1612725063-eb24d9660fd97b365f78091f0a818088 (828996), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Решению этого уравнения посвящено приложение 16. Вместо введения Планком уровней энергии Е пйт волновая механика„точно так же как и мат ричная (см. приложение 1б), приводит к термам: Е = 1П + 1 ) йт, 1бо . Гл. К структура атома и сивктраленые лоном Основное состояние (т. е. в смысле величины энергии низшее состояние, и 0) обладает, следовательно, конечной энергией Е Ьт/2 (нулевая энергия). В дальнейшем мы используем это (гл. 1Х, $7; приложение 39). Рассмотрим далее как пример двумерного механического колебания колеблющуюся круглую мембрану, для которой дифференциальное уравнение в случае стоячих волн приводится к виду (-Д,-+-~~-)- Л) ф-а.
И здесь собственное значение параметра Л зависит от природы мембраны и пропорционально квадрату частоты. Дифференциальное уравнение легко решить в полярных координатах (прнложенне 17), и в этом случае возможные типы колебаний осуществляются только лля некоторых определений значений Л. Вместо узлов здесь имеются узловые линии, причем двух типов: !) линии, на которых г сопз1; нх нумерует радиальное порядковое число, нлн «квантовое число» и 1, 2, ...; 2) линни, на которых ф сопз1, соответствующие азнмутальному «квантовому числу» уи О, 1, 2,.... и ей уи Ю п ! тиы2 и 2 ит О Фиг.
йа. Некоторые формы колебаний круглой мембраны, аакреплеиной по краб. алесь (н вротваовоаоныосзь обычным обоавачавемм волновал малеевка! чвсло ралвальнмк узловык лаана обозначено через в, е чвсло азвмутальнык-через ои л к ы врекставлкмт собой екаавтовыа ческе» колабатеаното состоккнк. На фнг.
53 изображено несколько примеров, Знаки «+» н « — » в различных областях указывают, что соседние области колеблются всегда в противоположных фазах. Задача об атоме водорода как трехмерная квантовая задача также может быть решена в сферических координатах; это проделано в приложении 18. Необходимо добавить, что в этой задаче мы не можем говорить об обычных граничных условиях, так как область изменения независимых переменных включает все трехмерное пространство, Естественно наложить условие, й К Волновая ма»анана 167 чтобы на бесконечности волновая функция убывала «быстрее», чем 1/г.
Это следует из статистической интерпретации квадрата амплитуды волновой функции как вероятности найти электрон в определенной точке пространства (гл. У, $ 7). Указанное условие эквивалентно требованию, чтобы электрон с достоверностью находился в конечной части пространства. Учтя это «граничное условие», мы получаем решения волнового уравнения, соответствующие связанному электрону (эллиптические орбиты атома Бара), только для определенных ди. скретных значений Е. В качестве собственных значений мы получаем таким путем в точности термы Бальмера с правильной постоянной Ридберга, Š— Ей/лв.
Здесь п — главное квантовое число. Кроме него, появляются также азимутальное квантовое число 1 и магнитное квантовое число гл. Число узловых поверхностей г=сопз1 равно и†! — 1; следовательно, при данном л число 1 может быть любым целым от 0 до и — 1; что же касается т, то оно может принимать все целые значения от — 1до+1. Если принять во внимание релятивистскую поправку для массы, энергия начинает зависеть и от Е Кроме того, как следует из формы этой зависимости, 1+1 соответствует квантовому числу й Бора, так что теперь нашу номенклатуру термов нужно понимать следующим образом: 1=0, 1, 2,..., Терм з, р, И, .... В магнитном иоде энергия Е зависит и от т; действительно, точно так же, как в теории Бора„в качестве добавки к энергии появляется член тт~й. В той стадии, которой мы достигли в ее изложении к настоящему моменту, волновая механика объясняет только нормальный эффект Зеемана (см.
2 2 этой главы). Квантованию по правилам теории Вора теперь соответствует конечное число значений гп, т. е. уровней энергии в магнитном поле; фактически появляется 21+1 уровней вместо каждого одиночного уровня, существовавшего в отсутствие магнитного поля. Волновая механика качественно н количественно верно описывает (Шредингер, 1926 г.) расщепление термов в электрическом поле (эффект Штарка). Обсуждавшиеся до сих пор состояния атома водорода соответствуют„очевидно, эллиптическим орбитам старой теории Бора: в обоих случаях электрон остается на конечном расстоянии от ядра. Но в классической механике возможны и гиперболические орбиты.
Что же соответствует им в квантовой механике? Очевидно, решения волнового уравнения, не исчезающие Гл. К Стевктеее его.~в в свеетле ~~яме геиеи на бесконечности. Чтобы получить их, мы должны отбросить граничное условие — обращение в нуль решения на бесконечности — и искать решения, которые на больших расстояниях от ядра ведут себя приблизительно как плоские волны. В действительности такие решения существуют, причем для всех положительных значений энергии. Их физическая интерпретация дает картину того, что происходит, когда электрон, двигаясь из бесконечности, пролетает вблизи ядра и отклоняется в его поле. На самом деле можно показать, что формула Резерфорда для рассеяния строго справедлива и в волновой механике — мы еще вернемся к этому (гл.
Ч, $ 7; приложение 20). Непрерывный спектр энергии обнаруживает себя .и другими путями. Согласно принципам Бора, любой переход между двумя состояниями соответствует акту излучения илн поглощения света. Если одно или оба этн состояния принадлежат к непрерывной области значений энергии, соответствующий спектр частот света будет также непрерывным. Это объясняет появление непрерывного рентгеновского спектра, порождаемого столкновениями электронов с металлической мишенью (гл. Ч, $7).
Добавим несколько замечаний о проблеме многих тел в волновой механике. Здесь мы, конечно, имеем дело с решениями волнового уравнения в многомерном пространстве; так, вычисление спектра гелия требует учета нн много ни мало шести координат, а спектра лития — девяти. Ясно, что в этих случаях нельзя ожидать точного решения, так что мы вынуждены довольствоваться приближенным решением задачи. Методы хорошо развитой теории возмуи(еиий позволяют нам продвинуться в этом приближении так далеко, как мы того пожелаем; однако объем вычислений беспредельно возрастает с ростом порядка приближения. Этими методами были успешно вычислены низшие термы Не, Ы+ и И, причем результаты оказались в хорошем согласии с опытом (Хиллераас, 1930 г.).
Совершенно точные суждения можно извлечь нз любых свойств симметрии„которыми должна обладать волновая функция в силу симметрии, присущей соответствующей задаче. Наиболее важное из этих свойств симметрии состоит в полной эквивалентности электронов и следующей отсюда неразличимости нх; волновая функция должна быть, конечно, одинаковой вслучаях, когда, скажем, первый электрон находится на К-оболочке, а второй — на 1.-оболочке и когда, наоборот, второй находится на К-оболочке, а первый — на 1.-оболочке.
Это ведет к общим правилам расположения термов в атомах с несколькими валентными электронами. Однако полученные таким образом результаты еще не доступны сразу же непосредственному сопоставлению с опытом, так как в рассказанном до настоящего мо- Э в".
Мвваиввввввя мвмввв в вввввввя мввввв«в мента о волновой механике недостает существенного принципа, который был открыт Паули и который предстанет нашему вниманию только в гл. Ч1. ф А Механнчесний момент 1момеяи» имнуласау е волновой механике Механический момент играл в теории Бора особую роль прн классификации спектральных линий и систематизации тер- мов; было выяснено, что он соответствует квантовому числу А. Это вновь наводит на идею пространственного квантования, экспериментальное подтверждение которой в опытах Штерна н Герлаха, возможно, является наиболее впечатляющим доказа- тельством фундаментального различия между классической и квантовой механикой. Итак, возникает вопрос: как обстоит дело с этим в волновой механике? Способна лн она естественным образом описать пространственное квантование? В волновой механнке моменту, как н нмнульсу, соответ- ствует свой дифференциальный оператор, компоненты которого суть Ь/ дд1 т„= ррв — ерв = — ~у — — я — ), 2я1 1 дв ду)' Ь ? д д 1 т„=яр — хр, 1з — — х — ), зя1 1 дх дв) ' Ь ? д д 1 т, =хрв — ррв=-БГ1х — — У вЂ” ) ду дх) ' В чем значение этих операторов? Состояние электрона опреде- ляется волновой функцией ф.
Для ответа на вопрос, принадле- жат ли этому состоянию определенные значения компонент мо- мента вдоль трех координатных осей, мы должны, согласно правилам волновой механики, «применить» упомянутые опера- торы к волновой функции ф„т. е. совершить над нею диффе- ренцирования, указанные в операторах. Тогда появляются две возможности: либо эта операция воспроизводит волновую функ. цню с точностью до множителя, либо нет. В первом случае волновая функция называется собственной функцией уравне- ния для момента тф=т Ф, а состояние, представляемое собственной функцией, обладает поэтому определенным моментом вдоль оси х, величина которого равна «собственному значению» шв (причем т„здесь— обычное число, а не оператор, как лт ).
Если, однако, применив оператор тв к волновой функции, мы получим другую функцию, 170 Гл. т. Стеектева атома а вквктравькллв викка вовсе не совпадающую с точностью до постояннного множителя с волновой функцией, т, е., как говорят в таких случаях, если ф не является собственной функцией уравнения для момента, то это будет означать, что рассматриваемое состояние электронов не связано с фиксированным значением момента вдоль оси х. В случае собственных функций, приведенных в приложении 18, благодаря самому выбору полярной оси (оси «) мы выделили ее с самого начала.
Согласно теории Бора, составляющая момента вдоль этой оси должна быть квантованной. Так вот, вол. новая механика действительно показывает, что собственные значения «-компоненты момента представляют собой целые кратные величины й/2лт. Именно, введя сферические коорди наты, мы имеем Л I д д1 Л д а применив этот оператор к собственной функции состояния, характеризующегося квантовыми числами п, 1, ш, мы получаем после учета формы зависимости волновой функции от у (зависимости вида е' ч): Л д Л Пзлфло =-Я~ да Рлпл=лт-~„- Фл8лве так что собственные значения компоменты пз, момента действительно равны тЬ/2лт. Что же касается компонент момента вдоль двух других осей координат, то, как легко обнаружить, з данном случае мы не можем найти собственных значений и поэтому не получаем определенных величин пз и щ,. С другой стороны, величина полного момента атома, который может свободно вращаться (в отсутствие внешнего поля), — эта величина во всех случаях квантуется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
