1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 51
Текст из файла (страница 51)
(82,6) При перемножении матриц Паули с двухкомпонентными величинами $ или и подразумевается, как всегда, умножение по обычному матричному правилу: строки матрицы перемножаются со столбцом $ или тй например, оД=(. ) (~,) = ~,.~,) и т. п. 5 83. Матрицы Дирака Спинорная форма записи уравнения Дирака естественна в том смысле, что она непосредственно выявляет его релятивистскую инзариантность. Но после того как вид уравнения таким образом установлен, можно с равным правом выбрать в качестве четырех независимых компонент волновой функции какие-либо другие линейно независимые комбинации первоначальных компонент. При оперировании с уравнением Дирака фактически обычно удобнее иметь дело именно с наиболеа общей формой его записи, в которой способ выбора компонент волновой функции не предрешается.
Будем обозначать четырехкомпонентную волновую функцию символом Ч', с компонентами Ч',, нумеруемыми 290 хелвненин дизлкз 1гл. хп индексом 1=1, 2, 3, 4; ее можно изобразить столбиком ') Чг Ч', Ч'= з Чг, (83,1) Систему же уравнений Днрака запишем в виде р у)"зЧ' =тЧ'ь (83,2) где узр = р у" — ру = г (у' — + у'Р), (83,4) а у обозначает трехмерный «матричный вектор»с компонентами у', у', у', Запись Ч' в виде столбика (83,1) отвечает тому, что перемножение матриц уз с Ч' в (83,3) производится по обычному матричному правилу: каждая строка в матрице ') Для удобства выражений мы будем условно называть четырех.
компонентную величину 'К бнспииором не тольхо в ее спинорном, но н в произвольном представлении. Соответственно будем называть биспинорным также н иидеко, иумерующий ее компоненты. з) Приведем, для иллюстрации, выражения матриц уз, отвечающих спииорному представлению волновой функции. Если %',=К Ч'з=йз, 'Гз=ц', Уз=на, то 1000 где уз()а=0, 1, 2, 3) — некоторые четырехрядные матрицы с элементами увз ((, й=1, 2, 3, 4); суммирование в левой стороне (83,2) производится как по матричному (биспинорному) индексу й, так и по 4-векторному индексу р ').
Матричные индексы обычно опускают, записывая уравнение в символическом виде [узр,— пз1 Ч'=О, (83,3) 291 а 831 МАТРИЦЫ ДИРЛКЛ у» перемножается со столбцом Ч": (у Ч'); = т)АЧ'А. (83,5) Матрицы у" называют матрицами Дирака. В общем случае произвольного представления волновой функции онн должны удовлетворять лишь условиям, обеспечивающим равенство ( р» р ) Ч" = т'Ч", — каждая компонента Ч' должна удовлетворять уравнению Клейна — Фока.
Для выяснения зтих условий умножим уравнение (83,3) слева на у"р„. Имеем (учр„) (у»р„) Ч'= (учр„) тЧ'= т'Ч'. Поскольку все операторы р, коммутативны, то произведение р р„— симметричный тензор: р р„=р„р . Произведение же у'у» разложим на симметричную и антисимметричную части: 2 (у 7 +у г)+ 2 (у у ч 1 При умножении на р,р„последняя часть обратится в нуль, так что останется — (у у»+ у»у ) р„р Ч' = тат. Для того чтобы оператор в левой стороне равенства сводился к р„р», все пары матриц с )г~т должны быть антикоммутативны (у»у'= — у"у»), а квадраты матриц должны быть равны: (У~) = — (У~) =-(у')'=! (у')'= — 1 (83 8) (единицу в правых сторонах равенств надо понимать, конечно, как единичную матрицу). Все зти условия вместе можно записать в виде у»т" + у'у» = 2у'ч (83,7) 292 (гл.
Хп УРАВНВНИВ ДИРАКА где йт" — так называемый метрический тензор с компо- нентами -(о о о о ( оо') (83,8) Обо) Равенства (83,7) определяют все свойства матриц Дирака, необходимые для оперирования с ними. Прибегать к конкретным выражениям этих матриц в том или ином конкретном представлении обычно не приходится. Уравнение Дирака может быть представлено в виде, разрешенном относительно производной по времени, и тем самым для частиц со спином УА оказывается возможным ввести понятие о гамильтониане. Действительно, умножив уравнение А дЧ' (7Рр — Рл) Ч' = ср' — — урЧ' — тЧ" 0 дР слева на у'„мы обратим коэффициент при Где(д~ в единицу (точнее — в единичную матрицу). Таким образом, получим дЧ' о- дР Оператор, действующий на Ч" в правой стороне этого уравнения, и является гамильтонианом частицы.
Обычно его записывают в виде Й ар+ Рлр, (83,9) вводя специальные обозначения для матриц: а=у'у, ()=уА, Легко убедиться (с помощью соотношений (83,7)), что квад- рат оператора (83,9) равен, как и следовало, Й' р'+ т'. В этом смысле можно сказать, что выражение (83,9) представляет собой квадратный корень, извлеченный из суммы. р'+ т".! В конце предыдущего параграфа было отмечено, что в предельном случае малых скоростей два спинора $ и Ч, составляющих биспинор Ч", становятся одинаковыми.
Здесь, однако, проявляется некоторый недостаток спинорной формы записи уравнения Дирака: при предельном переходе 4 841 ПЛОТНОСТЬ ТОКЛ В УРЛВНЕНПН ДИРЛКЛ 293 остаются отличными от нуля все четыре компоненты волновой функции, хотя в действительности лишь две из них независимы. Поэтому может оказаться более удобным такое представление волновой функции, при котором две из ее компонент обращаются в пределе в нуль.
Зта цель достигается введением вместо 3 и т( их линейных комбинаций ~= —.. (3+И), у==(з — И), (83,19) ! 1 1'2 1'2 или (в более подробной записи) (г,) ' ~В'+1'~ Х=ф-Т вЂ”,1~, ~,.). Тогда для покоящейся частицы у=О. Представление %', в котором ее четырьмя компонентами являются р„~„то у„ называют стандартным, Мы воспользуемся им в 3 93 при изучении движения электрона во внешнем поле, а сейчас напишем уравнение Дирака в этом представлении для свободной частицы. Сктадывая и вычитая почленно уравнения (82,6), получим р,ср — рау =- тК, — р,у + рптг = ту. (83,11) 9 84. Плотность тока в уравнении Дирака (ср. 1 3 55).
Зто уравнение выражает собой закон сохранения величины ()= ~ рд(Т. (84,2) В нерелятнвистской теории это есть просто закон сохране ния числа частиц; в релятивистской же теории смысл Построим величины, играющие для уравнения Днрака роль плотности частиц р и плотности нх потока ). В релятивистской теории эти величины образуют 4-вектор 1»=(р, 1). Они удовлетворяют уравнению непрерывности, которое в четырехмерном виде записывается как (84,1) .294 (гл, кп УРАВНЕННЕ ДИРАКА выражаемого уравнением (84,1) закона меняетсн, как будет выяснено в 9 86.
Величины 1» представляют собой выражения, билинейные по волновой функции Ч' и ее комплексно сопряженной Ч"*. Поэтому для нахождения этих выражений надо предварительно выяснить вид уравнения, которому подчиняется функция Ч". Сама волновая функция удовлетворяет уравнению ширака: (Р т» — и)Ч'= (гу' — +(УЧ вЂ” и) Ч' О (84 3) а д Комплексное сопряжение дает ( "' ' )'- — 1та а, — гуа Ч вЂ” и 1 Ч" = О.
да Из приведенных в 'примечании на стр. 290 выражений матриц у» видно, что "т'а "т'" = т' т' = уа (84,4) т. е. матрица у' — эрмитова, а матрицы у', у", у' — «антиэрмитовы> (напомним, что знак — означает транспонирование, т. е. перестановку столбцов и строк матрицы) '). Поэтому уаа у', у*=- — у, так что ( ' а д — (уа "в- + в'у т — и) Ч"' = О. Для возвращения к исходным (не транспонированным) матрицам замечаем, что »тре „)~~Ч»* Чт* и в символической (без матричнйк' индексов) записи Ч«еу» надо понимать Ч'* как строку Чт'=(Ч"ы Ч'а, Ч'в, Ч',"), перемножаемую со столбцами матриц у». Таким образом, находим Чае( ау« д+Г,~у И) О дт ') Выражения на стр, 290 относятся к конкретному (спинорному) представлению матриц, но саойстна (84,4) а действителы<ости от представления ие вависят.
Й 841 плОтнОсть токА В РРАВненнн ДНРАкА 295 где условно подразумевается, что операторы дифференцировання действуют на функцию Ч"*, стояшую слева от них. Ввиду разницы в знаках первого и второго члена в скобках, онн не могут еше быть сведены к четырехмерному виду. Для устранения этого недостатка умножнм все уравнение справа на уо и, заменив уу'= — у'у, получим о ' о д Ч"у' ((т' — +(уЧ+т) =О.
дО Функция Ч"*у' называется дираковсни сопряженной по отношению к функшш Ч' и обозначается буквой с чертой над ней: Чт Что. о Чоо Чт. о (84,5) Таким образом, окончательно имеем Ч'(р уо+гп) =О. (84,6) Теперь нетрудно найти выражение для плотности потока как 4-вектора, удовлетворяюшего уравнению непрерывности (84,1). Для этого умножим уравнение (84,6) . справа на Ч", уравнение (84,3) слева на Ч"" н сложим их почленно.
Члены *тЧ"о'Р при этом взаимно сокрашаются и остается . дЧ" .— дЧ' . д ( — уРЧ'+ (Ч'уо — = ( — (Ч"уРЧР) = О. дх" дхо дх" Это равенство действительно имеет внд уравнения непрерывности, в котором роль плотности тока играет 4-вектор (84,7) (в полной записи с матричными индексами: о~' ЧодДЧ'А). Временная компонента 4-вектора (84,7) есть плотность частиц Р =-тууоЧ~=-Ч~ооу=(Ч",( +)Ч~о~о+)оРВ Р+)Ч~о)-, (84,8) а трн пространственные компоненты образуют трехмерный вектор тока 1= Ч'ТЧ" = Ч" охЧ', (84,9) где со=уоу — «матричный вектор», введенный уже в (83,9).
Обратим внимание на то, что Оо играет здесь роль оператора скорости частицы. (гл. хп »г»ви«нив дне»к» Применим (84,7) для нормировки плоской волны— волновой функции состояния свободной частицы с определенными значениями импульса р и энергии з. Имея в виду произвести нормировку на «одну частицу в объел«е 1«», запишем волну в виде Ч~ — = и(р) е '1«~-»г>.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
