1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 53
Текст из файла (страница 53)
302 ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ (гл. хш Действительно, в таком случае гамильтониан (86,6) при- нимает вид Й ~ар (ир лр ЬР ЬР 1) Р Собственные значения произведений аРРИР и Ь'Ь, равны положительным целым числам Л' и УР— числам частиц и античастиц в соответствуюпп1х состояниях. Бесконечную же аддитивную постоянную — "',.еР («энергию вакуума») можно просто опустить — как зто было сделано по такому же пог >ду в случае фотонов (3 77).
Тогда для энергии системы получится существенно положительное выражение: Е=-~ер(Л'р ' Л'р), Р (86,9) что как раз соответствует представлению о двух родах р.ально существующих частиц: полная энергия системы равна сумме энергий всех составляющих ее частиц и анти- частиц.
перед этой суммой. Обратный же (по сравнению с первой суммой) порядок множителей Ь и Ь во второй сумме связан с тем, что в Ч"-операторах (85,3) вместе с аР и ар+ фнгУрируют соответственно Ь„+ и Ь,. Аналогичным образом для оператора (86,4) (который обозначим теперь через 4) получим вместо (86,5) 4 =~ аР'аР+~ Ь,Ь,',.
(86,7) Для определения собственных значений операторов (86,6) и (86,7) необходимо предварительно привести порядок множителей во вторых суммах к стандартному: Ь'ЬР; собственные значения именно таких произведений равны числам заполнения. Здесь, однако, становятся существенными правила коммутации, которым удовлетворяют операторы рождения и уничтожения частиц. Легко видеть, что разумный результат для собственных значений гамильтоннана (86,6) получится, лишь если эти операторы удовлетворяют правилам коммутации Ферми: + .|- аеа +аРа =1, ЬРЬ++Ь+ Ь =-1.
(86,8) з 861 ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ зоз Если же мы приняли бы вместо (86,8) правила коммутации Бозе (коммутаторы вместо антикоммутаторов), то получили бы Н = ч~, 'в, ("а,+, а, — 5+ 5» + 1) и вместо (86,9),— физически бессмысленное выражение ~~'.,в, (Йгв — Жв), не положительно определенное и потому не могущее представлять собой энергию системы свободных частиц, Установив, таким образом, правила коммутации операторов уничтожения и рождения частиц, обратимся теперь к оператору (86,7). Изменив с помощью (86,8) порядок множителей во второй сумме, получим Я =~и' (а,+а„— Ь»'Ьз+ 1). о Собственные значения этого оператора (снова за вычетом несущественной алдитивной постоянной ~") () =Х(д„— У,), (86,10) т. е.
равны разностям полных чисел частиц и античастиц. Этот результат очень важен. Оператор 1г отвечает той величине (84,2), закон сохранения которой выражается уравнением непрерывности (84,1), Мы видим теперь, что этот закон не требует сохранения числа частиц и числа античастиц по отдельности или же их суммы. Должна сохраняться лишь разность этих чисел. Другими словами, в процессах различных взаимодействий могут возникать и исчезать пары «частица — античастица» '). Разумеется, все такие процессы должны происходить с соблюдением законов сохранения энергии н импульса всей системы взаимодействующих частиц.
В частности, исчезновение пары при столкновении частицы с античастицей должно сопро. вождаться появлением каких-то других частиц, обеспечивающих сохранение энергии и импульса; таковыми могут быть фотоны,— в таком случае говорят об аннигиляции пары. ') При атом подразумевается, конечно, что взаимодействие не нарушает сохранения величины ч. Все известные в природе взаимодействия удовлетворяют этому условию. 304 ЧАСТИЦЫ И АИТИЧАСТИЦЫ [гл. хш Если частица электрически заряжена, то ее античастица должна иметь заряд противоположного знака: если бы та и другая имели одинаковые заряды, то возникновение или уничтожение их пары противоречило бы строгому закону природы — сохранению полного электрического заряда. Величину Я иногда называют зарядом поля даннылс частиц. Для электрически заряженных частиц Я определяет полный заряд системы (измеренный в единицах элементарного заряда е).
Подчеркнем, однако, что частицы и античастицы могут быть и электрически нейтральными '). Таким образом, мы видим, как характер релятивистской зависимости энергии от импульса (двузначность корня уравнения е'=р»+гп') совместно с требованиями релятивистской инвариантности приводит в квантовой теории к появлению нового классификационного принципа для частиц — возможности существования пар различных частиц (частица — античастица), находящихся в описанном выше соответствии друг с другом. Это замечательное предсказание впервые был() сделано Дираком в 1930 г. еще до фактического открытия первой античастицы — позитрона (аитиэлектрои) '). 9 87. Связь спина со статистикой Изложенные в предыдущем параграфе результаты имеют еще и другой важный аспект: мы видели, что естественные физические требования автоматически приводят к тому, что частицы со свином [гз подчиняются статистике Ферми.
Отсюда в свою очередь следует также и общее утверждение: все частицы с пол уцелым спином явля ются ферми онамн, а частицы с целым спином (в том числе со спином О) — бозонами '). ») Среди фермиоиов таковы нейтроны и нейтрино (спин»7»), Среди бозонов таковы нейтральные К-мезоны (спин О). ') Сам Дирак пришел к представлению о позитроне как о «дырке» в континууме занятых электронами состояний отрицательной энергии. Такое представление, однако, не только не может иметь, очевидно, буквального смысла, но не адекватно также и в том отношении, что понятие о частицах и античастицах относится в действительности к частицам любого спина, а не только к частицам с полуцелым спинок, для ко. торых справедлив принцип Паули.
«) К частннам с целым спниом относятся также и фотоны. Тот факт, что фотоны являются бозонами, был уже выяснен в $ 77, исходя ф 87) связь спина со статистикой 305 Это становится очевидным, если заметить, что в отношении ее спиновых свойств всякую частицу с отличным от нуля спниом з можно представить себе «составленной» из 2з частиц с параллельными спинами хз (а частицу со спином Π— из двух частиц с антнпараллельными спинами )гз), При полуцелом з число 2з нечетно, а прн целом т — четно. Между тем «сложная» частица, составленная из нечетного числа фермионов, тоже является фермионом, а составленная из четного числа фермионов — является бозоном (об этом уже говорилось в ~~ 45). Действительно, критерием той или иной статистики является поведение волновой функции системы частиц при перестановке любой пары из них: волновая функция меняет знак прн перестановке фермионов и остается неизменной при перестановке бозонов.
Перестановка двух частиц с полуцелым спинам эквивалентна, согласно сказанному, одновременной перестановке нечетного числа пар фермионов со спином )га и потому меняет знак волновой функции. Перестановка же двух частиц с целым спином эквивалентна перестановке четного числа пар фермионов и потому не меняет знака волновой функции. Специфика частиц со спином уз, использованная в изложенном в предыдущем параграфе выводе, состояла лишь в существовании для них гамильтоииана н в выражении тр" Чг для плотности частиц.
То и другое связано со спинорными свойствами вачновых функций таких частиц и со свойствами уравнения Дирака, которому эти функции подчиняются. В свою очередь, все эти свойства по существу являются следствием одних лишь требований релятивистской инвариантности и изотропии пространства (т. е. следствием симметрии по отношению к преобразованиям группы Лоренца). В этом смысле можно сказать, что и связь спина со статистикой, которой подчиняются частицы, тоже является прямым следствием этих требований '). Происхождение этой связи было впервые выяснено Лайлы (!940). из аналогии с осцилляторами, т.
е, по существу нз свойсгв злектромагнитного пачп в классическом пределе. ') Обобщение связи спина со статистикой со случая спина ',4» на частицы с произвольным спином обосновано выше рассмотрением «составных» частиц. Но к такому же результату можно было бы прийти н путем изучения математической структуры выражений, играющих лля полей »тих частиц рать операторов Н н Я, построенных в соответствии с требованиями релятивистской инвариантности. 306 [гл, хи~ ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ $88. Истинно нейтральные частицы При проведении вторичного квантования волновой функ. ции (85,2) коэффициенты а~~' н а~» ' заменялись операторами уничтожения и рождения различных частиц. Это, однако, не обязательно: как частный случай, входящие в Ч' операторы уничтожения и рождения могут относиться к одним н тем же частицам; необходимо лишь, чтобы у «положительно-частотных» волновых функций стояли операторы уничтожения, а у «отрицательно-частотных> — операторы рождения частиц.
Обозначая в этом случае указанные операторы как СР и сР, напишем Ч'-оператор в виде ВР— %в (С и (р) Е-в Ввг — РгВ+ С Ив( р) «г свг-Рг)) (88,1) Описываемое таким Ч'-оператором поле соответствует системе одинаковых частиц, о которых можно сказать, что они «совпадают со своими античастицами». Очевидно, что электрический заряд таких частиц во всяком случае должен быть равен нулю. Их называют истинно лейтральныии, в отличие от электрически нейтральных частиц, имеющих античастицу. Для истинно нейтральных частиц не существует закона сохранения «заряда» поля ф тождественности частицы и античастицы отвечает тождественное совпадение чисел У УР, так что величина (86,10) тождественно равна нулю. Ввиду отсутствия этого запрета истинно нейтральные частицы могут рождаться нли аннигилировать (превращаясь в фотон) по одиночке, а не обязательно парами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
