1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(62,8) с=о 63] услОВие кВлзнклАссичностн Рлссеяния 227 некоторыми замечаниями об условиях, допускающих такой переход, Для того чтобы можно было говорить о классическом рассеянии на угол О при пролетании частицы на прицельном расстоянии р, необходимо, чтобы квантовомеханические неопределенности в значениях того и другого были относительно малы: Лр~~, ЛО(с9. Неопределенность угла рассеяния имеет порядок величины ЛО-Лр/р, где р — импульс частицы, а Лр — неопределенность его поперечной составляющей. Так как Лр Ь/Лр~)Ьр, то ЛО))$/рр, а потому во всякол1 случае и о>> —. Ф (63,1) Заменяя момент импульса тор на я/, получим О/~~1, откуда видно, что заведомо должно быть 1))1, в соответствии с общим правилом, что квазиклассическому случаю соответствуют большие значения квантовых чисел 8 27).
Классический угол отклонения частицы можно оценить как отношение поперечного приращения импульса Лр за «время столкновения» т-р/о к первоначальному импульсу нш. Сила, действующая в поле (/(г) на частицу на расстоянии р, есть Р= — 4(/(р)Яр; поэтому Лр Рр/о, так что 0-рг/то'. Эта оценка справедлива строго, лишь если угол 0(~1, но по порядку величины ее можно продлить и до О !. Подставив это выражение в (63,1), получим условие квазикласснчности рассеяния в виде УР')) Ь. (63,2) Если поле (/(Р) убывает быстрее, чем 1/г, то условие (63,2) во всяком случае перестает выполняться при достаточно больших р.
Но большим р соответствуют малые 0; таким образом, рассеяние на достаточно малые углы во всяком случае не будет классическим. Квантовый характер рассеяния на малые углы является, в частности, причиной того, что полное сечение рассеяния может оказаться конечным. Напомним в этой связи, что в классической механике во всяком поле, обращающемся в нуль только при г-~со (т. е. не обрывающемся резко уже на конечном расстоянии), частица, проходящая на любом большом, но конечном, прицельном расстоянии все же испытывает отклонение на некоторый малый, но отличный от нуля угол; '(гл.
ОГ УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ поэтому полное сечение всегда оказывается бесконечным. Как это ясно из сказанного выше, в квантовой механике такое рассуждение неприменимо уже потому, что понятие рассеяния теряет смысл, когда угол рассеяния становится меньше квантовой неопределенности направления движения частицы. 6 64. Дискретные уровни энергии как полюсы амплитуды рассеяния Существует определенная связь между законом рассеяния частиц (с положительной энергией Е) в заданном поле и дискретным спектром отрицательных уровней энергии в том же поле (если таковые имеются). Для упрощения записи формул будем говорить о движении частиц с орбитальным моментом 1=0 Асимптотическое выражение волновой функции с положительной энергией вдали от центра поля запишем в виде суммы сходящейся и расходящейся сферических волн: ф = — (а(й)ем" + Ь(й)е '"'). (64, 1) Коэффициенты а(й) и Ь(й) — некоторые функции й, которые могли бы быть определены лишь путем решении уравнения Шредингера на малых расстояниях с учетом конечности волновой функции при Г=-О.
При этом обе функции не независимы, а связаны друг с другом простыми соотношениями. Одно из ннх следует непосредственно из того, что функция ф, как волновая функции невырожденного состояния, должна быть вещественной: Ь (й) =а'(й). (64,2) Если теперь рассматривать формальным образом произвольные, в том числе и комплексные значения й, то а(й) и Ь(й) будут функциями комплексной переменной, по- прежнему связанными равенством (64,2), а также равенством (64,3) а ( — й) =- Ь (й), вытекающим из самого определения а и Ь в выражении (64,!) (замена й на — й меняет роли коэффициентов а и Ь). Функция ф с комплексным й, являясь аналитическим про- 6 64) ДИСКРЕТНЫЕ УРОВНИ ЭНЕРГИИ 229 должением решения уравнения Шредингера с вещественным и, по-прежнему будет решением того же уравнения, конечным в начале координат.
Она не будет уже, однако, удовлетворять условию нонечности во всем пространстве: при г-+-со первый или второй член в (64,1) (смотря по знаку мнимой части Ь) обращается в бесконечность. В частности, при чисто мнимых значениях Ь выражение (64,1) определяет асимптотический вид решения уравнения Шредингера с отрицателыюй энергией Е. Но для того чтобы это решение соответствовало стационарному состоянию дискретного спектра, функция ф должна оставаться конечной при г — Рсо. Каждому отрицательному значению Е соответствует пара чисто мнимых значений й = ~ 1'Р' 2РИ ~ Е ф.
При верхнем знаке не удовлетворяет условию конечности при г- со второй член в (64,1); поэтому для значения Е, отвечающего дискретному уровню энергии, должно быть Ь(1( й !) =0 (64, 4) (аналогичным образом, при й= — 1~Ц должна обращаться в нуль функция а((е)). С другой стороны, сравнив (64,1) с асимптотическим выражением волновой функции частицы с энергией Е~О, написанной в виде (30,10), ф= р/ — —.(е"е'"~" — е ""'"'л), — 2 1 и 2н. мы видим, что отношение а/Ь связано с фазой б, соотношением е"мин = —.
ь (ь) (64,5) Зто выражение имеет полюс в точке, где Ь(Й) обращается в нуль. Вспомнив теперь, что парциальная амплитуда з-рассеяния есть 1 РР -зы( 1), мы приходим к выводу, что эта амплитуда, как аналитическая функция комплексной переменной й, имеет полюсы в верхней полуплоскостн этой переменной при мнимых 2ЗО [гл. ~х УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ значениях й, отвечающих уровням энергии связанных з-состояний частицы в поле. Аналогичная связь существует между уровнями энергии связанных состояний с (ФО и полюсами соответствующих парциальных амплитуд рассеянии.
6 65. Рассеяние медленных частиц Рассмотрим свойства упругого рассеяния в предельном случае малых скоростей рассеиваемых частиц. Именно, скорость предполагается настолько малой, что де-бройлевская длина волны частицы велика по сравнению с радиусом действия рассеивающего поля а '), а ее энергия мала по сравнению с величиной поля внутри этого радиуса: аМ'=1 и йзйз/2т((~(у ~. Вероятность нахождения частицы вблизи центра поли (на расстояниях, малых по сравнению с ее длиной волны) быстро падает с увеличением орбитального момента (ср. конец З 29). Поэтому основную роль в рассеянии медленных частиц играет рассеяние с (=О (з-рассеяние). Выяснение свойств рассеяния в этом случае требует Определения предельного закона зависимости фазы Ь, отволновсго вектора й при малых значениях последнего. Волновая функция з-состояния зависит только от г.
При г"-6а (в радиусе действия поля) в точном уравнении Шредингера лть+дтф ™(/( ) р (65,1) можно пренебречь только членом с лз: Ьтр== — (гф)"= —,(У(г)ф (гя а) (65,2) 1, зи = йз (где штрих означает дифференцирование по г). В области же ббльших расстояний, а~юг((1Уй, можно опустить также и член с У(г), так что остается (гф)" = О. ') Под о понимаются линейные размеры области пространства, в которой поле 11 существенно отличается от нуля.
Тзк, при рассеянии нейтронов иа ядрах роль параметра а играет радиус ядра, прн рзссеянвв электронов на нейтральном атоме — етомяый реднус. 23! й 651 РАссеяние медленных частиц Общее решение этого уравнения есть ф=сг+ —,' (а((г(~ — ~ . (65,4) Значения вещественных постоянных с„с, могут быть, в.принципе, определены лишь путем решения уравнения (65,2) с конкретной функцией 0(г).
На еще ббльщих расстояниях, при т~1Й, в уравнении (65,1) может быть опущен член с У (г), но нельзя пренебречь членом с )51, так что имеем — (Г«Р)т + Л5«р = О, т. е. уравнение свободного движения. Решение этого урав- нения: ст 5!пйг спад« / ! ф= 1 +с ~/гэ )~ д л) (65,5) Коэффициенты в нем выбраны таким образом, чтобы при яг ~! это решение переходило в (65„4); тем самым достигается «сшивание» решений в областях Йг((1 и Ь 1. Представив сумму (65,5) в виде ф = — 1 з)п ()гг+ 65), дг будем иметь для фазы 6,: 1д65 ж 6,= — 'я; 1 (65,6) ввиду малости я фаза 6, оказывается тоже малой. Наконец, для амплитуды рассеяния находим, сохранив в сумме (62,8) лишь первый член, )= ) (еыь — 1) ж бе «1 2М Д сг" (65,7) ') В изложенных рассуждениях молчаливо подрааумевалось, что поле У (г) достаточно быстро убывает на больших расстояниях (г~а).
Легко выяснить, какова именно должна быть требуемая быстрота убы- Таким образом, амплитуда рассеяния оказывается постоянной величиной, не зависящей ни от угла рассеяния, ни от скорости частиц. Другими словами, рассеяние медленных частиц изотропно по всем направлениям, а его сечение о=4п (с,/сг)5 не зависит от энергии '). 232 (гл. гх УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ Задачи !. Определить амплитуду рассеяния медленных частиц сферической потенциальной ямой глубины Уа н радиуса а: У(г)=- — У„при г<а, У=О при г)а. Р е ш е н и е. Волновой вектор частиц предполагается удовлетворяющим условиям йа(<1 и й <х, где к =- гг2гпу»/Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
