1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 46
Текст из файла (страница 46)
В ре- зультате получим где матричный элемент берется по атомным волновым функциям: ~е 'ч' ~ =~ ~ е !ага!р„*!р г[т, (74 6) ( й /ие а 4 741 столкновнния выстеых члстиц с лтамями 261 Теперь можно воспользоваться малостью дг Переменные г, в интеграле (74,6) пробегают значения как раз в объеме с Линейными размерами а. Поэтому прн да((1 во всей этой области малы также и величины цг, и можно положить г 'ч"а 1 — гцг =1 — гдх (74,7) (направление вектора ц выбрано в качестве оси х).
Тогда (~~~,е ны ) = — гд(~~' х,) = — 1 4 (г(,)«м Р «о « «е где Й„= чаях,— декартова компонента дипольного момента и атома (член же с 1 обращается в нуль ввиду ортогональности функций 'Ф, и тр«). Положив также г(о' = 2п з(п д Ю = 2пд Ю = 2п ( — ) г) г(г), г йта ~ио получим для сечения процесса выражение 8п( ) ~(() ~ао (74,8) Мы видим, что сечение определяется квадратом матричного элемента дипольного момента атома ').
') Разумеется, здесь предполагается, что этот матричный элемент отличен от пуля. В противном случае разложение (74,7) должно было бы быть продолжено до членов более высокого порядка. чАсть тт РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ Глава Х1 фотон $75. Соотношения неопределенности в релятивистской области Изложенная в первой части квантовая теория имеет существенно нерелятивистский характер и неприменима к явлениям, сопровождающимся движением со скоростями, не малыми по сравнению со скоростью света.
На первый взгляд можно было бы ожидать, что переход к релятивистской теории возможен путем более или менее непосредственного обобщения аппарата нерелятивистской квантовой механики. Внимательное рассмотрение показывает, однако, что вто не так. Мы видели, что квантовая механика сильно ограничивает возможность одновременного существования у электрона ') различных динамических переменных. Так, неопределенности бд и сэр, с которыми могут одновременно существовать координата и импульс, связаны соотношением Лргаг)-Й; чем с большей точностью измеряется одна из этих величин, тем с меньшей точностью может быть одновременно измерена другая.
Существенно, однако, что каждая из динамических переменных электрона в отдельности могла быть измерена со сколь угодно большой точностью, причем в течение сколь угодно короткого промежутка времени. Это обстоятельство играет фундаментальную роль для всей нерелятивистской квантовой механики.
Именно благодаря нему можно было ввести понятие о волновой функпии тР(д), ') Кан и в 4 1, мм говорим дли нраткости об электроне, имея в виду лнгбоа нвантовна объент. 263 6 751 соотношения неопееделенностн квадрат модуля которой определяет вероятность получения (в результате произведенного в данный момент времени измерения) того или иного значения координаты электрона. Ясно, что необходимой предпосылкой для введения понятия о такой вероятности является принципиальная возможность осуществления сколь угодно точного и быстрого измерения координаты; в противном случае это понятие стало бы беспредметным и потеряло бы свой физический смысл. Существование предельной сиорости (скорости света с) приводит к новым принципиальным ограничениям возможностей измерения различных физических величин (Д.
Д. Ландау, Р. )7айерлс, 1930). В 3 37 было получено соотношение (О' — О) Лр Лг' Ф, (75,1) связывающее неопределенность Лр измерения импульса электрона с продолжительностью Лг' самого процессаизмеения; О и О' — скорости электрона до и после измерения. з этого соотношения следовало, что добиться достаточно точного измерения импульса в течение достаточно короткого времени (т. е. малого Лр при малом ЛГ) можно лишь ценой достаточно большого изменения скорости в результате самого процесса измерения. В нерелятивистской теории это обстоятельство являлось проявлением неповторимости измерения импульса через короткие промежутки времени, но ни в коей мере не затрагивало принципиальной возможности сколь угодно точного однократного измерения импульса, поскольку разность О' — О могла быть сделана сколь угодно большой.
Наличие же' предельной сиоростн меняет положение вещей коренным образом. Разность О' — О, как и сами скорости, не может теперь превышать с (точнее, 2с). Заменив в (75,1) О' — О на с, получим соотношение ЛрЛГ- $ с ' определяющее наилучшую принципиально достижимую точность измерения импульса при заданной продолжительности измерения Лй Таким образом, в релятивистской теории оказывается принципиально невозможным сколь угодно точное и быстрое измерение импульса. Точное измерение 2264 [гл.
х! эотон (Лр-+.О) возможно лишь в пределе бесконечно большой продолжительности измерения. Не менее глубокие изменения претерпевает также н лзмернмость координаты: в релятивистской теории она оказывается измеримой лишь с точностью, не превышающей определенного минимального предела. Тем самым понятие о лоиализации электрона претерпевает дальнейшее ограничение своего физического смысла.
В математическом формализме теории эта ситуация проявляется в несовместимости точного измерения координаты с утверждением о положительности энергии свободной частицы. Мы увидим в дальнейшем, что полная система собственных функций релятивистского волнового уравнения свободной частицы включает в себя (наряду с решениями с «правильной» зависимостью от времени) также и решения с «отрицательными частотами».
Эти функции войдут, в общем случае, и в разложение волнового пакета, отвечающего электрону, лоиализованному в небольшом участке пространства. Волновые функции с «отрицательной частотой» связаны, как будет показано, с существованием античастиц †позитронов. Появление этих функций в разложении волнового пакета выражает собой неизбежное в общем случае образование электрон-позитронных пар в процессе измерения координат электрона.
Неконтролируемое самим процессом возникновение новых частиц очевидным образом лишает смысла измерение координат электрона. В системе покоя электрона минимальная погрешность измерения его координат (75,3) Этому значению (единственному, допустимому уже соображениями размерности) отвечает неопределенность импульса Лр тс, которая, в свою очередь, соответствует минимальной пороговой энергии образования пэры. В системе отсчета, в которой электрон движется с энергией е, вместо (7б,З) имеем Л,7- — '. (75,4) В частности, в предельном ультрарелятивнстском слу- э 75) соотношения наопгидилаииости 265 чае энергия связана с импульсом соотношением е=ср и тогда Ад й (75,5) Р' т.
е, погрешность Ьг) совпадает с де-бройлевской длиной волны частицы. Из сказанного ясно, что в последовательной релятивистской квантовой механике координаты частиц не могут фигурировать в качестве динамических переменных, которые по самому своему существу должны были бы иметь точный смысл. Не может сохраниться в своем прежнем смысле также и импульс частиц. Поскшльку точное измерение импульса требует достаточно длинного времени, то следить за ходом его изменения в процессе оказывается невозможным.
Вспомнив сказанное в начале этого параграфа, можно заключить, что весь аппарат нерелятивистской квантовой механики становится неадекватным при переходе к релятивистской области. Можно думать, что понимаемые в прежнем смысле волновые функции ф(д), как носители ненаблюдаемой информации, не смогут фигурировать в аппарате последовательной релятивистской теории. Импульс может фигурировать в последовательной теории лишь в применении к свободным частицам, у которых он сохраняется, и потому может быть измерен с любой точностью. Можно думать поэтому, что будущая теория вообще откажется от рассмотрения временнбго хода процессов взаимодействия частиц. Единственными наблюдаемыми величинами будут являться характеристики (импульсы, поляризации) свободных частиц — начальных частиц„ вступающих во взаимодействие, и конечных частиц, возникших в результате процесса.
Характерная постановка вопроса в релятивистской квантовой теории состоит в определении амплитуд вероятности переходов, связывающих заданные начальные и конечные состояния системы частицы. Совокупность этих амплитуд между всеми возможными состояниями составляет маглрицу рассеяния или 5-.иатуицу '). Эта матрица будет носителем В От английского слова асацепия или немецкого Ягеииии — рассеяние. 266 (гл. х~ вотои всей информации о процессах взаимодействия частиц, имеющей наблюдаемый физический смысл (В. Гейзенберг, 1938) .
Отметим также, что в такой теории должны лишиться прежнего смысла понятия об «элементарности» и «сложности» частиц — вопрос о том, что из чего состоит. Этот вопрос не может быть сформулирован без рассмотрения процесса взаимодействия между частицами, и отказ от такого рассмотрения тем самым делает вопрос беспредметным. Все частицы, фигурирующие как начальные или конечные в каком-либо физическом явлении столкновения, должны выступать в теории равноправным образом.
В этом смысле разница между частицами, о которых обычно говорят как о «сложных» илн как об «элементарных», имеет чисто количественный характер и сводится к относительной величине дефекта массы по отношению к распаду на те или иные «составные части». Так, утверждение о сложности дейтрона (с его сравнительно небольшой энергией связи по отношению к распаду на протон и нейтрон) лишь количественно отличается от утверждения о том, что нейтрон «состоит» из протона и ц-мезона. В настоящее время полной, логически замкнутой релятивистской квантовой теории еще нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
