1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Вместе с вектором А таким же соотношениям удовлетворяет вектор поляризации е, входящий множителем в выражение (76,16). Но значения е,=~7е! как раз отвечают круговой поляризации (см. 1 5 '70). Невозможность же значения ) * 0 очевидна из того, что такому значению ь-проекции спина должна была бы отвечать волновая функция с составляющими А, А„=О, А!~0, эквивалентная (согласно (41,9)) спинорной компоненте $"; но такая функция исключается требованием поперечности вектора А по отношению к направлению к.
Глава ХП УРАВНЕНИЕ ДИРАКА $79. Уравнение Клейна — Фока Изложение релятивистской квантовой теории частиц начнем с изучения свойств волновых функций, описывающих частицы, и с построения волнового уравнения, которому эти функции удовлетворяют. Напомним, что в нерелятивистской теории волновые функции частиц с различными спинами являются спинорами различных рангов, а волновые функции свободных частиц удовлетворяют одному и тому же уравнению — уравнению Шредингера для свободного движения.
В релятивистской же теории, как мы увидим, уже вид волнового уравнения свободного движения существенно зависит от спина частицы. Наиболее прост, естественно, случай частиц со спинам О. В нерелятивистской теории они описываются скалярными волновыми функциями. В релятивистской же теории место трехмерного скаляра занимает четырехмерный скаляр, инвариантный не только по отношению к преобразованиям пространственных координат, но и по отношению к преобразованиям Лоренца.
В релятивистской механике энергия частицы в и ее импульс р составляют 4-вектор ре=(е, р) '). Соответственно, образуют 4-вектор ре также и операторы, отвечающие этим величинам. Трехмерному импульсу р отвечает оператор р †Ч, а энергии (функцин Гамильтона) в волновом уравнении сопоставляется оператор дифференцирования по времени гд!д! (ср. (8,1)). ') В гл. Х!! — ХЧ! мы будем обозначать релятивистскую энергию отдельной частицы, включающую в себя энергию покоя, буквой е, й 791 УРАВНЮШЕ КаайНА — ФОКА Таким образом, оператор 4-импульса Р = ~1 —, — (у), Р =11 —, (Ч) (79,1) или (в четырехмерных обозначениях) д Р дхР (79,2) РРР" Ч~=гп 1 (79,3) или (в раскрытом виде) д (79,4) (О.
Клейн, В. А. Фок, 1925). Отметим, что для релятивистской частицы со спинам 0 не существует гамильтониана в том смысле, как он был определен в нерелятивистской теории. Действительно, уравнение (79,4) — второго порядка по времени; между тем смысл гамильтониана Й состоит в том, что он должен был бы определять первую производную волновой функции согласно (дЧР7дГ= ЙЖ. Отметим также, что для частицы со спином О плотность вероятности ее различных локализаций в пространстве заведомо не могла бы определяться квадратом модуля )Ч'Р— уже по формальным соображениям (не говоря об изложенных в в 75 общих физических соображениях, вообще препятствующих рассмотрению волновой функции как нощггеля информации о пространственной локализации частицы).
Лело в том, что в релятивистской теории плотность распределения частиц и плотность их потока образуют 4-вектор (ср. сказанное в 1 э 54 о 4-векторе плотности тока). Плотность частиц является временной компонентой этого 4-вектора, а отнюдь не скаляром, Поэтому она во Подействуем на волновую функцию Ч' скалярным оператором Р РР— квадратом 4-вектора ре.
Но квадрат 4-импульса сводится к постоянной величине — квадрату массы гп частицы, Поэтому и результат воздействия указанного оператора на произвольную волновую функцию Ч' должен сводиться к ее умножению на гп'. Таким образом, мы приходим к уравнению 280 [гл. хн гглвнкния днглкл всяком случае не могла бы определяться скалярной величиной, каковой является квадрат модуля скалярной функции.
По причинам, которые будут указаны в дальнейшем (з 92), описание частиц с помощью скалярного волнового уравнения (79,4) имеет вообще очень ограниченный смысл. Поэтому мы не станем останавливаться здесь на выяснении математической структуры тех величин, которые для этого уравнения играют роль 4-вектора плотности потока и плотности энергии частиц. $ 80.
Четырехмерные спиноры В нерелятивистской квантовой теории частица со спином з описывается симметричным спинором ранга 2в — совокупностью 2з+! величин, преобразующихся друг через друга по определенному закону при поворотах системы координат. Этот закон выражает собой свойства симметрии частицы, связанные с изотропией пространства. В релятивистской же теории повороты пространственной системы координат выступают лишь как частный случай четырехмерных вращений — повороти четырехмерной пространственно-временнбй системы координат. О совокупности всех таких возможных преобразований говорят как о группе Лоренца.
Наряду с трехмерными вращениями (поворотами, не меняющими направления оси времени) сюда входят также и обычные преобразования Лоренца — повороты в одной из плоскостей х(, у! или г! (см. ! 4 Зб). В общем же случае четырехмерный поворот представляет собой преобразование Лоренца вместе с поворотом пространственной системы координат. Лля описания частиц со спином в релятивистской квантовой теории возникает, таким образом, необходимость в построении теории чггпарехмерных спиноров (4-спипоров), играющих по отношению к преобразованиям группы Лоренца такую же роль, какую обычные (трехмерные) спиноры играют по отношению к группе пространственных вращений '). ') другвмн словамн, 4-спнноры осуществляют непрнводнмые представленяя группы Лоренца, подобно тому как трекмерные спнноры осуществляют непрнводямые представлення группы вращений.
% 801 чвтыеехмегныв спиноен 4-'спннор первого ранга =(~:) (80,1) есть двухкомпонентная величина, которая при всех преобразованиях группы Лоренца преобразуется по формулам, аналогичным (41,3): $~ аэ~~+ Я~ Р' у$~ + б~Р (80 2) Этим равенством обеспечивается инвариаитность билинейной антиснммегричной комбинации РВЯ ~гВ~ (80,4) компонент любых двух спиноров $ и Я.
Как и в случае трехмерных спиноров, выражение (80,4) определяет собой правило образования скалярного произведения двух спнноров. Отличие от трехмерного случая возникает, однако, при рассмотрении комплексно сопряженных спиноров. В теории трехмерных спиноров (э 41) закон преобразования комплексно сопряженного спннора устанавливается требованием, чтобы сумма $1$м+ $2~м (80,5) определяющая плотность вероятности локализации частицы в пространстве, была скаляром; отсюда возникали соотношения (41,6) между коэффициентами а, Р, у. б. Но в релятивистской теории плотность частиц не является скаляром; она представляет собой временную компоненту 4-вектора причем комплексные коэффициенты сс, р, у, б являются теперь определенными функциями углов поворота 4-системы координат (в общем случае таких углов имеется б — по числу поворотов в шести координатных плоскостях ху, хг, уг, 1х, (р, 1г). Как компоненты волновой функции частицы со спином Ы, ~' и В- "отвечают собственным значениям г-проекции спина, равным соответственно + ут и — уэ.
По той же причине, что и для трехмерных спиноров, коэффициенты преобразования (80,2) связаны друг с другом соотношением (41,5), которые выпишем здесь снова: иб — у(1 =!. (80,3) 282 (гл. хп угхвиение дигхкя (как уже было отмечено в предыдущем параграфе). В связи с этим указанное требование отпадает и на коэффициенты преобразования (80,2) не налагается теперь никаких дополнительных (помимо (80,3)) условий. Четыре комплексные величины, связанные лишь одним условием (80,3), эквивалентны 8 — 2=6 вещественным параметрам — в соответствии с числом параметров преобразований группы Лоренца.
Таким образом, преобразование (80,2) и комплексно сопряженное с ним преобразование оказываются существенно различными. Это значит, что в релятивистской теории существует два типа спиноров. Чтобы различать эти два типа, приняты специальные обозначения: индексы компонент спннора, преобразующегося по формулам, комплексно сопряженным с (80,2), записываются в виде цифр с точками над ними (пункгпирные индексы)' (80,б) При этом соответствие между законами преобразования этого спинора и спинора $* устанавливается правилом (80,7) (знак — означает здесь и ниже в этом параграфе слова «преобразуется как»). Как уже было сказано, в группу Лоренца входят, в частности, и чисто пространственные вращения — повороты трехмерной системы координат.
По отношению к этим преобразованиям 4-спиноры ведут себя так же, как и трехмерные спиноры. При этом, естественно, разница между пунктирными и непунктирными 4-спинорами исчезает: те и другие преобразуются одинаковым образом. В этом, кстати, состоит и смысл определения пунктирных 4-спиноров именно по правилу (80,7), Действительно, комплексно сопряженный трехмерный спинор преобразуется (как мы знаем из З 41) по правилу $'*-$', $'*- — 5', сравнение с (80,7) показывает, следовательно, что по отношению к пространственным вращениям будет и (80,8) % 80) ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ СПИИОРЫ 283 4-спиноры высших рангов определяются как совокупности величин, преобразующихся как произведения компонент нескольких спиноров 1-го ранга. При этом среди индексов спинора высшего ранга могут быть как пунктирные, так и непунктирные.
Так, существует три типа спиноров 2-го ранга '): $"Р— $"ЯР, ~"Р $"з)в, т)'" з1'НР. (80,9) Спинор 2-го ранга имеет 2 2=4 компоненты. Если оба его индекса одинаковы (оба пунктирные или оба непунктирцыс), то спинор можно гузазделить на симметричную и анти- симметричную части: л ($"р+$рч) и згз (ачр — арч). Последняя имеет всего одну компоненту, гз ($зз — эз'), представляющую собой скаляр (ср. со скаляром (80,4)). Симметричная же часть есть совокупность трех независимых величин (»", $зз, )гз (эы+езг)), преобразующихся друг через друга при преобразованиях группы Лоренца.
для спцнора же есмешанного» характера, ь р, порядок расположения индексов вообще условен, поскольку этим индексам соответствуют различные законы преобразования. Все четыре компоненты такого спинора преобразуются друг через друга, и это число не может быть уменьшено никаким выбором их линейных комбинаций. Четыре компоненты имеет также и 4-вектор, и эти компоненты тоже преобразуются друг через друга при преобразованиях группы Лоренца. Ясно поэтому, что между компонентами смешанного 4-спинора 2-го ранга и компонентами 4-вектора должно существовать определенное соответствие. Это соответствие устанавливается такими формулами; ~гз Оэ+ Ое гчз1 (80,10) ьг' = — а'+ (аа, ьз' а'+ (аз, где аг =(ач, а) — некоторый 4-вектор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
