1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Справедливость этих формул очевидна из следующих соображений. Как было отмечено выше, по Отношению к пространственным вращениям исчезает различие менду пунктирными и непунктирными спинорами, причем те и другие Ч первыми буквами греческого алфавита (а, 8,...) мы обозначаем в зз 80 — 82 спииорные индексы, пробегающие эиачеиии П 2, 284 (гл. хп еглвиеаие диглкл ведут себя как трехмерные спиноры.
Поэтому совокупность трех величин ьеэ = а'+ (ае, — (ь" + Р' ) = ал 1 2 Р'= — а +(ае, должна вести себя как трехмерный симметричный спинор 2-го ранга и написанные формулы должны совпадать с установленным в 8 41 соответствием между компонентами такого спинора и компонентами трехмерного вектора; сравнение с формулами (4!,9) показывает, что это условие действительно выполнено. Антисимметричная же комбинация ь" — Р' преобразуется (при всех преобразованиях группы Лоренца) как разность ел111 — $'т(', согласно определению (80,7) это эквивалентно соответствию ~11 ~21 'ы1Ф+$2$2* Но такая сумма должна представлять собой временнчю компоненту 4-вектора, как это было указано выше в связи с (80,5).
Это условие тоже выполняется: согласно (80,10) имеем 1 (р1 ~б) ао 2 8 81. Инверсия спиноров При изложении (в 2 41) трехмерной теории спиноров мы ие рассматривали их поведения по отношению к операции пространственной инверсии, поскольку в нерелятивнстской теории это не привело бы к каким-либо новым физическим результатам.
Мы остановимся, однако, теперь на этом вопросе для лучшего уяснения последующего рассмотрения ииверсионных свойств 4-спиноров. Инверсия есть изменение направления пространственных координатных осей х, у, г на обратное. Произведя инверсию дважды, мы вернемся к исходной системе координат. В случае спиноров, однако, возвращение к первоначальному положению можно' понимать в двух различных смыслах: как поворот системы на 0' или на 360'. Для спиноров эти два определения не эквивалентны, так как спинор ф== © мейяет знак при повороте на 380'. Поэтому воз- 285 % 8Н ННВЕРСНЯ СПННОРОВ можны две альтернативные концепции инверсии спиноров: двукратная инверсия должна оставлять спинор неизменным или менять его знак.
Выбор одного из этих двух опреде. лений не отражается на излагаемых ниже физических результатах; выберем, для определенности, первое из них. Таким образом, будем полагать, что Р'=+1. (81,1) Инверсия координат меняет знак полярных векторов, но оставляет неизменными аксиальные векторы. К последним относятся векторы момента, в том числе вектор спина.
Поэтому не меняется и значение г-проекции спина. Отсюда следует, что при инверсии каждая из компонент ф', 1« трехмерного спинора (отвечающая определенному значе. нию з,) может преобразовываться только сама через себя. В соответствии с определением (81,1) это значит, что Р«Р" = ~ф" (а=1, 2). (81,2) Подчеркнем, однако, что приписывание спинору той или иной определенной четности (+! или — 1) не имеет абсолютного смысла, поскольку спиноры меняют знак при повороте на 2н, который всегда можно произвести одновременно с инверсией. Но абсолютный характер имеет «относительная четностьэ двух спиноров ф и Ч~, определяемая как четность составленного из них скаляра «рчр« — «р-'~р', поскольку при повороте на 2п меняют знак одновременно все спиноры, то связанная с этим неопределенность не отражается на четности ( — 1 или + 1) указанного скаляра.
Обратимся теперь к четырехмерным спинорам. Требование, чтобы преобразовывались друг через друга лишь величины, относящиеся к одинаковым значениям з„ разумеется, остается в силе и здесь. Однако это не может быть уже просто преобразование (81,2) (и такое же для пунктирных спиноров), как это видно, например, из следующих соображений. Как следствие (81,2), преобразовывались бы только сами через себя также и компоненты 4-спиноров высших рангов. Но это противоречило бы формулам (80,!О): при инверсии пространственных координат компоненты а', а«, а«вектора (полярного) а менякп знак, а а' остается неизменной; поэтому ь"" и ьй заведомо не могут преобразовываться сами через себя.
288 1гл. хм углвиенив днгхкх Таким образом, инверсия должна преобразовывать компоненты 4-спинора $' через другие величины. Таковыми могут быть лишь компоненты некоторого друтого спинора не совпадающего по своим трансформационным свойствам с $". Снова понимая под инверсией операцию, удовлетворяющую условию (81,1), можно определить ее действие формулами ~>$а т1 ~Э~)» $а (81,3) При двукратном повторении этой операции $' и т)' переходят сами в себя, в согласии с определением (81,1), Таким образом, включение инверсии в число допустимых преобразований симметрии требует одновременного рассмотрения пары спиноров ($", Ч"); такую пару называют биспинором.
й 82. Уравнение Дирака Наиболее важен случай спина )х, к которому относится большинство элементарных частиц. Как это ясно из сказанного выше, волновая функция, описывающая такие частицы в релятивистской теории, является биспннором; она представляет собой совокупность четырех компонент, вместо двух компонент спинориой волновой функции в нерелятивистской теории. Построим волновое уравнение, которому должна удовлетворять биспинорная волновая функция свободной частицы.
Из тех же соображений, которые были изложены в 5 79, заранее очевидно, что каждая из компонент волновой функции при воздействии оператора р„р» должна умножаться на и', т. е. будет удовлетворять уравнению Клейна'— Фока. Заранее очевидно, однако, что в данном случае это уравнение заведомо недостаточно.
Действительно, из четырех компонент биспинорной волновой функции только две могут быть линейно независимыми, — соответственно числу значений, которые может принимать проекция спина ух. Поэтому полная система волновых уравнений должна представлять собой линейную дифференциальную связь между компонентами биспинора, осуществляемую с помощью оператора р„=1д/дхе, причем эта связь должна, конечно, выражаться релятивистски инвариантными соотношениями.
287 $ 82) УРАВНВНИЕ ДИРАКА Поскольку волновая функция представляет собой совокупность двух спиноров (обозначило их $а и Ч'), то для достижения поставленной цели естественно ввести и вместо 4-вектора р' эквивалентный ему (согласно (80,10)) операторный спинор 2-го ранга раз с компонентами ро1 о 1 ро ро1, ро ро (82,1) р" — ро + сро, р" = р'+ (ро. Подействуем оператором раз на спинор $а, образовав (по правилу (80,4)) скалярное произведение по паре не- пунктирных индексов; раааа р~Ф~о, Это произведение остается еще спинором 1-го ранга по пунктирному индексу; поэтому оно может выражаться лишь через пунктирный же спинор т)з. Таким образом, получаем уравнение раз~2 роэ$1 що)З (82,2а) где и — постоянная (оказывающаяся, как будет видно из дальнейшего, массой частицы).
Аналогичным образом, подействовав оператором р'Э на спинор Ча и образовав скалярное произведения по паре пунктирных индексов, получим уравнение (82,26) Рао р раГо)о оп~* Релятивистская инвариантность этих уравнений автоматически обеспечивается спннорной формой их записи: в обоих сторонах каждого из уравнений стоят спиноры одинакового (пунктирного или непунктирного) характера, преобразующиеся при преобразованиях Лоренца по одинаковым законам. Релятивистское волновое уравнение, изображающееся системой (82,2), называется уравнением Дирака для свободной частицы (оно было установлено Полем Дираком в 1928 г.). 288 (гл. хп УРАВНЕНИЕ ЛИРАКА Раскрыв уравнения (82,2) подстановкой в них выражений (82„1) для компонент оператора роа, получим КЗ вЂ” Р.Р+ (Р,Ъ' — РЛ = Ф', РоЧ +РгЧ (Руг1+Ргп =тга' Роч +Р„Ч +!Р Ч вЂ” Р о)о = туг, где Ро=(дадо', а Р„ру, Р, — тРи компоненты опеРатоРного вектора р= — (Ч.
Для свободной частицы, движущейся с определенным импульсом р и энергией е, все компоненты волновой функции пропорциональны множителю впо'-'и (плоская волна). Воздействие оператора р, умножает такую функцию на е, а воздействие оператора р — на р. В результате система дифференциальных уравнений (82,3) сведется к системе однородных линейных алгебраических уравнений: (е — Р,) $' — (Є— гр ) ~' = тЧ', (Рг+ ~РР) ( Рг) тЧ 1 82 4 (е+ Р,) Ч' + (Р.
— 'Ру) Ч' = ть' (82,4) (Р. + (Р,) Ч'+(е — Р,) Ч'= тР. Каждая из двух пар этих уравнений определяет две компоненты биспинора по заданным двум другим компо- нентам. Для того чтобы эти две пары уравнений были сов- местны друг с другом, результат подстановки, например, о)1 и Ч' из первой пары во вторую должен приводить к тож- деству. Легко убедиться, что для этого должно быть ео — Р„*— р'„— Р," = ео — р' = т', что как раз отвечает релятивистскому выражению энергии частицы через ее импульс, если т — масса частицы. Тем самым выясняется смысл введенной в уравнения (82,2) постоянной т, Тот факт, что из четырех компонент биспинорной волно- вой функции свободной частицы лишь две могут быть заданы произвольно, находится в соответствии с тем, что при задан- ном импульсе состояния частицы могут отличаться еше проекцией спина, принимающей всего два различных зна- чения.
289 8 83) нхтгицы дигхкх В нерелятивистском предельном случае малых скоростей частица должна описываться всего одной двухкомпонентной величиной — трехмерным спинором. Когда скорость т — ~0, импульс р тоже стремится к нулю, а энергия е стремится к энергии покоя т (тс-' в обычных единицах). Из уравнений (82,4) имеем тогда $'=г)", т. е. оба спинора, составляющих биспинор, действительно становятся одинаковыми. Две пары уравнений (82,3) можно записать в более кратком виде с помощью матриц Паули: „= ()~ О), о, = (~ О), о, = (0~ ~)) (82,8) (которые были уже введены в 3 40). Если объединить эти трн матрицы в «матричный вектор» а, то краткая запись двух пар уравнений (82,3) будет (Р— ро)й=щд, (Р, +Рп) 1) =гп$.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
