д К Ваааавая аааанааа Важный пример осциллятора с У(д) =.)д92 мы вскоре рассмот- рим (стр. 165). Однако прежде чем попытаться искать точные решения вол- нового уравнения, объясним, почему приводит к удовлетвори- тельным результатам метод квантования классических орбит, описанный в предыдуп1нх параграфах. Раеумеется, дело све- дется к особому случаю принципа соответствия. Если взять классическое уравнение для энергии Н(р, и) =Е, подставить в него наше специальное выражение для Н и затем разрешить его относительно р, мы получим л а) = 1'Жэ — тм1 Волновое уравнение можно записать в виде Я)* ф+р'(~) ф=о.
Попытаемся решить его (Джеффрис, 1924г.; Вектцель,Крз. мерс, Бриллюэн, 1926 г.) подстановкой ф (,у) — Я«на4Ф) а 1Ф, где „фаза' Ф(д) играет роль новой неизвестной функции; тогда (~~) ~~,а«пацм р ф «"Р ( «Ф)'] Полагая в согласии с принципом соответствия величину й малой и пренебрегая в правой части членом с множителем М, сведем волновое уравнение и виду ®' =я*(ч). Это уравнение имеет решение Ф(ч)= ~ р(ч) лч. Если его подставить в экспоненту, через которую выра- жается ф, то условие однозначности ф в области изменения переменной р.
очевидно, сведется к требованию. чтобы величина л $ Р(Я<~я = и была целой; в этом случае показатель в экспоненте будет уве- личиваться на 2Ып всякий раз, когда д завершает полный цикл своего изменения (гл. Ч, $2). Но это как раз и есть квантовое условие Бора. Мы пришли здесь к более точной формулировке рассуждений де-Бройля (стр. 158). 11" зе4 Гл. У. Структура атома и апектралвиие линии Можно показать, что зто приближенное решение представляет собой первый член асимптотического разложения точного решения по степеням Ь, получающегося в результате последовательных шагов, причем не только фаза ф, но и амплитуда А считается функцией коордяяаты д. Этот метод может быть обобщен н на системы со многими степенями свободы; таким путем получают в качестве первого приближения квантовые условия Зоммерфельда для кратнопериоднческих систем (гл.
У, $2). Прямер системы с тремя степенями свободы мы имеем в важном случае атома водорода. Здесь функция Гамильтона есть И= ~Р.-(- р„-+ р*,) — —,, а выводимое из нее дифференциальное уравнение имеет вид ~ Йй (2М) ~для+ дуГ+ дР) т ( 2М дГ ) т Если ввести обычный дифференциальный символ Ь для оператора Лапласа д9дхз+д9дуз+дада' и перейти, к не содержащему зависимости от времени уравнению, положив ф -<типы м мы получим уравнение (-А-ь+ю+ — — ")) ф=о.
Это — волновое уравнение в трехмерном пространстве, и его решения мы исследуем позднее. Для читателя будет проще, если мы начнем с соответствующих задач в случаях одного и двух измерений; ради большей ясности мы возьмем наши примеры из классической механики (акустики). Пример такого рода в одном измерении дает нам колеблюп(алея струна. Ее дифференциальное уравнение выводится в теории упругости и имеет вид д'Ф г д'Ф О да а ет дФЗ Здесь с — постоянная, зависящая от механических условий (толщины струны, натяжения); фактически с представляет собой скорость волны, бегущей вдоль струны, так как любая функция от комбинации (х ~-е1) является решением уравнения.
Сейчас мы рассмотрим стоячие волны, периодические во времени, с ф етит"'; тогда уравнение сводится к уравнению Я-+ьр=о, ) =(~;)'. 166 р 4. Велкееак маканина Здесь, как н во всех классических задачах, собственное значение параметра Х пропорционально квадрату частоты ч, тогда как в задачах волновой механики на его месте фигурирует обычно энергия Е М, так что там параметр пропорционален самой частоте т.
Решения дифференциального уравнения имеют вид (соз )ГХх, ф(х)=а ~ ~ з1п у' Хх. Вследствие граничных условий ф(0) 0 и ф(1) =0 (струяа длиной 1 с закрепленными концами) колебание по закону косинуса исключается как не удовлетворяющее по крайней мере первому граничному условию. Но даже и синусоидальиое колебание не представляет решения краевой задачи, пока су'Х не оказы. иается целым кратным и, так чтобы ф исчезала при х 1.
Только для определенных значений' Х (собственных значений) осу. ществляются возможные типы колебаний; такие типы определяются равенствами ф(х) з(п( — "), Х=( — ) . Колебание с а= 1 — основное, с и 2 — первая гармоника (октава) и т. д. В процессе колебаний в определенных местах Фиг. 52. Вины коаебаиия струны с закренаеиными концами.
Йонзззнн оснозноз ноззбззнз тн и н нзрзнз знз ззрноннннрв 1 на 3Ь струны находятся узлы, т. е. точки, покоящиеся во все время колебания (фиг. 52). Число узлов зависит от параметра п и, очевидно, равно и — 1. В качестве более актуального примера такой системы с одной степенью свободы мы рассмотрим в рамках квантовой теории гармоническим осциллятор, о волновом уравнении для которого мы уже говорили выше.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
