1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Зта инвариантность обеспечивается тем, что биспинорная волновая функция включает в себя оба спинора, переходящие друг в друга прв инверсии. В свою очередь, необходимость включения в описание частицы двух спиноров связана с массой частицы: как видно из (82,2) или (82,6), именно через величину т осуществляется взаимное «зацепление» этих спиноров в волновом уравнении. Зта необходимость отпадает, если масса частицы равна нулю. Такой частицей со спином ув является нейтрино.
Волновое уравнение, описывающее такую частицу, может быть составлено с помощью всего одного 4-спинора, скажем, непунктириого спинора =(~:) Оно имеет вид (91,1) (р„— рп) 3=0 (первое из уравнений (82,6) с т=О). Для плоской волны (частица с импульсом р и энергией е) уравнение (91,1) сводится к алгебраической системе (а — рп) 9= О. Но у частицы с равной нулю массой энергия связана с импульсом равенством а=) р1, Введя единичный вектор и в направлении движения, получим (пп) 3 =3. (91,2) Зто равенство имеет простой смысл.
Вспомним, что для ') Она была сформулирована Г, Людереом, В. Паули а Ю. Швинеером 9966). З)У Ф 911 нейтрино двухкомпонентиой волновой функции матрицз з= Узо является оператором спина частицы (9 40). Произведение же Узпп является, следовательно, оператором спиральности частицы Х вЂ” проекции спина на направление импульса. Поэтому равенство (91,2) означает, что частица имеет определенную апиральность ) =+ Уз — спин направлен по направлению движения.
Таким образом, мы приходим к заключению, что частица, описываемая всего одним (непунктирным) спинором, должна всегда иметь определенную спиральность ) =+Уз. Совершенно аналогичным образом, для частицы, описываемой пунктирным спинором -Ж получается вместо (91,2) уравнение (пп) г) = — т), (91,3) т. е. такая частица всегда имеет спиральность Х= —.Уз — ее спин направлен противоположно импульсу. Можно сказать, что в обоих случаях обязательна продольная поляризация частицы. Легко видеть, что частица и античастица должны иметь противоположные спиральиости. Действительно, если одна из них описывается спинорами $, то другая должна описываться комплексно сопряженными спинорами ве,— это очевидно из вида Ч'-операторов (85,3), в которые операторы уничтожения частиц и античастиц, ар и Ьр, входят умноженными на комплексно сопряженные функции.
Но спинор йе, сопряженный непуиктирному спииору 9, эквивалентен пунктирному спинору, чем и доказывается сделанное утверждение. Принято называть нейтрино частицу со спиральностью — Уз, а антинейтрино — частицу со спиральностью Уз '). Инверсия меняет знак спиральности. Действительно, проекция спина на направление движения получается г) Существование нейтрино (злектрнческн нейтрзльной безмвссовой частицы со спнном '/з) было предсказано теоретически ))арли (1931) для объяснення свойств Р-рзспздз.
Теория нейтрино кнк частицы, опнсывеемой двухномпонентным 4-спянором, была сформулирована Ландау, А. Саламом н Ли н Янгом в 1957 г. 318 ~лстицы и лнтичхстицм [гл. хш сналярным перемножением векторов момента и импульса частицы; первый из них (будучи аксиальным вектором) не меняется при инверсии, а второй (полярный вектор) меняет знак. Отсюда ясно видна несимметричность нейтрино по отношению к инверсии: инверсия «превращает» нейтрино в несуществуюп[ую в природе частицу — нейтрино с другим знаком спиральности. Симметрия сохраняется только по отношению к комбинированной инверсии — инверсии с одновременной заменой нейтрино на антинейтрино. Естественно поэтому также и нарушение зеркальной симметрии в процессах, идущих с участием нейтрино (таких, например, как р-распад нейтрона на протон, электрон и антинейтрино: и-»р+е+ч).
Глава Хт"к ЭЛЕКТРОН ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ 5 92. Уравнение Дирака для электрона во внешнем поле Волновые уравнения свободных частиц по существу вы. ражают собой лишь те свойства, которые связаны с общими требованиями простраиствеиио-времеиибй симметрии. Происходящие же с частицами физические процессы зависят от свойств их взаимодействий. В релятивистской теории оказывается невозможным основанное иа каком-либо простом обобшеиии волновых уравнений описание частиц, способных к сильным взаимо.
действиям, описание, выходящее за рамки сведений, содержащихся в уравнениях свободных частиц. Метод волновых уравнений, однако, применим для описания электромагнитных взаимодействий частиц, ие способных к сильным взаимодействиям. Сюда относятся электроны (и позитроны), и, таким образом, для существующей теории оказывается доступной вся огромная область кван. товой электродинамики электронов ').
В этой главе мы рассмотрим некоторые вопросы квантовой электродинамики, ограниченные рамками теории одной частицы. Это — задачи, в которых число частиц ие меняется, а взаимодействие может быть описано в терминах внешнего электромагнитного поля, создаваемого источниками, состояние которых остается в течение процесса неизменным. 1) Не способны к сильным взаимодействиям также н нестабильные частицы — р-мезоны; они обладают тем же спииом (Нз), что и электрон, и описываются той же квантовой злектродинамнкой в области явлений, происходящих за времена.
малые по сравнению с нк продолжительностью жизни (связанной со слабыми взаимодействиями). ЭЛЕКТРОН ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ [гл. хгк Волновое уравнение для электрона в заданном внешнем поле можно получить подобно тому, как это делается в нерелятивнстской теории (3 43). Пусть Ф вЂ” скалярный, а А — векторный потенциалы поля. Мы получим искомое уравнение, заменив в гамильтониане уравнения Днрака (83,9) оператор импульса р= †на разность р — еА и, кроме того, добавив к гамильтониану потенциальную энергию частицы еФ '): Й = а (р — еА) + [)т + еФ.
(92,!) Этим исчерпываются все необходимые изменения; никаких искусственно вводимых дополнительных членов (подобных введенному в (43,4)) здесь не требуется: мы увидим ниже, что магнитный момент электрона появляется здесь автоматически. В четырехмерной записи переход от (83,9) к (92,1) означает замену оператора 4-импульса р„=[д[дхе согласно р, р, — еА„, [92,2) где Ан=(Ф, А), А =(Ф, — А) — 4-потенциал поля.
Поэтому уравнение Дирака для частицы в поле можно записать также и в виде [уз(р„— еАН) — тп1 ЧТ=О, (92,3) получающемся путем этой замены из (83,3). Плотность тока, выраженная через волновую функцию, дается той же формулой (84,7), что и в отсутствие внешнего поля. Легко видеть, что при повторении с уравнением (92,3) тех же выкладок, которые были произведены при выводе (84,7), 4-потенциал А выпадает и уравнение непрерывности получается для прежнего выражения тока.
9 93. Магнитный момент электрона') В 4 43 был установлен внд нерелятивистского гамнльтониана для движения частицы со спииом во внешнем магнитном поле. В это выражение, однако, входил магнитный ') Буквой е обозначаетск заряд вместе со своим знаком, так что для электрона е= — [е[, а длк позитрона е=-+ [е[. ') В этам и следующем параграфах полэзуемск абычными единицами, э 93) МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ЭЛЕКТРОНА 321 момент частицы как эмпирический параметр, величина которого не могла быть вычислена теоретически. Для частицы, поведение которой в электромагнитном поле подчиняется уравнению Дирака (92,3) (будем говорить — для электрона), значение магнитного момента автоматически устанавливается самим этим уравнением. Имея в виду эту цель, покажем, каким образом можно привести уравнение Дирака к приближенному виду, соответствующему нерелятнвистскому гамильтониану (43,4). Поскольку речь идет о движении частицы со скоростями О~(с, то естественно исходить из стандартного представления биспинорной функции Ч', в котором одна пара компонент мала по сравнению с другой: Х((ГГ (см.
конец э 83). В 5 83 уравнения Дирака в стандартном представлении волновой функции были написаны для свободной частицы— (83,11). Введение в эти уравнения внешнего электромагнитного поля достигается заменой операторов согласно (92,2); таким образом, получим /" е (р„— НФ) Гр — а ( р — — А) у. = тсГР, с Г" е — (Ре — Ф)Х+О(Р— —,А~ Р= Ь где ГЙ д ре=- — —, Р= — (~Ч' с дГ Для перехода к нерелятинистскому приближению необходимо, однако, произвести еще предварительно определенное преобразование волновой функции. Дело в том, что релятивистское выражение для энергии частицы (а с ним и релятивистский гамильтониан) содержит в себе лишний (по сравнению с нерелятнвистским выражением) член— энергию покоя тс'.
Это приводит к появлению во временной зависимости волновой функции лишнего множителя ехр( — тмГьЬ). Для исключения этого множителя вводим вместо Ч' новую волновую функцию Ч"' согласно ЧГ=ЧГ'е-Г ечГА. (93,2) Подставив (93,2) в (93,1), получим следующие уравнения для двухкомпонентных величин Гр' и т', составляющих 322 ЭЛЕКТРОН ЕО ЕИЕШНЕМ ПОЛЕ (гл. хш четырехкомпонентную 1Р"'. 15 — — еФ1) ср' с Оо /р — — ' А) у', (93,3) ( ' )'= — ')' д1 (. д, ), " е Й вЂ” — ЕФ+ 2тс') ~(' = со (р — -' А ) <р' (93,4) дг (ниже мы будем опусиать штрихи у ~г' и у', это не вызовет недоразумений, так как в этом параграфе мы пользуемся только преобразованной фуницией Ч'). В первом приближении оставляем в скобках в левой стороне уравнения (93,4) лишь самый большой член 2Рпс'. Тогда это уравнение позволяет сразу выразить т через ср согласно 2~пс (,р с ) ~' 1 /- е (93,5) Множитель 1/с в правой стороне равенства как раз и выражает малость ( по сравнению с ~р.
Подставив теперь (93,5) в (93,3), получим уравнение, содержащее уже только <р: (1~дг е1Э) 'Р 2 (о(р — — А)~ Ф. Раскроем выражение в правой стороне этого уравнения. При этом воспользуемся следующими свойствами матриц Паули, непосредственно следующими из их определения (82,5): о о = — о о = 1а, о о = — а о = 1а, (93 5) а„о †΄ = 1о,. е Обозначив временно 1 = р — А, пишем с (о()' = (о„~„+ ОД + ОД) (о„~„+ о,( + арф) = = й+й+й+1ОИ. 1Л-1,1.,)+" Если бы 1'„, 1Р, 1, были коммутативны, мы получили бы $93] млгнитный момент злекттонл 323 данном случае !ей и т. д., где Н =го! А — магнитное поле.
Таким образом, (о(р — е А)) =(р — е А) — — ОН, и в результате мы приходим к следующему уравнению для двухкомпонентной волновой функции йн 7А — = !à — ( р — — А) — — ОН + НФ~ ф ими Н~р. (93 7) дф Г ! '" е Х' сл дт (2т (, с ) 2тс Это — так называемое уравнение Паули. Сравнение фигурирующего в нем гамильтониана с (43,4) показывает, что электрон обладает магнитным моментом, которому соответствует оператор еа сй" )$= — о= — ' в, 2тс тс (93,8) где з = тто — оператор спина электрона. Величина этого момента, определенная согласно (43,1), равна Р ей (93,9) Как уже упоминалось в 9 43, гиромагнитное отношение для собственного магнитного момента электрона (е7тс) оказывается вдвое большим, чем это было бы для магнитного момента, связанного с орбитальным движением ').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
