1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Поэтому асимптотическое выражение ф будет иметь вид ф — ~,(21+!) Р, (созО) 1( — 1)'е '"" — З,ига'), (72,1) г=в отличающийся от (62,7) тем, что в качестве коэффициентов при вг»" стоят (вместо ехр (2/6,)) некоторые комплексные величины 5ь по модулю меньшие единицы. Соответственно и амплитуда упругого рассеяния будет определяться выражением, отличающимся от (62,8) такой же заменой: /(О) .= 2 й ~С' (2/+ 1) (5г — 1) Р, (сов О). (72,2) ' г=о 256 НЕУНРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ [гл. к Для полного сечения упругого рассеяния и, получим вместо (62,9) формулу о, =,~'„— '"„, (21 + 1) [ 1 — 5, [», (72,3) !=о Полное сечение неупругого рассеяния или, как говорят, сечение реакций о„по всем возможным каналам, тоже можно выразить через величины 5ь Для этого достаточно заметить, что для каждого значения 1 интенсивность расходящейся волны ослаблена по сравнению с интенсивностью сходящейся волны в отношении [5,~».
Это ослабление должно быть целиком отнесено за счет неупругого рассеяния. Поэтому ясно, что и„== ~ — н»(21+!) (! — [5, [»), (72,4) Е=В а полное сечение а, = о; -[-и, = ~~'„ет (21+ 1) (2 — 5, — 5;). (72,5) с=о Каждый из членов сул«м в (72,3) и (72,4) есть парциальное сечение соответственно упругого и неупругого рассеяния частиц с орбитальным моментом 1. Значение 5,=-1 соответствует полному отсутствию какого-либо рассеяния (с данным 1). Случай же 5~ — — О отвечает полному «поглощению» частиц с данным 1 (в (72,1) отсутствует парциальння расходящаяся волна с этим 1); при этом сечения упругого и неупругого рассеяния одинаковы.
Отметим также, что хотя упругое рассеяние может существовать и без неупругого (при [5,[=!), но обратное невозможно: наличие не- упругого рассеяния непременно приводит к одновременному наличию упругого рассеяния, При О О амплитуда упругого рассеяния (72,2) стрее мится к значению (О) 2й'~ «(21+ 1) 1(1 — 5~). г=а Сравнив это выражение с (72,5), найдем следующее соотношение между мнимой частью амплитуды упругого рас- 6 731 яатпгьгоа ехссаяяиа медленных частиц 257 сеяния на нулевой угол и полным сечением рассеяния по всем каналам: 1гп ~ (О) 4 и (72,6) (так называемая оптическая теорема для рассеяния).
и 73, Неупругое рассеяние медленных частиц Изложенный в Э 65 вывод предельного закона упругого рассеяния прн малых энергиях легко обобщается на случай наличия неупругих процессов. Как и прежде, основную роль при малых энергиях играет а-рассеяние (1=0). Напомним, что согласно результатам $ 65 величина 50=ехр(2Й,) при малых Ф была равна 5, ж 1 + 215„ = 1 + 2(й(), где ()=с,/с, — вещественная постоянная (см. (65,6)). Вещественность с„с, была связана с тем, что они представляли собой коэффициенты в решении ф вещественного уравнения (уравнение Шредингера) при вещественных же граничных условиях — асимптотическвй вид стоячей волны при г — со.
Свойства волновой функции ф при наличии неупругих процессов меняются лишь в том отношении, что налагаемое на нее условие на бесконечности теперь компЛексно— асимптотическое выражение (72,1) с различными амплитудами сходящихся и расходящихся волн уже не сводится к вещественной стоячей волне. В связи с этим будет комплексной и постоянная 5: й=)Г+/й".
При этом модуль !501 уже не равен 1; условие же ) 5, )(1 означает, что мнимая часть величины р должна быть отрицательной: 5"«О. Оставив в суммах (72,3 — 4) лишь по первому члену, и подставив в них (73,1), найдем сечения упругого и неупругого рассеяния: (73,2) (73,3) а,= 4я ()) !', о, = — ') )1" ). ча Таким образом, сечение упругого рассеяния по-прежнему не зависит от скорости.
Сечение же неупругих процессов оказывается обратно пропорциональным скорости 258 иеупгугие столкновения (гл. к частиц — так называемый закон 1/и (Г. Бете; 1935). Следовательно, при уменьшении скорости роль неупругих процессов возрастает по сравнению с упругим рассеянием.
Закон 1/и можно обосновать еще н другим способом, менее строгим, но более наглядным. Именно, будем считать, что вероятность возникновения реакции прн столкновении пропорциональна квадрату модуля волновой функции падающей волны прн г=0, Физически зто предположение выражает собой тот факт, что, например, падающий на ядро медленный нейтрон может вызвать реакцию, лишь «проникнув» в ядро.
Разделив рр„„(0) ~е на плотность падающего потока (или, что то же, выбрав ф„ьа нормированной на единичный поток), получим сечение реакции. Для нормированной на единичный поток плоской волны имеем 1ф„„)е 1/и, т. е. искомый результат. В этом рассуждении подразумевается, что значение ф„„(0) можно вычислить по невозмущенпой полем волновой фуйкции (плоская волна). Для этого — н тем самым для справедливости закона 1/п — необходимо, чтобы действующее на падающую частицу поле (/(г) достаточно быстро убывало с )=еличением расстояния ').
Подчеркнем, в частности, что закон 1/о не справедлив для реакций между заряженными частицами, взаимодействующими по закону Кулона. й 74. Неупругие столкновения быстрых частиц с атомами Прн столкновении быстрой частицы с атомом, наряду с упругим рассеянием, могут иметь место также и различные неупругие процессы — возбуждение атома нли его ионизация. Эти процессы могут быть рассмотрены в борновском приближении, аналогично тому как это было сделано в $ 70 для упругого рассеяния быстрых электронов. При этом предполагается, что скорость быстрой частицы велика по сравнению со скоростями атомных электронов.
Как уже было указано в $70, при столкновении электрона с атомом систему центра инерции можно считать совпадающей с лабораторной системой координат, в которой покоится атом. Пусть снова р н р' — начальный и конечный импульсы электрона, т — его масса. Введем также ь) Можно показать, что У должно убывать быстрее, чем 1/г". $ 741 столкновения выстгых частиц с лтомхия 259 вектор передачи импульса от электрона к атому Ьй=р' — р.
Величина и играет существенную роль в процессе, в значительной мере определяя характер столкновения. Мы рассмотрим два предельных случая: столкновения с передачей импульса, большой или малой по сравнению с В!а, где а — атомные размеры. Неравенство да))1 означает, что атому передается импульс, большой по сравнению с собственным первоначальным импульсом атомных электронов. Физически очевидно, что в этом случае можно рассматривать атомные электроны как свободные, а столкновение быстрого электрона с атомом — как упругое столкновение с первоначально покоившимся одним из атомных электронов.
Сечение рассеяния на каждом из л электронов дается формулой Резерфорда (если при этом оба электрона — падающий и атомный— приобретают в результате сравнимые по величине скорости, то становятся существенными обменные эффекты и сечение определяется формулой (69,?)). Рассмотрим теперь обратный случай малых передач импульса: да((1.
Это значит, что электрон отклоняется лишь на очень малый угол, а передаваемая им атому энергия мала по сравнению с его первоначальной энергией. Эти свойства позволяют положить ржр', тогда вектор и есть просто результат поворота р без изменения его величины, и при малом угле рассеяния 6 Й) ~ рб. Это выражение непригодно лишь прн самых малых углах: в пределе О О величина д стремится к пределу д ы= =(р — р')4, определяемому малой разностью р — р'.
Условие сохранения энергии при столкновении дает ń— Е, =ив „(р' — р' ) = — (Р— р') = о(р — р'), где ń— Е, — энергия возбуждения атома при его переходе с основного на и-й уровень, и — скорость падающего электрона. Поэтому минимальное значение передачи импульса Š— Ео (74,2) После такого упрощения единственное отличие рассматриваемого процесса от упругого рассеяния будет сводиться 260 [гл. х иггпгггик столкновения к тому, что начальное и конечное состояния атома не совпадают. Поэтому для сечения будем иметь прежнюю формулу (70,1), с тем лишь отличием, что вместо ф, и ф", в интеграле надо писать различные волновые функции ф, и !р„": 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
