1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Для краткости мы сошлемся на приложение 19, содержащее необходимые вычисления, а здесь дадим только результат: квадрат величины полного момента лгзз = птз.+ изт+ лез т л равен, согласно волновой механике, 1(!+1) (Й/2лт)в, а не Р(Ь/2я)в, кок в теории Бора. Эта отличительная черта характерна для всей волновой механики атома, и в следующей главе мы будем часто встречаться с ней. Более того, как мы узнаем там, картина расщепления термов при аномальном эффекте Зеемана дает прямое подтверждение тому факту, что квадрат момента пропорционален 1(1+1), а не Р, Однако если не говорить об этом различии, то в волновой механике мы сможем представлять моменты с помощью векторной диаграммы, известной из теории Бора; таким образом, и здесь мы изображаем й Ю.
Чвгэость полный момент вектором 1, о котором мы должны разнавсегда Ь м~ р У гэ+Ц. В случае, когда з-направление выделено, скажем, присутствием (очень и очень) слабого магнитного поля Н, действующего вдоль этого направления, составляющая вектора момента в выделенном направлении может принимать только целые значения гл (в единицах Ь/2п), и это положение вещей сохранится даже в предельном случае Н-~0. В целях большей ясности здесь, и в особенности в гл.
Ч1, мы сохраним векторное представление момента, прецессирующего вокруг выбранной оси и имеющего в направлении этой оси компоненту, величина которой может принимать только целые значения, Однако мы настойчиво подчеркиваем, что просто так, без дальнейшего обоснования, эту идею нельзя органически включить в общую систему понятий волновой механики.
Такая задача и, в частности, доказательство того, что в волновой механике два момента можно векторно складывать точно так же, как и в полуклассической теории Бора, требует использовании сложных математических методов, в особенности так называемой теории групп. По этой причине мы не станем сейчас углуб. ляться далее в эти вопросы. Однако можно упомянуть, что дальнейшее развитие теории привело к тому, что электрон стали рассматривать не как частицу, полностью описываемую тремя координатами в пространстве, но как подобное волчку образование, само по себе обладающее моментом.
С такой <спиновойэ теорией электрона мы будем иметь дело позднее (гл. Ч1, 5 1). ф 6. Четность Мы уже видели ($4 этой главы), что при работе с волновым уравнением Шредингера интерес представляют однозначные и конечные его решения — так называемые собственные функции уравнения. Оказывается, что, вообще говоря, эти решения обладают определенной симметрией относительно отражения осей координат около начала, коль скоро гамильтониан симметрииен относительно этого преобразования.
Те функции. которые при этой операции остаются неизменными, называют четными, а те, которые меняют знак,— нечетньиви. То, что весь результат такого преобразования сводится лишь к возможному изменению знака, удается усмотреть нз такого простого примера. Предположим, что гамильтоннан системы Н~(-2"-Т)(д ), Ч~ симметричен 172 Га. У. Структура атома и оиаитраиаииа мтиии Рассмотрим типичную собственную функцию $(Е), отвечаю- щую собственному значению Е, так что (Н( ь д Ч) Е1Ф(Ф вЂ” О, Заменив е на — е и используя симметрию Н, мы имеем ~ Н(-й-г —... ~у) — Е ~ ~р ( — у) = О.
Таким образом, и ф(д), и ф( — е) удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению: значит (см. $4 этой главы). коль скоро речь идет о невырождениом собственном значении Е, отсюда следует. что два решения могут отли- чаться только постоянным множителем. Йтак, ф(е) =А~у( — е). Заменив д на — а, получим Ф( — е) =АФ(е) =А'Ф( — у) Следовательно, Ат 1 и А ~1; это показывает, что ф(д) и ~р( — е) совпадают с точностью до возможной разницы в знаке. Например, как нетрудно видеть, сферические гармоники г"1 ~ (приложение 18), являющиеся собственными функциями мо« мента, либо четны, либо нечетны соответственно тому, четно или нечетно 1. Далее, можно доказать, что до тех пор, пока гамильтониаи симметричен относительно пространственных отражений, чет- ность собственных функций не меняетсясо временем.
Как гово. рят, четность сохроияется. Позднее мы узнаем, что, хотя обычно четкость и сохраняется, существуют, однако, некоторые про цессы слабых взаимодействий, которые описываются несиммет- ричными гамильтонианами, так что четность не сохраняется. 8Т 7. Статистическая интерпретация волковой ме.каюиа» В заключение нам предстоит еще рассмотреть смысл волновой функции самой по себе; до сих пор она фигурировала в качестве, так сказать, побочного продукта при нахождении собственных значений. Но для колебательного процесса знание амплитуды по крайней мере так же важно, как и знание собственной частоты. Следует ожидать, что и в волновой механике должна приобрести большое физическое значение волновая функция ф или, вернее, квадрат ее модуля, так как само по себе мгновенное значение осциллнрующей функции, разумеется, не Э" 7.
Статистическая иитериретааии еоеиоеой миеаииии ИЗ может играть роли ввиду высокой частоты ооцилляцнй. Квадрат модуля берется по той причине, что сама волновая функция (из-за мнимого коэффициента перед производной по временн в дифференциальном уравненнн) комплексна, в то время как ве- лнчнны, допускающие фнзнческую интерпретацию, конечно, должны быть вещественнымн. Мы уже упомнналн об ннтерпретацнн волновой функции, данной Борном (гл. 1Ч, 5 7). Пусть собственная функция фв соответствует некоторому состоянию; тогда ! чп 1т сгп есть вероятность. что электрон (рассматриваемый как частица) находится в элементе объема Ио. Эта интерпретация станет совершенно очевидной, если рас- смотреть не собственные квантовые состояния (с днскрет ными отрнцательнымн значениями энергии), а состояния с по- ложительной энергией, соответствующие гиперболическим орби- там теории Бора, В этом случае мы должны решить волновое уравнение ~ -е„-; — Ь -+ Š— У (г) ~ ф = О, где вместо кулоновского потенциала ет с Г фигурирует некоторый более общий потенциал У(г), взятый так, чтобы учесть возможную экранировку поля ядра со стороны прочно - связанных электронов.
Для частиц, вторгающихся в атом с очень высокими скоростями н, следовательно, с очень большой энергией Е, У(г) принимается во внимание только как малое «возмущение»; если нм пренебречь, мы получим в каче- стве решения уравнения ~ —,„",'„Л+Е~ф=О плоскую волну ф е<~"")р*, где Е =-ао —, рт а направление нормали к волне без утраты общности выбрано параллельным осн з.
В первом приближении возмущение можно учесть, подставив в качестве ф плоскую волну в член У(г)ф первоначального уравнении„.тогда мы должны найти решение уравнения (Борн, 1926 г.) -й-~ — Ь+ Е) ф = тг(г) егь""'~ с'. (".; Гм у. Структура атома а сктктРаавкаа лапка соответствующее волне, расходящейся от ядра. Совершенно ясно, особенно в свете аналогии с рассеянием световых волн, что интенсивность вторичной волны дает число электронов, отклоненных в определенном направлении и принадлежавших к данному налетающему пучку; фактически это и подразумевает предложенную выше статистическую интерпретацию.
Более строгое исследование приведено в приложении 20; там показано, как надо определять интенсивность, т. е. число частиц в потоке, падающем на квадратный сантиметр за секунду. В частности, если потенциал У(г) выбран так, что соответствует (экранированному) кулоновскому полю, то в результате получается (Вентцель, 1926 г.) в точности формула рассеяния Резерфорда '(гл. 111, $3). Фактически вывод проводился только для быстрых частиц, но можно показать (Гордон, Мотт, 1928 г.), что результат справедлив совершенно строго. Точное решение отличается от приближенного только членами, не влияющими на интенсивность потока.
Этот весьма замечательный факт находится в аналогии с тем, что в случае кулоновского поля волновая механика дает значения дискретных термов, совпадающие с вычисленными на основе квантования классических орбит. Если перенести описанную статистическую интерпретацию на случай дискретных состояний, когда Е„ — энергия.
а ф„— собственная функция такого дискретного состояния, то ~ф,~»~й> есть вероятность того, что электрон будет найден именно в элементе объема ~й~;,это справедливо несмотря на тот факт, что при проведении эксперимента полностью разрушалась бы связь электрона с атомом. Согласно нашей интерпретации, вероятность нахождения электрона вообще где-либо в атоме должна равняться 1; другими словами, множитель, который после решения (однородного) волнового уравнения оставался бы совершенно неопределенным, следует выбирать так, чтобы удовлетворялось уравнение ) ! Ф„Гав=1. Этот анормировочный интеграл», имеющий смысл лишь для дискретных значений энергии, играет существенную роль, так как он не меняется со временем даже тогда, когда мы, не ограничиваясь лишь стационарными состояниями, подставляем в качестве ф вообще любое решение волнового уравнения, явно содержащее время, Часто мы говорим о распределении плотности электронов в атоме или об электронном облика вокруг ядра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
