1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Свойство поляризации фотона аналогично понятию спина у других частиц (специфические особенности фотона в этом отношении будут рассмотрены ниже, в следующем параграфе). Легко видеть, что развитый в предыдущем параграфе математический формализм находится в полном соответствии с представлением о свободном электромагнитном поле как о совокупности фотонов; это есть не что иное, как аппарат вторичного квантования в применении к системе фото- ") Представление о фотонах было вкервые введено Альбертом Эйнштейном в 1905 г.
в связи с текрнея фотоырфекта, 273 й 771 ФОТОНЫ нов. В этом методе 6 47) роль независимых переменных играют числа заполнения состояний (в данном случае— числа й)но), а операторы действуют на функции этих чисел, При этом основную роль играют операторы «уничтожения» и «рождения» частиц, соответственно уменьшающие или увеличивающие на единицу числа заполнения. Именно такими операторами и являются гно, си,. оператор сио уничтожает фотон в состоянии йо (он имеет матричные элементы лишь для переходов Жно-»)т'но †, — см.
(76,12)); оператор же си, рождает фотон в этом состоянии — его матричные элементы отличны от нуля только для переходов )чио-м »%~«+ 1 ° Плоские волны (76,16), фигурирующие в операторе (76,15) в качестве коэффициентов перед операторами уничтожения фотонов, можно трактовать как волновые функции фотонов с определенными импульсами й и поляризациями е"', эти функции нормированы на «! фотон в объеме 11». Такая трактовка соответствует разложению (47,22) ф-оператора по волновым функциям стационарных состояний частицы в нерелятивистском аппарате вторичного квантования '). В этой связи подчеркнем лишний раз, что «волновую функцию» фотона отнюдь нельзя рассматривать как амплитуду вероятности его пространственной локализации— в противоположность основному смыслу волновой функции в нерелятивнстской квантовой механике. В случае фотона эта ситуация в особенности резко выражена.
Для фотона всегда имеет место ультрарелятивистский случай, так что для минимальной погрешности его координат имеем согласно (75,5) Ау 1!л-А. Это значит, что о координатах фотона имеет смысл говорить только в тех случаях, когда характеристические размеры задачи велики по сравнению с длиной волны. Но это есть не что иное, как «класснческий» предельный случай, соответствующий геометрической оптике, в которой можно говорить о распространении света вдоль определенных траекторий — лучей. В квантовом же случае, когда длина волны не может рассматриваться как малая, понятиекоординатфотонастановится беспредметным. 1) В отличие от (47,22), в рааложенне (7636) входят одновременно иан операторы уничтожения, тан и операторы рождения частиц.
Смысл этого отличия выяснится в тл. ХП1. 274 (гл хю эотов Правило коммутации операторов рождения и уничтожения фотонов (76,13) соответствует случаю частиц, подчинявшихся статистике Бозе (ср. (47,11)). Таким образом, фотоны являются бозонами. В соответствии со свойствами этой статистики, число фотонов одновременно находящихся в любом заданном состоянии, может быть произвольным. Описание поля как совокупности фотонов есть единственное описание, вполне адекватное физическому смыслу свободного электромагнитного поля в квантовой теории. Оно заменяет собой классическое описание с помощью потенциалов (а с ними и напряженностей) поля.
Последние выступают в математическом аппарате фотонной картины как операторы вторичного квантования. Свойства квантовой системы приближаются к классическим в тех случаях, когда велики квантовые числа, определяющие стационарные состояния системы (з 27), Для свободного электромагнитного поля (в заданном объеме) это означает, что должны быть велики квантовые числа осцилляторов, т.
е. числа фотонов Уь . В этом смысле глубокое значение имеет то обстоятельство, что фотоны подчиняклся статистике Бозе. В математическом формализме теории связь статистики Бозе со свойствами классического поля проявляется в правилах коммутации операторов сьч, сь,. При больших Фь„ когда велики матричные элементы этих операторов, можно пренебречь единицей в правой стороне перестановочного соотношения (76,!3), в результате чего + получится с~,сь,=сь,сь„т.
е. эти операторы перейдут в коммутатнвные друг с другом классические величины сь„сь„определяющие классические потенциалы поля. $78. Момент н четиость фотона Как н всякая частица, фотон может обладать определенным моментом импульса. Свойства этой величины у фотона, однако, несколько отличаются от ее свойств у обычных частиц. Для выяснения происхождения этого отличия напомним, каким образом связаны в математическом формализме квантовой механики свойства волновой функции частицы с ее моментом. Момент частицы ) складывается из ее орбитального момента! н собственного момента — спина э.
Волновая функция частицы со спином з есть симметричный спинор ранга 2з, 275 8 781 моминт и читность нотона т. е. представляет собой совокупность 2з+ ! компонент, которые при поворотах системы координат преобразуются друг через друга по определенному закону (~ 41). Орбитальный момент связан с координатной зависимостью волновых функций: состояниям с орбитальным моментом 1 соответствуют волновые функции, выражающиеся (линейно) через шаровые функции порядка 1. Роль волновой функции фотона играет вектор А. Вектор эквивалентен спинору 2-го ранга, и в этом смысле фотону можно приписать спин 1. Поскольку это значение — целое, то отсюда, в свою очередь, следует, что и полный момент фотона может пробегать лишь целочисленные значения: 1=1, 2, 3,...
Значения же 1=0 для фотона не существует: волновая функция состояния с равным нулю моментом должна быть сферически-симметрична, что заведомо невозможно для поперечной волны. В то время как понятие о полном моменте фотона имеет вполне точный смысл, смысл понятия о спине фотона лишь условен: для фотона нет возможности последовательным образом различать спин и орбитальный момент как составные части его полного момента. Дело в том, что такая возможность предполагает независимость «спиновых» и «координатных» свойств волновых функций: координатная зависимость компонент спинора (в данном случае — вектора) не должна ограничиваться никакими дополнительными условиями. Между тем векторная волновая функция фотона А подчинена дополнительному условию поперечности, в результате чего координатная зависимость уже не может быть задана для всех его компонент одновременно произвольным образом.
Отметим, что к фотону неприменимо также и определение спина как момента покоящейся частицы, поскольку для фотона, движущегося со скоростью света, вообще не существует системь1 покоя. Как и для всякой частицы, состояние фотона может характеризоваться также и его четностью, связанной с поведением волновой функции при инверсии системы координат: состояние называют четным, если векторная волновая функция А(г) не меняется прй инверсии, и нечетным— если А (г) меняет знак ').
Принята определенная термино- ') Воздействие операции инверсии на скалярную функцию ф(г) сводится к изменению знака ее аргумента: рф(г)=ф( — г). При воздей- 276 (гл. ю вотон логия для различных состояний фотона с определенными моментами и четностями: фотон в состоянии с моментом 1 и четностью ( — 1)У называется электрическим 2~-пальнылг (или Е)-фотоном), а при четности ( — 1)Уч' — магншпным 27-польным (или М)чфотоном) ').
Момент и четность частицы часто обозначают единым символом, в котором число указывает значение /, а верхний индекс + нли — отвечает четности Р=-(-1 или — 1. Таким образом, фотонам электрического типа отвечают состояния 1, 2+, 3, 4+ и т. д., а фотонам магнитного типа — состояния 1+, 2, 3', 4 и т. д. В частности, электрическому днпольному фотону отвечает состояние 1, а магнитному дипольному — состояние 1+. Состояние фотона с определенным значением ) представляет собой сферическую волну, в которой не существует какого-либо определенного направления движения. Напротив, если фотон имеет определенное направление движения (т. е. имеет определенный вектор импульса (с), то он не имеет никакого определенного значения ).
Фотон с определенным направлением й может, однако, иметь также и определенное значение проекции момента на это же направление; проекцию момента на направление импульса называют спиральмосгпью частицы (обозначим ее буквой Х) '). Сохранение спиральности, как и сохранение всякой вообще проекции момента, связано с определенными свойствами симметрии пространства по отношению к свободной частице. Импульс (с выделяет собой избранное направление в пространстве.
Наличие этого направления нарушает полную симметрию по отношению к произвольным поворотам системы координат (в результате чего вектор момента перестает сохраняться). Остается, однако, аксиальная симметрия по отношению к вращениям вокруг выделенной оси— ствии же на векторную функцию А (г) надо еще учесть, что изменение направления координатных осей нз обратное меняет также знак всея номпонент вектора (полярного).
Другимн словами, воздействие операции инверсии означает РА(г)= — А( — г). Поэтому, например, для четного состояния должно быть А( — г)= — А(г), чтобы было РА(г) =А (г). г) Эти названия соответствуют терминологии теории излучения: нспускание фотонов злектрнческого и магнитного типов определяется соответствующими злектрнческимн и магиятиыма иультипольиыми люментами системы зарядов (см. й 98).
') Не смешивать ее с проекцией момента гл иа фиксированное направление (ось г) в пространстве! й 761 момент и четиость эотоил 277 направления к. Выражением этой симметрии и является сохранение спиральности. По определению оператора орбитального момента 1 = 1гр!, оператор проекции этого момента на направление импульса (а тем самым и собственные значения этой проекции) тождественно равны нулю. Поэтому спиральность совпадает с проекцией спина частицы на направление ее движения. Для обычной частицы со спином 1 спиральность могла бы, следовательно, иметь значения О, ~1 Для фотона же, как сейчас будет показано, возможны лишь значения 1=~1; здесь снова проявляется условность понятия спина фотона.
Легко видеть, что состояния фотона с определенными спиральностями совпадают с состояниями его круговой поляризации. Пусть $, т(, ь — система координат с осью ь вдоль направления импульса фотона (в отличие от оси г, положение которой не связано с движением частицы). Рассмотрим, например, состояние фотона со спиральностью 1=+1. Согласно формулам (41,9), устанавливающим соответствие между компонентами векторной волновой функции (частицы со спином 1) и компонентами спинора 2-го ранга, такому состоянию отвечает волновая функция А, компоненты которой связаны соотношениями А,=-(А., А„О; действительно, тогда из трех компонент спйнора отлична от нуля только ф", как раз отвечающая равной +1 Ь-проекции спина. Аналогичным образом, волновая функция с компонентами А,= — (АО А.=О отвечает значению й — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
