1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Происхождение инфракрасной расходимости связано с равенством нулю массы фотона, в силу чего его энергия может быть сколь угодно малой. Хотя фотоны сколь угодно малых частот фактически не наблюдаемы, но инфракрасная расходимость имеет прин- 342 [гл. хч излзчкник ципиальное значение. Строго говоря, всякое столкновение заряженных частиц сопровождается испусканием бесконечного числа мягких квантов, вероятность же столкновения без испускания фотонов вовсе, нли с испусканием конечного числа их, равна нулю.
В этом смысле можно сказать, что столкновение заряженных частиц не может быть строго упругим. При точном вычислении полной вероятности таких столкновений необходимо «обрезать» спектр испускаемых фотонов: надо условиться считать «упругими» все случаи, когда испускаются фотоны с частотами, не превосходящими некоторого малого, но конечного предела.
Задача з) Определить сечение тормозного излучения при пролетанаи влек. трона в поле неподвижного ядра с зарядом +Ве. Предполагается, что о~~с, по в то же время Лез/Ь((1, Лез/Бо'((1, где о и о' — начальная и конечная скорости электрона (последние неравенства — условия примени. мости борновского приближения, в котором пренебрегается влиянием поля нв волновые функции электрона до н после столкновения). Р е ш е н и е. В соответствии с (97,4) сечение столкновений, в которых яспускается фотон с энергией ла, а электрон приобретает импульс рг=тч', направлевный в элементе телесных углов по', определяется формулой 4ыз по = — [ дп [ з р" ор' оо'.
за» (1) дополнительный множительозр'=р'зг(р'ао'связан с тем, что конечное состояние (свободный электрон с импульсом р') относится к непрерывному спектру. Переход аг вероятности (в (97,4)) к сечению осуществляется путем соответствующей нормировки волновой функции начально~о электрона,— на единичную плотность потокж — рг ,р, ей (2) где р=юч (ср. (21,6)). Волновая функция конечного электрона — плоская волна, нормированная на б-функцию в ямпульсном пространстве: — р'г фг= —,.
е" (3) рь й)' Частота испусиаемого фотона связана с р н р' уравнением сохранения внергин: йю =,— (р« — р"), ! 2т (4) з) Пользуемся обычными единицами. 343 6 181) РЛССЯЯННЕ СВЕТЛ Вычисление матричного элемента дипольиого момента электрона й=сг (в его движении относительно центра поля) надо, однако, производить ие сразу по функциям (2) и (3), а лишь после учета уравнения движения в этом пола гсз тг=- у —.
г В квантовой механике это уравнение надо понимать как связь между соответствукхцимн операторами (ср. (21,2)). Взяв матричные элементы этих операторов, находим 1) т(г)хт= — тазггг=2сз (Ч вЂ”,) ')„' 11 Матричный элемент (р — ) по фунхцням' (2), (3) сводится к компог г! ненте Фурье ( 1) ~( 1)~ г», . (1) 4пй1 где йя=р' — р н использована формула (68,6). В результате формула (1) лает 8 / е' й' о'саво' па Иг= — лэи ( — ) Зп (,тса) и(ю — т')' а ' Для интегрирования по направлениям э' пишем (т — т')з=оз+оэ — 2со'соз8, по'=2па(пэг(8 и после интегрирования по пэ находим окончательно !6 Г ез йз сз о+о'с(а по= — хасс ! —,) — 1п— 3 (тсэ) га о — о' а ' Инфракрасной катастрофе отвечает расходнмость этого выражения прн а-+О.
8 101. Рассеяние света Рассеяние фотона атомом представляет собой поглощение начального фотона (с импульсом к) с одновременным испусканием другого фотона й'. При этом атом может остаться либо на начальном, либо на каком-то другом уровне энергии. В первом случае частота фотона не меняется (релссвсксе или несмещенное рассеяние), а во втором — меняется на величину (О' — ш = Е,— 'Ер (1О),1) где Е! и Е! — начальная и конечная энергии атома (колгбинационное или слгещеянсе рассеяние). Если вначале атом находился на основном уровне, то частота может изменяться 344 [гл. хч излучения лишь в сторону уменьшения.
Прн рассеянии же на возбужденном атоме конечный уровень может лежать как выше, так и ниже начального, в связи с чем комбинационное рассеяние может приводить как к уменьшению, так и увеличению частоты. Поскольку оператор электромагнитного взаимодействия не имеет матричных элементов для переходов с одновременным изменением двух фотонных чисел заполнения, то эффект рассеяния появляется лишь во втором приближении теори~ возмущений. Его надо рассматривать как происходящий через определенные промежуточные состояния, которые могут быть двух типов: 1.
Фстон й поглощается, атом переходит с начального уровня Е; на один из других своих возможных уровней Е„; при последующем переходе в конечное состояние испускается фотон 1«'. П. Испускается фотой к', атом переходит в состояние Е„, при переходе в конечное состояние поглощается фотон )«. Согласно (36,2) роль матричного элемента для рассматриваемого процесса играет сумма — ~ ( ~"«'Я + м "' ) (191 2) ~,6« — 8.' 8 — кг.",) Здесь ф =Е,+ы — начальная энергия системы «атом + фотоны>, а 8„и 8„— энергии двух указанных типов ! м промежуточных состояний: ~„'=.Е„, ~«„"=Е„+ы+ы', 'г'„; и $'м — матричные элементы переходов с поглощением, а р'~„ н Ф'„', — с испусканием фотона; из суммирования по л исключается начальное состояние атома (что отмечено штрихом у знака суммы). Наша задача состоит в вычислении сечения процесса рассеяния.
Это можно сделать с помощью той жеформулы (95,14), которая была использована ранее для вычисления вероятности спонтанного испускания. Действительно, отличие состоит лишь в том, что «нзлучателем» для испускания фотона ы' является теперь не изолированный атом, а система из атома вместе с падающим на него фотоном ы. Переход от вероятности к сечению осуществляется просто делением вероятности на плотность потока падающих на атом фото- й 1011 елсскяник светл нов. Волновой функции фотона, нормированной на «1 фотон в объеме Я», соответствует плотность потока, равная с)(2— произведению скорости с на плотность числа фотонов 1)(2. В релятивистских единицах с= 1, и, таким образом, сечение вычисляется по формуле й~ = ч -т ) )'~; !з ы ы а!з', !)з (101,3) где с(о' — элемент телесного угла для,направлений рассеянного фотона. Будем считать, что длины волн начального и конечного фотонов велики по сравнению с размерами рассеивающего атома.
Тогда для матричных элементов всех переходов можно воспользоваться дипольным приближением. Согласно (97,2) и (97„2а) (газ= — ! )/ --" (ей„!), и аналогично для )г'„; и (ггв (е и е' — векторы поляризации фотонов оз и оз'). Подставив все эти выражения в (101,2) и затем в (101,3), получим сечение рассеянии ') аио з ао (АГ)з г(о', где амплитуда рассеяния Чэ ((бтЕ'*) (б ЗЕ) (бт»Е) (6»за'») ) е>ы — ы ы„у+ы ' (101 5) 6о>„; = Ев — Еь Йо„г = ń— Е; эта формула была получена Г.
Крамерсолг и В. Гейзенбергом (1925). Суммирование по и производится по всем возможным состояниям атома, включая состояния непрерывного спектра (при этом состояния ( н )' автоматически выпадают из суммирования, поскольку диагональные матричные элементы би-— -дм.=0,— см. ~ 54) ). ') Здесь н ниже пользуемся обычнымн единицами. з) Формула (!0),4 — б) не применима в случае резонанса, когда частота ы близка к одной из частот ы„!или ыро В этом случае(так называемая резонансная флроресяеяния) должна быть учтена естественная ширина спектральных линий ($ )02). 346 (гл. хч язлэчвняв гЬ =- У' ( —, ) ) е'*е )' до', (101,6) где У вЂ” число электронов в атоме. Просуммировав (101,6) его по поляризациям рассеянного фотона е', мы придем к классической формуле Томсона 1 (84,10).
Рассмотрим рассеяние света совокупностью Ф одинаковых атомов, расположенных в объеме, размеры которого малы по сравнению с длиной волны. Амплитуда рассеяния такой совокупностью будет равна сумме амплитуд рассеяния каждым из атомов. При этом, однако, надо учесть, что волновые функции (с помощью которых вычисляются матричные элементы дипольного момента) для нескольких одинаковых атомов, рассматриваемых одновременно, нельзя считать просто одинаковыми. Волновые функции по самому своему существу определены лишь с точностью до произвольного фазового множителя, и эти множители у каждого атома Легко видеть, что амплитуда рассеяния отлична от нуля только для переходов между состояниями одинаковой четности (в том числе для совпадающих состояний 1 и 1).
Действительно, матричные элементы вектора б отличны от нуля только для переходов между состояниями разной четности; поэтому четности состояний ( и 1 должны быть противоположны четности одного и того же (в каждом члене суммы в (101,5)) состояния и, а потому одинаковы между собой. Это правило противоположно правилу отбора по четности при излучении (электрически дипольном), так что имеет место, как говорят, альтернативный запрет: переходы, разрешенные в излучении, запрещены в рассеянии, а разрешенные в рассеянии — запрещены в излучении.
При ь 0 ампдитуда рассеяния стремится к конечному пределу. Сечение несмещенного рассеяния (ы' — ы) прн малых ы оказывается поэтому пропорциональным ы'. В обратном случае, когда частота ю велика по сравнению со всеми существенными в сумме (101,5) частотами в„щ, в„т (но, конечно, по-прежнему длина волны велика по сравнению с атомными размерами), мы должны вернуться к формулам классической теории. Действительно, вычисление первого неисчезающего члена разложения амплитуды (101,5) по степеням 1(м (иа котором мы не будем останавливаться) приводит к сечению рассеяния $ 102! асткстввннхя шигинх спзктгхльиых линий 347 свои. Сечение рассеяния должно быть усреднено по фазовым множителям каждого атома независимо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
