1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 43
Текст из файла (страница 43)
в 69) столкновения одинаковых частиц 246 определяет вероятность того, что в данном элементе «(о телесного угла будет рассеяна какая-либо из частиц. Сечение рассеяния есть отношение этого потока к плотности потока в каждой из падающих плоских волн, т. е. по-прежнему определяется квадратом модуля коэффициента при е««'!г в волновой функции (69,1). Таким образом, если суммарный спин сталкивающихся частиц 5=0, то сечение рассеяния имеет вид (о,=)У(0)+),и — 8) Р~(о, (69,2) а если 5=1, то (о,=У(0) — 1( — 0))' (. (69,3) Характерно для обменного взаимодействия появление «интерференционногоъ члена ) (О)1* (и — О)+1* (0)1(я — 8). Если бы частицы были отличными друг от друга, как в классической механике, то вероятность рассеяния какой-либо из них в данный элемент телесного угла «(о была бы равна просто сумме вероятностей отклонения одной из них на угол 8, а движущейся навстречу ей — на угол и — О; другими словами, сечение было бы равно Д ~ (8) («+ ! ~ (я — 0) /«) до.
(69,4) В формулах (69,2 — 3) предполагается, что суммарный спин сталкивающихся частиц имеет определенное значение. Если же система не находится в определенном спиновом состоянии, то для определения сечения рассеяния надо произвести усреднение по всем возможным таким состояниям, считая их все равновероятными. Из числа 2.2=4 различных спиновых состояний системы двух частиц со спином 1« одно состояние соответствует полному спину 5=0 (проекции спинов частиц Уг, — Ь) и три состояния— спину 5= 1 (состояния с проекциями спинов частиц У«, У«; — Ы, — У«; †«'«, У«). Поэтому вероятности системе иметь 5=0 или 5= 1 равны соответственно '/« или ",„ так что сечение «(о= 4 «(о«+ — «Ь~ = ()1(8) 1'+(7(я — 0) )'— ~ У(0)~ (" — О)+1*(0))(㫠— ОЯ~д~.
(69,5) 246 (гл. ~х упгушш столкновения В качестве примера рассмотрим стоугкновение двух быстрых электронов, взаимодействующих по закону КуЛОНа ((/Р Вз/Г). Прн ВЫПОЛНЕНИИ уСЛОВИя (68,9), Ез/Йь~~(1 (и — скорость относительного движения частиц), можно воспользоваться для амплитуды ее выражением (68,7) в борновском приближении. При этом надо помнить, что гп в этой формуле — приведенная масса обеих частиц, равная в данном случае пт,/2, где пт, — масса электрона. Подставив (68,7) в (69,6), получим ~ з(п4 — созе — з1 па — созе — ~ 2 2 2 2~ Эта формула относится к системе центра инерции двух электронов. Переход к лабораторной системе, в которой до столкновения один из электронов покоится, осуществляется (согласно (62,2)) просто заменой 0 на 26.
Тогда где с(о — элемент телесного угла в новой системе координат (при замене 0 на 26 элемент г(о надо заменить на 4созбс(о, так как з(п 0г(0йр=4созбз!ядсЮс(гр). Последние 'члены в (69,6 — 7) отличают эти формулы от классических (см. х 2 16). Задача Определить сечение рассеяния двух одинаковых частиц со спином уз, поляризованных в направлениях, образующих друг с другом угол м, р е ш е н и е.
Зависимость сечения о ат поляризаций частиц должна выражаться членом, пропорциональным скаляру зг зз — произведению средних значений векторов спина обеих частиц; для частиц, поляризованных под углом а друг к другу, это произведение згза='/, сова, Ищем о в виде о=а+чаз1зз. Для неполярнзованных частиц второй член отсутствует (з,=з,=б) н, согласно (59,5)„о=аэ ь/ (о+За,). Если же обе частицы полнризованы в одном направлении(а=б), т. е. имеют одинаковые проекции спина на одно и то же направление, то система заведомо находится в состоянии с 5=1; в этом случае, следовательно, о=а+Ь=вы Определив из полученных двух равенств а в Ь, найдем ! а= 4 ((по+Зп,)+(ог — ао) сов п).
70! столкновения злектеоноз с Атомлми 247 $ 70. Упругие столкновения быстрых электронов с атомами Упругие столкновения быстрых электронов с атомами могут быть рассмотрены в борновском приближении, если скорость падающего электрона велика по сравнению со скоростями атомных электронов. Ввиду большой разницы в массах между электроном и атомом последний можно считать при столкновении неподвижным, и система центра инерции атома и электрона совпадает тогда с лабораторной системой координат, в которой неподвижен атом. Тогда р н р' в формулах 2 67 обозначают импульсы электрона до и после столкновения, ги — масса электрона, а угол 8 совпадает с углом 0 отклонения электрона. В $ 67 мы вычисляли матричный элемент (/рр энергии взаимодействия по отношению к волновым функциям свободной частицы до и после столкновения. При столкновении же с атомом необходимо учитывать также н волновые функции, описывающие его внутреннее состояние.
Поэтому вместо (/р р в формуле (67,8) должен фигурировать матричный элемент энергии взаимодействия электрона с атомом (/, взятый по отношению к волновым функциям как электрона, так и атома. Поскольку при упругом рассеянии состояние атома не меняется, то по отношению к нему матричный элемент диагонален. Таким образом, формула для сечения должна быть написана в виде сЬ = — (Я ф,'(/е-'ч'ф, бт п)/ ~ йо„(70,1) где ф, — атомная волновая функция (зависящая от координат всех Е электронов в атоме), а йт=п1/,...о'г'з— элемент конфигурационного пространства атомных электронов. Интеграл ~ ф,"(/ф, ат представляет собой энергию взаимодействия электрона с атомом, усредненную по состоянию атома. Ее можно представить также и в виде егр(г), где <р(г) — потенциал 248 [гл.
~х УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ электрического поля, создаваемого средним распределением зарядов в атоме. Обозначив плотность этого распределения посредством р(г), имеем для потенциала гр уравнение Пуассона Л~р = — 4ир (г). Искомый матричный элемент в (70,1) есть компонента Фурье е~рч.
Согласно (68,5) ее вычисление сводится к вычислению компоненты Фурье плотности зарядов р. Последняя составляется из электронных зарядов и заряда ядра: р = — (е)п(г)+д1е)6 (г), где п(г) — плотность числа электронов в атоме. Умножая на е-гч' и интегрируя, имеем ~ ре-гчг с))г= — !е! )Г пе-'и' г))'+Л)е!. Таким образом, получим для интересующего нас матричного элемента выражение ') фоБеулчгф с(тг))г= — — ", 12 — г" (ф), (702) где величина г (г)) определяется формулой й" ( ) = ~( ю 'ч Л' (70,3) и называется атомным форде-фцктором.
Он является функцией угла рассеяния и скорости падающего электрона. Наконец, подставив (70,2) в (70,1), получим окончательно следующее выражение для сечения упругого рассеяния быстрых электронов атомом '); 4теех ( = — (г — р<Ч)1 (о, йада з) Мы пренебрегаем обменными эффектами между рассенваел1ым электроном и атомными электронамн, т. е. не производим симметризацни волновой функции системы. Законность этого пренебрежения связана стем, что ннтерференцнонные члены в сечении погашаются ввиду быстрой осцнлляцни волновой функции падающего электрона вдоль объема атома, по которому простирается медленно меняющаяся волновая функция атомных электронов..
$70! столкнОВения электРОнОВ с АтОИАми 249 Переменная лд есть величина импульса, передаваемого электроном атому. Она связана со скоростью электрона о и углом рассеяния 0 формулой д= — з)ив 2ив . д 2 (70,5) подставив в (70,4), получим й~ = ~ ' — '„) и г' ТйТ ~ ЙО. (70,6) Таким образом, в области малых углов сечение оказывается не зависящим от угла рассеяния и определяется средним квадратом расстояния атомных электронов от ядра. В обратном предельном случае больших д(да))!) множитель с-ы' в подынтегральном выражении в (70,3) есть быстро осциллирующая функция, и потому весь интеграл близок к нулю.
Можно, следовательно, пренебречь г (4) по сравнению с Л; тогда остается ЯОЕ, 2 (70,7) т. е. резерфордовское сечение рассеяния на ядре атома. (ср. (67,7)). Рассмотрим предельный случай малых значений д — малых по сравнению с )/а, где а — порядок величины размеров атома (да((!). Малым д соответствуют малые углы рассеяния: 0(~О,'О, где О,-Ьтла — порядок величины скоростей атомных электронов. Разложим Р(ч) в ряд по степеням ф Член нулевого порядка равен ~ п ТУ, т. е. полному числу Е электронов в атоме. Член первого порядка пропорционален ) гп(г)е(г, т. е.
среднему значению дипольного момента атома; это значение обращается тождественно в нуль (2 54). Поэтому надо произвести разложение до члена второго порядка, что дает 250 (гл. !х упРуГие столкновения Задача Вычислить сечение упругого рассеяния быстрых электронов атомом водорода в нормальном состоянии. Р еш е н н е. Волновая функции нормального состояния атома водорода есть (в обычных единицах) ф=н Г'е пав, где ав=йз/пыз— боровский радиус (см. (31,15)). Электронная плотность а=!ф)з, Интегрирование в (70,3) по углам производится, как при выводе формулы (67,13), н дает Р= — п(Г) з)п ОГ ГГ(Г= ! 1+-= — ) Подставив в (70,4), получим (4+аВО ) Полное сечение удобно вычислить, полагая 75ьз Но 2пз)пдгб= — 2н ~ — ) оба ~аю) и интегрируя по г(д; при этом, разумеется, надо сохранить (борновское приближение!) лишь член наиболее низкой степени по !го.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
