1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

е. соответствует различным гармоникам. Однако в разложении классического кругового движения (характерного для ротатора) в ряд Фурье фигурирует лишь основная частота х=асозег, у=аз)поем, а следовательно, согласно классической теории, лишь эта частота присутствует и в излучении ротатора. Поэтому в силу принципа соответствия в квантовой теории также не должны появляться спектральные линии, отвечающие классичесним гар« моникам в фурье-разложении орбитального движения.

Другими словами, мы получили правила отбора для ротатора: в-+а — 1 при переходе с излучением и и и+1 при переходе с поглощением. Правда, поскольку мы пользовались принципом соответствия, мы доказали эти правила лишь для больших квантовых чисел; однако естественно предположить, что онн справедливы и для всех переходов вообще. Я й Квпнгповэае условен д.вп проспзоао п кригпнопврподиеевкоао депженпп Квантовое условие для момента, выведенное ~(з закономерностей серии Бальмера (взятых из опыта), и его применение к вращающейся молекуле, приведШее к закономерностям серии Деландра (согласующимся с опытом), указывают путь, по которому следует идти, строя новую механику.

Яе основнай 1М Гл У. Структура атома и оанктралонмн лакам особенность, очевидно, заключается.в том, что некоторые физические величины могут принимать толькодискретныезначения; такие величины называются квантованными. Встаетвопрес, как находупь такие квантованные величины в общем случае? Попытаемся выяснить суть дела на простом примере; в приложении 13 мы сформулируем общую постановку задачи на основе гамильтоновой теории. Здесь большую помощь может оказать одна идея Эренфе ста (1914 г). Рассмотрим механическую систему, обладающую Фиг. 38.

Матекаткчеоккй маятник аеремевкай лакам. ПО» »остаточно мелл»ином уме»ем»и»и ллннм от»он»нее а»сати» и частоте остаетсе »остоин»мм. соз ср квантованными переменными, т. е. переменными, принимающими только целые.значения. Если ввести малое возмущение, то выводы новой механики должны остаться столь же справедливыми для возмущенной системы, как и для невозмущенной, так что рассматриваемые величины должны сохранитв свой квантовый характер. Следовательно, под действием возмущения они должны либо скачком измениться на целое число, либо остаться неизменными. Последнее должно выполняться, когда возмущение нарастает медленно; если это так, то соответствующие величины называются адиабатичеоки инвариатстными.

Таким образом, весьма правдоподобно, что квантуются только адиабатнчески инвариантные величины. Поэтому возникает мысль: прежде чем строить новую теорию, стоит проверить, существуют ли такие величины в'рамках классических законов движения. Все зто можно проиллюстрировать простым примером. Рассмотрим математический ясаягяак (фиг. 38), длину которого можно менять, скажем, выбирая нить через блок. При медленном укорачивании нити мы совершаем работу: во-первых, про- а д Квсв«говыв Кввввив тив сил тяжести; во-вторых, против центробежной силы колеблющегося маятника. Пусть длина нити медленно меняется от 1 до 1+И; для определенности выберем И отрицательным, что соответствуег укорачиванию нити. Составляющая веса, вызывающая натяжение нити, равна тй'сов ф, а центробежная сила равна т1рз, где «р — угловая скорость.

Работа против силы тяжести и центробежной силы равна с+,сс А = ~ (тд соз «р+ л«1фз) (- «Щ. с Предположим теперь, что нить укорачивается чрезвычайно медленно, так что за время этого процесса маятник выполняет очень большое число пелных колебаний. В этом случае можно пренебречь зависимостью амплитуды колебаний от изменения длины нити, считая амплитуду постоянной. Тогда мы получаем А = — (тд соз «р+т1фз) И, где черта означает усреднение по невозмущенному движению. Ограничившись случаем малых амплитуд, мы можем заменить соз«р выражением 1 — ф'/2. Тогда А = — тя И.+ ~тд -~- — т1фз) И = — тй И+=АЖ, Первый член соответствует смещению точки равновесия вверх, которое нас не интересует.

Второй член, равный произведению И на выражение в скобках,— это увеличение съем' энергии ко« лебательссого даилсенсся. Энергия невозмущениого колебательного движения равна 2У=-~-Рф'+гщ1(1 — соз ф), где первый член представляет собой кинетическую энергию, а второй — потенциальную энергию, отсчитываемую от положения равновесия. Заменяя 1 — соз ф его приближенным значением ф92, мы получаем Но это выражение совпадает с энергией линейного осциллятора, колеблющегося с амплитудой. ф =1«р. Следовательно, движение есть простое гармоническое колебание ф =фвсоз«в1, 140 Гл.

У. Структура атома и оаектрамоиыо ликии а для него Фо —. ч~" . Ч~ 2 Ф~ откуда с учетом равенства е=йттт=)Гу/1 легко получается 13 2 э (рт = — й — — — иди-й- ,' из вида же второго члена в окончательном выражении для А следует, что ийитэто ят ЬЯ7= — — И = — — Ы. 4 х1 Таким образом, мы имеем ацт 1 йт )Р' 7! Но с другой стороны, поскольку ч меняется как Г~', имеем Ьт 1 аГ май т 3 так что а1т ат ау" ч Решая это дифференциальное уравнение для йт как функции т, получаем 1У вЂ” = сон з1 = У.

т Таким образом, при медленном (адиабатическом) укорачивайии нити маятника величина Х остается постоянной; в духе упомянутого выше принципа Эренфеста ее можно считать равной целому кратному й: Итак мы получаем уровни энергии гармонического оспиллятора в согласии с фундаментальным предположением Планка (1л. (Ч, $ 3). В принципе аналогичным образом можно найти адиабати ческие инварианты и для других систем. Однако в общем случае этот прямой метод чрезвычайно трудоемок, и полезно выяснить, нет ли более простого метода выявления адиабатических инвариантов.

Покажем, как это делается при помощи геометрийеской интерпретации инвариантной величины 1 Ф7т на при Мере осциллятора (математический маятник с малой амплитудой). 141 ф д дваяговмв условия Выпишем еще раз выражение для энергии, только в других переменных Ч=1ф, Р=глГГ, ~ гпй% )йг= вм" аэа+"й. Д ° В плоскости ру (фиг. ЗЯ) это уравнение описывает эллипс с полуосями =Я~К~. р=~/ —, л)й что можно усмотреть, записав его в виде 7-у+щ7у-=1. ра уа Как известно, площадь эллипса равна ~апФу= агап, т. е. в нашем случае ~ р бд = 2атйг)l ~~, ( Символ ~ означает, что интегрирование проводится по пол- Ф и г. Зэ. Фаиовме кривые хля лииеаиого осииллятора.

Фааовые тонни в ре-лаоскоств выреаают эаанксм, ааонааав историк равны квант кратному ноанчннм и. ному периоду, т. е. в данном случае по замкнутому эллипсу.) Но 2ств= фсЯ, так что иг р ~у= —,=~. Следовательно, адиабатический инвариант представляет собой просто площадь эллипса, а квантовый постулат утверждает, что плошадь замкнутой кривой, описываемой в рд-плоскости (фа» розой плоскости) за один период движения, равна пелому крат- ному л (Дебай, 1Я13 г.). 142 Гд т.

Стууитуии игами и еиектрииеиие ликии Сформулированное соотношение допускает непосредственное обобщение. Сначала и качестве примера системы с одной степенью свободы рассмотрим уже упоминавшийся выше ротаторКоординатой в этом случае служит азимут и=в, которому канонически сопряжен момент р. В свободном вращении р постоянен, т.

е. не зависит от угла поворота. Тогда ~=~раб-р ~ж). Если изображать движение в плоскости рд, то интеграл должен браться по прямой линии р сонат, а не по замкнутой кривой. Фиг, 40. Иаобрапмппе базовой припой ротаторе па поверхности цпипнпра. Но следует напомнить, что в этой плоскости точки, отвечающие одинаковым р и отличающимся на 2п координатам д, представляют одно п то. же состояние ротатора. Таким образом, строга говоря, следует рассматривать не рп-плоскость, а рп-цилиндр (фиг. 40) с периодичностью 2п, так что интегрирование должно проводиться по периоду цилиндра и дать 2п.

Таким абразом, мы получаем Х=2пр. Из предположения, что правило кван. тования ~=~ р~у= й остается верным и в этом случае, следует тогда, что р а(Ь/2п). Эта формула уже была получена ранее совсем другим путем для водородного атома и с успехом применена к реальному ротатору для интерпретации линейчатых спектров. Оказывается, что правило квантования можно применять не только к системам с одной степенью свободы, но и к сложным системам со многими степенями свободы; оно всегда приводит к результатам, согласующимся с опытом.

р у. Кваитовыв условия Возможность применения его к системам с более чем одной степенью свободы обусловлена тем (Зоммерфельд, Вильсон, 1916 г.), что во многих случаях можно так ввести координаты д~, ва, ..., что сопряженные им импульсы обладают ценным свойством, именно, р, зависит только от дь ра — только от да и т.

д,; системы такого рода называются системами с раздвляющимисл переменыезми. Вообще говоря, движение таких систем многократнсь периодично '), и его можно представить в виде суперпозицинпростых гармонических колебаний и их гармоник (так называемых Ф н в 41. Кривая. иаобраыакзизан неимение системы с двумя степеням свободы.

частоты которой т, и ча несоизмеримы (фигура Лнссажу). фигур Лнссажу). Например, рассмотрим в плоскости с прямоугольными координатами х и р движение, представляющее со. бой наложение двух колебаний вдоль осей координат, с частотами чз н та (фиг. 41). Если бы тз равнялась тт, то путь был бы окружностью, эллипсом или прямой линией в зависимости от соотношения между фазамп.

Если отношение тз к та — рацио нальное число, мы опять получаем замкнутые орбиты. Если же тз и та несоизмеримы, т. е. их отношение иррационально, кривая не замкнута, а равномерно заполняет весь прямоугольник, в границах которого меняются переменные. Многократно периодическому движению, вообще говоря, свойственны орбиты как раз такого типа Однако если орбитальная кривая замыкается, совершир конечное число обращений, то фактически существует только один период н соответственно только одно ') В русской литературе чаще пользуются термином чусловио периодическое движение», — Прим.

Характеристики

Список файлов книги