1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Мы увидим, что существующая теория вносит новые физические аспекты в характер описания состояния частиц, приобретающего некоторые черты теории поля. Она строится, однако, в значительной степени по образцу и с помощью понятий обычной квантовой механики. Такое построение теории привело к успеху в области квантовой электродинамики. Отсутствие полной логической замкнутости в этой теории проявляется в появлении расходящихся выражений при прямом применении ее математического аппарата, но для устранения этих расходнмостей существуют вполне однозначные способы.
Тем не менее, эти способы в значительной степени сохраняют характер полуэмпирнческих рецептов, и наша уверенность в правильности получающихся таким путем результатов основана в конечном счете лишь на их прекрасном согласии с опытом, а не на внутренней согласованности и логической стройности основных принципов теории. Совсем иной характер имеет ситуация в области теории явлений, связанных с так называемыми сильными взаимодействиями частиц (ядерными силами). Здесь попытки 6 761 квантование своводного элкктеомагнитного поля 267 построения теории, базирующейся на тех же методах, не привели пока к возможности систематического получения реальных физических результатов. Построение полной теории, охватывающей сильные взаимодействия, потребует, вероятно, привлечения принципиально новых физических представлений.
й 76, Квантование свободного электромагнитного поля ') Естественный путь перехода от классического к квантовому описанию электромагнитного поля лежит в классическом разложении поля на осцилляторы. Напомним, в чем состоит существо этого разложения (см. 1 ч 76). Будем описывать свободное элеитромагнитное поле (электромагнитные волны) потенциалами, выбранными в калибровке, в которой скалярный потенциал равен нулю, так что остается лицгь векторный потенциал А. Рассматривая поле в некотором большом, но конечном объеме пространства ьс, можно разложить его на бегущие плоские волны; потенциал изобразнтся тогда рядом вида А ~~» 1ллс "" (скегкг + ске-!кг) (76 1) г ь»Г) где коэффициенты ск зависят от времени по закону ск е-""', ю=~(г), (76,2) причем каждый из них ортогонален соответствующему волновому вектору: ск(г=О ').
Суммирование в (76,1) производится по бесконечному, но дискретному набору близких значений волнового вектора (его трех компонент й„, йн, й,). ») Начиная отсюда, в гл. Х! — ХН! (за исключением мест, оговоренкых особо) ыы будем пользоваться так называемой реклтиаислгской сисгпслгай единиц, в которой скорость света с н квантовая постоянная и полагаются равными 1; тем самым достигается существенное упрощение записи формул. В этой системе энергия, импульс и масса имеют одинаковую раз»»ериасть, совпадающую с размерностью обратной длины. Квадрат элементарного заряда в этих единицах совпадает со значением безразмерной (в обычных единицах) постоянной ег)йс, т.
е. равен 1)137. ') Определение коэффиииентов ск в (76,1) отличается ат определения коэффициентов ак в 1 (76,1) »гивжктвчем:ск = ак 1' ьй)хп. Целесообразность такого определения при переходе к квантовой теории выяснится ниже. 268 (гл. ю аотон Переход от суммирования к интегрированию по непрерывному распределению можно произвести в дальнейшем с помощью выражения я х лау ла2 (76,3) для числа возможных значений (с, приходящихся на элемент объема к-пространства. Заданием векторов сь полностью определяется поле а рассматриваемом объеме. Таким образом, зти величины представляют собой дискретный набор классических «переменных поля».
Лля выяснения способа перехода к квантовой теории, однако, следует произвести еше некоторое преобразование этих переменных, в результате которого уравнения поля приобретают вид, аналогичный каноническим уравнениям (уравнениям Гамильтона) классической механики. Именно, канонические переменные поля определяются как вещественные величины Яь= =(сь+сй), (76,4) Рь — = (сь — с~ ) = ь) ю р' ~в Функция Гамильтона (энергия) поля выражается через эти переменные как ~-ф~(~~+ 'о~)- Каждый нз векторов Рь и Ць перпендикуляр~и к волновому вектору к, т. е. имеет по две независимые компоненты.
Направление этих векторов определяет направление поляризации соответствующей волны. Обозначив компоненты векторов Рю 0ь (в плоскости, перпендикулярной (с) посредством Рц„(~м (о -"1, 2), перепишем функцию Гамильтона в виде Н вЂ”.,) Нь„, На„= — (Рь,-)- и' Я,',). (76,5) Ма Таким образом, функция Гамильтона распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только по одной паре переменных Ри„()ы.
Каждый такой ч 76) калнтоалннк саоаодного элкктеоилгнитного поля 269 член соответствует бегущей волне с определенными волновым вектором н поляризацией, причем имеет внд функции Гамильтона одномерного гармонического осциллятора. Такой способ классического описания поля делает очевидным путь перехода к квантовой теории. Мы должны рассматривать теперь канонические переменные — обобщенные координаты 1)ь и обобщенные импульсы Рк, — как операторы с обычными для координат и импульсов правилами коммутации: (76,6) РОМ ОмоРьл = (операторы же с различными индексами йп все коммутативны друг с другом). Вместе с ними становится оператором также и потенциал поля А.
Гамильтониан поля получается заменой в (76,5) канонических переменных соответствующими операторами: Н=-~~~, Нь„Нк, 2 (Рко+03 Яыа) (76,7) Определение собственных значений этого гамильтониана не требует особых вычислений, так как сводится к задаче об уровнях энергии линейных осцилляторов, решение которой нам уже известно (з 25), Поэтому мы можем сразу написать для уровней энергии поля (76,8) где йь, — целые числа. Классическое выражение для импульса поля есть Р = '~пН„, ьа где п=йй (см. 1 (76,12)). Соответствующий оператор получается заменой Нь на Йь„а его собственные значения равны, следовательно, (76,9) К обсуждению формул (76,8 — 9) мы вернемся в следующем параграфе, а сейчас выпишем матричные элементы величин Дь„что можно сделать сразу же с помощью 270 [гл.
х! аотои формул (26,4) для матричных элементов координаты осциллятора. Отличные от нуля матричные элементы равны сс' ~, <%со! 9!со~асс!со — 1> = <%са 1с!9!са ( йс!са> = ф ° (76,10) Матричные же элементы величии Р„,=К, отличаются от матричных элементов (л„ (по общему правилу (11,6)) лишь множителем .+ио: с/ с'!, <%са ! Рьо! %со — 1> — <й(ьо — 1 ! Рьо ! й(ьа> = 1!о У 2о Как будет ясно из дальнейшего, более глубоким смыслом обладают однако, не сами операторы Яа и Фьа, а их линейные комбинации: ! сь ==-~=-(а!9,о+(Рьа) 1' 2м ! ~м==( () .— !Р..), Г 2м как раз соответствующие определению коэффгщиентов соо в классическом разложении (76,1).
Единственные отличные от нуля матричные элементы этих операторов равны <%со 1 ~ с!со ~ %са> = <й!!со ~ асс! %со 1> = )с %со (76 12) С помощью определения (76,11) и правила (76,6) легко найти правило коммутации между операторами сьо и сао.' с ь о с !со — с !со г !со — 1 . (76,!3) Таким образом, мы приходим к выражению оператора электромагнитного поля в виде А = ~„)/ — (сьоесссес"'-1-с~ьаесс"е-с"с). (76,! 4) !со Здесь введено обозначение е"с для единичных векторов, определяющих поляризацию осцилляторов; веиторы е"' перпендикулярны волновым векторам й, причем для каж- 5 761 квантовании сговодного электгомкгнитного поля 271 дого )с имеется по две независимые поляризации, нумеруемые индексом о=1, 2').
Выражение (76,14) соответствует обычному в нерелятивнстской квантовой теории представлению операторов, подразумевавшемуся на всем протяжении первой части этой книги. В этом представлении (его называют ш)зедингеровским) операторы различных физических величин сами по себе явной зависимости от времени не содержат. Временная же эволюция системы описывается временнбй зависимостью волновой функции. Аппарат квантовой механики можно, однако, сформулировать и в несколько другом, эквивалентном виде, в котором явная зависимость от времени перенесена с волновых функций на операторы; такое представление операторов называют гейзенберговскиы. Такая формулировка аппарата становится в особенности целесообразной при описании полей в релятивистской квантовой теории: равноправная зависимость операторов от координат и времени позволяет более явно выявить релятивистскую пространственно-временную инвариантность теории (между тем как в шредингеровской формулировке пространственные координаты и время входят крайне несимметричным образом).
Для оператора А переход к гейзенберговскому представлению сводится к добавлению в каждом члене суммы (76,14) множителя н ""' (или ему сопряженного), соответствующего временнбй зависимости «стационарных состояний осцилляторов поля». Окончательное выражение оператора А запишем в виде А (г, () = ~1, '( сь,Аво+ сьоА~,',).
(76,15) ро где А во = ем1 ~/ — е г <мг- вг) (76,16) В дальнейшем (при рассмотрении как электромагнитного поля, так и полей частиц) мы всегда будем подразумевать гейзенберговское представление операторов поля. г) Напомним (см. ! $70), что дкя линейной поляризации единичный векторе веществен и непосредственно указывает направление поляризации. Для круговой (и в общем случае — эллиптической) поляризации вектор е — комплексный с определенным отношением вещественной н мнимой частей; единичность вектора надо понимать при этом как равенство еее= (. 272 (гл. хг нотон ф 77. Фотоны Обратимся к обсуждению полученных формул квантования поля. Прежде всего, формула (7б,й) для энергии поля обнаруживает следующую трудность. Наиболее низкому уровню энергии поля соответствует равенство нулю квантовых чисел Йк, всех осцилляторов (это состояние называют состоянием вакуума электромагнитного поля).
Но даже в этом состоянии каждый осциллятор обладает отличной от нуля «нулевой энергией» нь!2. При суммировании же по всему бесконечному числу осцилляторов мы получим бесконечный результат. Таким образом, мы сталкиваемся с одной из «расходимостей», к которым приводит отсутствие полной логической замкнутости существующей теории. Пока речь идет лишь о собственных значениях энергии поля, мы можем устранить эту трудность путем простого вычеркивания энергии нулевых колебаний, т. е.
написав для энергии и импульса поля (в обььчных единицах) Е "~ ~(ь7~,Ьлн, Р = ~з йгмЬ. (77,1) ин Эти формулы позволяют ввести основное для всей квантовой электродинамики понятие о световых квантах нли фотонах '). Именно, можно рассматривать свободное электромагнитное поле как совокупность частиц, каждая из которых имеет энергию апьа и импульс апй=-пйьвйь Соотношение между импульсом и энергией — такое, каким оно должно быть в релятивистской механике для частиц с равной нулю массой покоя, движущихся со скоростью света. Числа йгк, приобретают смысл чисел фотонов с заданными импульсами и поляризациями е"'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
