1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 39
Текст из файла (страница 39)
д. Предположим сначала, что оба атома находятся в 5-состояниях. Легко видеть, что тогда в первом приближении теории возмущений эффект взаимодействия атомов отсутствует. Действительно, в первом приближении энергия взаимодействия определяется как диагональный матричный элемент оператора возмущения, вычисленный по невозмущенным волновым функциям системы (которые сами выражаются произведениями волновых функций двух атомов). Но в Я-состояниях диагональные матричные элементы, т. е.
средние значения дипольного, квадрупольного и т. д. моментов атомов равны нулю, как это следует непосредственно из сферической симметрии распределения средней плотности зарядов в атомах. Во втором приближении достаточно ограничиться дипольным взаимодействием в операторе возмущения, как наиболее медленно убывающем с увеличением г, т. е. членом — д,д, + 3 (в~я) (д,п) (61,1) гз 221 З 611 ВАН.ДЕР-ВААЛЬСОВЫ СИЛЫ Таким образом, два атома в нормальных Я-состояниях, находящиеси на большом расстоянии друг от друга, притягиваются с силой ( — с((//е(г), обратно пропорциональной седьмой степени расстояния. Силы притяжения между атомами на больших расстояниях называют обычно ван-дерваальсовыжи силажи. Эти силы приводят к появлению ямы и на кривых потенциальной энергии электронных термов атомов, не образующих устойчивой молекулы. Зги ямы, однако, очень пологи (их глубина измеряется всего десятыми или даже сотыми долями электронвольта), и они расположены на расстояниях в несколько раз ббльших, чем межатомные расстояния в устойчивых молекулах.
Важность формулы (61,2) связана также и с тем, что такому закону следуют силы взаимодействия на больших расстояниях между атомами и в любых (не обязательно 5) нормальных состояниях, если только усреднить это взаимодействие по всем возможным ориентациям атомов; именно такая постановка вопроса соответствует, например, задаче о взаимодействии атомов в газе ').
Действительно, хотя средний дипольный момент равен нулю во всяком стационарном состоянии, но уже среднее значение квадрупольного момента для атома с отличным от нуля моментом У может быть отлично ст нуля 6 54). Поэтому квадруполь-квгдрупольный член в операторе взаимодействия сможет дать отличный от нуля результат уже в первом приближении теории возмущений. Но средние значения квадрупольного момента (как и мультипольных моментов более высоких порядков) зависят от ориентации его момента Я и в силу соображений симметрии обратятся в нуль при усреднении по этим ориентациям. Задача Для двух одинаковых атомов, находящихся в З-состояниях, получить формулу, определяющую ван-дер-вазльсовы силы по матричным элементам их дипольных моментов.
'1 Подчеркнем, однако, что этот закон, полученный на основании нерелятнвистской теории, справедлив лишь до тех пор, пока несущественны эффекты запаздывания электромагниТных взаимодействий. Для этого расстояние г между атомами должно быть мало по сравнению с с/ы „, где ы „— частоты переходов между основным и возбуждеипымз состояниями атома, 222 (гл. чти двухатомнхя мОлекулА Р еш е н и е. Ответ получается нз общей формулы возмущений (32,10), примененной к оператору (61,Г). Ввиду нзотропнн атомов в 5-состояинн заранее очевидно, что прн суммировании по всем промежуточным состояниям квадраты матричных элементов трех компонент каждого из венторов дт н бе дашт одинаковые вклады, а члены, годер. жащне произведения разлнчных компонент, обращакпся в нуль.
В результате получим (у ( ) б т~ч (4,)ол (бл)ел ге лм 2Ел — Ел — Ел ' л, и' где ńń— невозмущенные значения энергии основного н возбужден- ных состояний атома. Глава ГХ УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ф 62. Амплитуда рассеяния В классической механике столкновения двух частиц полностью определяются нх скоростями и «прицельным расстоянием> (т. е.
расстоянием, на котором они прошли бы друг мимо друта при отсутствии взаимодействия). В квантовой механике меняется сама постановка вопроса, так как при движении с определенными скоростями понятие траектории, а с нею и «прицельного расстояния» теряет смысл. Целью теории является здесь лишь вычисление вероятности того, что в результате столкновения частицы отклонятся (или, как говорят, рассеюгпся) на тот нли иной угол.
Мы говорим здесь о так называемых упругих столкновениях, при которых не йроисходит никаких превращений частиц или (если это частицы сложные) не меняется нх внутреннее состояние. Задача об упругом столкновении, как и всякая задача двух тел, сводится к задаче о рассеянии одной частицы с приведенной массой в поле Сг(г) неподвижного силового центра '). Сведение осуществляется переходом к системе координат, в которой покоится центр инерции обеих частиц. Угол рассеяния в этой системе обозначим посредством 6. Он связан простыми грормулами с углами 6, и 6, отклонения обеих частиц в «лабораторной» системе координат, в которой одна из частиц (вторая) до столкновения т) Мы пренебрегаем адесь спин-орбитальвым взаимодействием частиц (если оии обладают спиком).
Предполагая поле цвитральио-симметричиым, мы тем самым исключаем иа рассмотрения также и такие процессы, как, например, рассеяние электронов ва молектлак. 224 (гл. ~х УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ покоилась: где т„ т, — массы частиц (см. 1 5 14). В частности, если массы обеих частиц одинаковы (т,=т,), то получается просто в и — б 6»= 1 (62,2) сумма 6,+6»=Ы2, т, е. частицы разлетаются под прямым углом. Ниже в этой главе мы пользуемся везде (где противное не оговорено особо) системой координат, связанной с центром инерции, а под гп подразумевается приведенная масса сталкивающихся частиц.
Свободная частица, движущаяся в положительном направлении оси г, описывается плоской волной, которую мы напишем в виде»1»=ага», что соотвегствуег плотности потока, равной скорости частиц п (ср. с нормировкой на единичный поток в (21,6)). Рассеянные частицы должны описываться вдали от центра расходящейся сферической волной вида 1(6)е'а"/г, где 1(6) — некоторая функция угла рассеяния 6 (угол между осью г и направлением рассеянной частицы) '), Таким образом, решение уравнения Шредингера, описывающее процесс рассеяния в поле (»'(г), должно. иметь на больших расстояниях асимптотический вид »р - е'з«+ 1 ~ ) ег"'.
(62,3) г Функцию )(6) называют амплитудой рассеянии Вероятность рассеянной частице пройти в единицу времени через элемент поверхности с(о=г»до (с(о — элемент телесного угла) равна ог — »)1)»до=о)1)здо '). Ее отношение ') Расходящаяся сферическая волна содержит экспоненциальный множитель ега' (а сходящаяся к центру волна — соответственно множвтель е †'а«) вместо тригонол«етрического множителя в рассмотренных в 4 30 «стоячих» сферических волнах.
») В этом рассуждении молчаливо подразумевается, что падающий учок частиц ограничен широкой (во избежание дифракциоиных эфектов), но конечной диафрагмой, как это и имеет место в реальных экспериментах по рассеянию. По этой причине нет интерференции между обоими членами в выражении (б2,3); квадрат )»р)» берегся в точках, в которых отсутствует падающая волна. 225 з 621 амплитуда Рлссеяния к плотности потока в падающей волне равно по==! ) (9) !'по.
(62,41 Эта величина имеет размерность площади и называется эф4ективным сечением (или просто сечением) рассеяния в телесный угол ~!о. Положив до=2п гйпО дО, получим сечение рассеяния в интервале углов между О и 9+09: ~Ь= 2пз!пО (! (9) !'бО. (62,5) Решение уравнения Шредингера, описывающее рассеяние в центральном поле, аксиально-симметрично вокруг оси г. Общий вид такого решения может быть представлен в виде разложения ф= ~ А,Р,(соз8) Ры (г), (62,6) ~=о где Яю — радиальные функции, удовлетворяющие уравнению (29,8) (с энергией Е=Ьйч!2т).
Асимптотический вид этих функций на больших расстояниях — стоячие волны (30,10). Покажем, каким образом можно выразить амплитуду рассеяния через фазовые сдвиги этих функций Ьп Подставив (30,!О) в (62,6), напишем общий асимптотический вид волновой функции в форме ф ю ~ — — ~ А Р з1п ( йг — + 6 ~ ~=. Р лг2ы ' ~ ( 2 ~У г=о — ф — ~~ А Р ~ ехр [ — ! лг — - -1- 6 ~ ~— г=а — ехр [! (йг — ~ +6,)~ ~ . Коэффициенты А, должны быть выбраны так, чтобы эта функция имела вйд (62,3). Для этого воспользуемся полученным в з 30 разложением плоской волны по сферическим. При больших г имеем, согласно (30,16), Б р(2!+1)Р (ехр[ — !1,"г 2) 2Ф'с ю с=о -ехр[! (Ь вЂ” -Д 226 (гл. ~х УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ Эта формула решает задачу о выражении амплитуды рассеяния через фазы 6, (Г.
Факсен, И. Хольтсмарк, 1927). О каждом нз членов суммы говорят как о парпиалопой амплитуде рассеяния частиц с орбитальным моментом 1. Интегрирование тЬ по всем углам дает полное сечение рассеяния а, представляющее собой отношение полной вероятности рассеяния частицы (в единицу времени) к плотности потока. Подставим (62,8) в интеграл и = 2п ~ ( ) (О) !' Е1п О дО. о Ввиду взаимной ортогональностн различных полнномов Р,(соэО), в интеграле остаются лишь квадраты каждого из членов суммы (62,8), н с учетом известного значения нормировочного интеграла (30,13) получим О= -~-~(2(+ 1) з1~'бе (62,9) ю=о 8 63.. Условие квазнкласснчностн рассеяния Предельный переход от полученных в предыдущем параграфе точных квантовомеханических формул теории рассеяния к классическим формулам довольно громоздок и мы не будем производить его здесь. Ограничимся лишь Разность ф — е'"' должна представлять собой расходящуюся волну, т.
е. из нее должны выпасть все члены, содержащие е ТЛ'. Для этого надо положить Ае = — ф' — (2! + 1) Ыоь Таким образом, Ф ф ж —, ~~1 (21+ 1) Р, (соз 8) (( — 1)о е '"' — емо е'ь'~1. (62,7) !=а Для коэффициента же при а'о'(г в разности ф — е'о' получим тогда 7(О) = 2,т ~Ч (21+ 1) (е"о — 1) Р, (соз О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
