1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 41
Текст из файла (страница 41)
уравнение (65,2) для функции Х=гф принимает вид Х +к Х=О при г<а. Его решение, удовлетворяющее условию конечности ф при Г=О, есть Х=А злп хг, г < а. При г)а функция Х удовлетворяет уравнению Х*+й»Х=О, откуда Х/ В з!п (/гг+б,), г ) а. Условие непрерывности Х'/Х при г=а дает к !а й !Я(йа+б») й да+ б» откуда определяем б,. В результате для амплитуды рассеяния получим /= 1й ха — ха (1) Если не только Фа <<1, ио и ха(<1 (т. е. У»(<Ф»/гла»), то 1 /= — и (ка)' 3 (2) 1)л ха — ха ваиия. При больших г второй член в фуинции (65,4) мал по сравнению с первым. /Гля того чтобы его сохранение было тем ие менее законным, оставленный а уравнении (65,2) малый Глен -с,/г" должен быть все же велик по сравнению с членом у»р ус,, опущейным при переходе от (65,2) к (65,3).
Отсюда следует, что у должно убывать быстрее чем 1/гз. ') См. задачу 1 630. Полученное там уравнение (1) показывает, что уровень энергии будет (Е((<у», если з)п(а )г 2шу»//л) Рм х 1. б»орл~ула (1) неприменича, если У„и а таковы, что ха близко к нечетному кратному отп/2. При таких значениях хи среди дискретного спектра отрицательных уравнен энергии в потенциальной яме имеется уровень, близкий к нулю'), н рассеяние описывается формуламн, ко. торые будут получены в следующем параграфе 2. То же для рассеяния на »потенциальном горбе»: У(г)=У» при, г<а, У=О при г)а. Р е ш е и и е.
Переход к атому случаю от случая потенциальной ямы осуществляется заменой У»-л — У„, т. е. х — »лх. Из (1) получается тогда 6 661 еезонансное тассеяние пеи малых энеегнях 233 (прнчем по-пренснему н = )Г2ш//»/Л). В частности, в предельном случае но)! (большне значения //») имеем /= — о, о=«ноз. Этот результат соответствует рассеянню на непронннаемоа сфере раднуса о; отчетам, что классическая механнка дала бы для сеченая величнну, в четыре раза меньшую (о==но»), й 66.
Резонансное рассеяние при малых энергиях Особого рассмотрения требует рассеяние медленных (/за««1) частиц в поле притяжения в том случае, когда в дискретном спектре отрицательных уровней энергии имеется з-состояние с энергией, малой по сравнению с вели- чиной поля У в пределах радиуса а его действия. Обозна- чим этот уровень через — е (е:»0). Энергия Е рассеиваемой частицы, будучи малой величиной, тем самым близка к уровню — е, т. е.
находится, как говорят, почти в резонансе с ним. Это приводит, как мы увидим, к значительному увеличению сечения рассеяния. Наличие неглубокого уровня можно учесть в теории рассеяния формальным методом, основанным на следующих замечаниях.
Снова, как и в р 65, рассмотрим уравнение Шредингера в различных областях поля. Точное уравнение, которое запишем для функции у=гф вместо тр, есть у" + — /Š— (I (г)] у =О. зш в» Во «внутренней» области поля (ге=а) можно пренебречь членом (2тЕЬ») у„=йзу, по сравнению с )(": )( — (/ (г) к=О, г а. 2л» йт (66,1) Во «внешней» же области (г)а), напротив, можно пре- небречь (/: )("+ —, Еу = О, г )) а. х (66,2) Решение уравнения (66,2) должно быть «сшито» при неко- тором г, (таком, что! /Й))г,)~а) с решением уравнения (66,1), удовлетворяющим граничному условию )((0)=0; условие сшивания заключается в непрерывности отношения )('!у, не зависящего от общего нормировочного множителя вол- новой функции, [гл. !х хпгхгие столкновении Однако вместо того, чтобы рассматривать движение в области г-а, мы наложим иа решение во внешней области должным образом подобранное граничное условие для )('/)( при малых г; поскольку внешнее решение медленно меняется при г О, можно формально отнести это условие к точке г=-О.
Уравнение (66,1) в области г-а ие содержит Е; поэтому заменяющее его граничное условие тоже не должно зависеть от энергии частицы. вкругими словами, оно должно иметь вид (66,3) где х — некоторая постоянная. Но раз х не зависит от Е, то это же условие (66,3) должно относиться и к решению уравнения Шредингера для малой отрицательной энергии Е= — е, т.
е. к волновой функции соответствующего стационарного состояния частицы. При Е= — е имеем из (66,2) т = сопз1 е-'"'""~", и подстановка этой функции в (66,3) показывает, что и есть положительная величина, равная и = )Г2ше/Й. (66,4) Применим теперь граничное условие (66,3) к волновой функции свободного движения: )(=сопз1 з!п(юг+6„), представляющей собой точное общее решение уравнения (66,2) при Е= О. В результате получим для искомой фазы б„: с1и 6, = — ' —, = — ~/ ~-. (66,5) Поскольку энергия Е ограничена здесь лишь условием Фа<~1, но не должна быть мала по сравнению с з, фаза 6„ а с нею и амплитуда з-рассеяния, может оказаться не малой величиной. Парциальные же амплитуды рассеяния с (ФО остаются по-прежиему малыми.
Поэтому полную амплитуду можно по-прежнему считать совпадающей с амплитудой з-рассеяния: — (е' ' — 1) = а ! л йкйво ~! 6 66) гнзонлнснон вдссняннн пгн малых энснгиах 235 Подставив сюда (66,5), получим 1 н+ рй (66,6) Отметим, что это выражение имеет полюс при 2=1и — в соответствии с полученным в 2 64 общим результатом. Для полного сечения а=4п(Г)з находим 4я 2пва 1 о= н'+да т Е+а' (66,7) г) Формула (66,7) была впервые получена Е. Виглером (1933); идея изложенного вывода принадлежит Г. Бете н Р, Г?ойерлср (1936) а) В качестве примера укажем, что оба случая резонанса (на истинном я виртуальном уровнях) имеют место для рассеяния нейтронов на протонах. Для взанмодействня нейтрона н прогона с параллельными спн.
наин существует нсгннный уровень с энергией е=2,23 Мгв (основное сосгоянне дейгрона). Взаимодействие же нейтрона н протона с антнпараллельнымн спинами характеризуется наличием виртуального уровня с=0,06? Мгв. Таким образом, рассеяние по-прежнему изотропно (амплитуда (66,6) не зависит от направления), но его сечение зависит от энергии и в области резонанса (Е-з) оказывается большим по сравнению с квадратом радиуса действия поля а' (поскольку 1??г>)а). Подчеркнем, что вид формулы (66,7) не зависит от деталей взаимодействия частиц на малых расстояниях между ними и всецело определяется значением резонансного уровня ').
Полученная формула имеет несколько более общий характер, чем сделанное при ее выводе предположение. Подвергнем функцию У(т) небольшому изменению; при этом изменится и значение постоянной в граничном условии (66,3). Соответствующим изменением У(г) можно добиться обращения и в нуль, а затем сделать малой отрицательной величиной. При этом мы получим ту же формулу (66,6) для амплитуды рассеяния и ту же формулу (66,7) для сечения. В последней, однако, величина е=йаха/2гп является теперь просто характерной для поля (?(г) постоянной, но отнюдь не уровнем энергии в этом поле.
В таких случаях говорят, что в поле имеется виртуальный уровень, имея в виду, что хотя в действительности никакого близкого к нулю уровня нет, но уже небольшого изменения поля было бы достаточно для того, чтобы такой уровень появился '). [гл. >х УПРУГИИ СТОЛКНОВЕНИЯ ф 67. Формула Бориа Сечение рассеяния может быть вычислено в общем вида в очень важном случае — когда рассеивающее поле может рассматриваться (в отношении его воздействия на движение рассеиваемой частицы) как слабое возмущение. К вопросу об условиях применимости такого приближения к теории рассеяния мы вернемся в конце этого параграфа.
Невозмущенное движение частицы, падающей на рассеивающий центр с импульсом р=п(е, описывается плоской волной >(>>о>=е'е', удовлетворяющей уравнению Шредингера Л>(>>о» )Ео>(>>о> () Будем искать решение точного уравнения Лф+('»* — 'и) у=О йо в виде >р=>(>>о>+о(>п>, причем малая поправка >р»>, описывающая рассеянную волну, должна удовлетворять неоднородному (по >р»>) уравнению Л 1>>> 1 ЬО>(>>>> ~ >(>>о> >" аж> (67 1) Ь' Й' в котором опущен член второго порядка малости (->)>»>(7).
Решение этого уравнения может быть написано непосредственно по аналогии с известным из электродинамики уравнением запаздывающих потенциалов: 1 до>Р >э>р — — — = — 4пр оо д>о где р — некоторая функция координат и времени (см. 1 $ 7т). Его решение ор(г, Е) ) —,р (г', > — — ) е(>", еб" о(х'>(у'о(г', где Й=г — г' — радиус-вектор от элемента объема е('У' к «точке наблюдения> г, в которой ищется значение ор.
Если зависимость функции р от времени дается множителем е '"", то, написав р р (г) е-мо> Ф= >(>,(г)а '"" 237 6 671 ФОРМУЛА БОРНА будем иметь для ф, уравнение 7хф, -1- й'ф, = — 4пр, (67,2) и для его решения ф, (г) = ) р, (г') е'Аа — . (67,3) Ввиду очевидной аналогии между уравнениями (67,2) и (67,1) решение последнего может быть представлено в виде фсо (г) = — — ( (7 (г') е'же"'а~ — . (67,4) Легко написать теперь асимптотическое выражение этой функции на больших расстояниях г от рассеивающего центра.
При г))г имеем )т'=)г — г')жг — г и', гдеп' — единичный вектор в направлении к'; в множителе же 1Я в подынтегральном выражении в (67,4) достаточно положить просто )7жг. Тогда получим гл еА"" ф" = — — — ~ (7 (г') емк-ач'г()г', 2ллУ г где к'=йп' есть волновой вектор частицы после рассеяния. Согласно определению (62,3) коэффициент при е'Агlг в этой функции и дает искомую амплитуду рассеяния; опустив штрих у переменных интегрирования, напишем ее в виде = — — ( (7 (г) е-м'Йг. (67,5) 2лй',~ Здесь введен вектор (67,6) по абсолютной величине равный 0 д=2йз1п —, 2 (67,7) еЬ= —,, ~~(7е-'ч" ей~~ е(о'. (67,8) где Π— угол между й и к', т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
